數(shù)學(xué)概括及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

1、教育資源數(shù)學(xué)概括及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用數(shù)學(xué)概括及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用一、數(shù)學(xué)概括數(shù)學(xué)概括是一種特殊的概括，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點所決定的。數(shù)學(xué)概括是在數(shù)學(xué)符號、數(shù)量和空間關(guān)系、數(shù)學(xué)對象和運(yùn)算等方面的概括。它具有以下顯著的特點：1數(shù)學(xué)研究對象本身已是概括的產(chǎn)物我們知道，數(shù)學(xué)的研究對象是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。它取自于客觀世界，但卻不是現(xiàn)實中的真正原型，而是從現(xiàn)實世界中概括出來的數(shù)學(xué)模型事物中的純數(shù)量關(guān)系和空間形式。例如自然數(shù)、點、線、面等原始概念，就是從現(xiàn)實世界中概括出來的。2數(shù)學(xué)概括具有層次性數(shù)學(xué)概括是在概括基礎(chǔ)上所進(jìn)行的再概括，數(shù)學(xué)是從原始概念開始，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行新的抽象，從而得到概括程

2、度更高的新概念。在數(shù)學(xué)中往往要進(jìn)行一系列地、逐級地概括，由此可得到概括水平越來越高的概念、法則和方法。這恰是數(shù)學(xué)在抽象思維方面具有相對封閉性的原因所在。正如德國數(shù)學(xué)家漢克爾的生動描述：“在大多數(shù)的學(xué)科里，一代人的建筑為下一代人所拆毀，一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞，唯教育資源獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在這古老的大廈上添加一層樓?！边@表明數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)為明顯的概括性質(zhì)：它的每一次發(fā)展都把原來的數(shù)學(xué)作為某種特例包含在新的數(shù)學(xué)中去。例如數(shù)系的擴(kuò)張；中學(xué)里對三角函數(shù)的概括；從數(shù)列極限到函數(shù)極限的概括。從定理內(nèi)容上也可體會出數(shù)學(xué)概括的層次性，例如數(shù)學(xué)歸納法定理。3數(shù)學(xué)概括用數(shù)學(xué)語言來表述數(shù)學(xué)概括的表述使用了特殊的

3、語言體系特定的符號體系數(shù)學(xué)語言體系。而且這種表述形式貫穿于數(shù)學(xué)概括過程的始終。我們知道，語言是思維的載體。自然語言雖然可在一定程度上來表達(dá)數(shù)學(xué)，但卻不能達(dá)到完美精確的程度，因此數(shù)學(xué)工作者在自然語言的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出了數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)中特有的形式化符號體系。它是人類自然語言的進(jìn)一步概括。有了數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)研究的思維過程和結(jié)果就可精確簡練地表出。二、數(shù)學(xué)概括在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)習(xí)。而所有這些學(xué)習(xí)都是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)，都離不開數(shù)學(xué)概括能力的支持與輔佐。教育資源在此僅以數(shù)學(xué)能力的學(xué)習(xí)為例。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出：“通過數(shù)學(xué)教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生具有正確迅

4、速的運(yùn)算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，從而逐步培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析和解決實際問題的能力?！痹谶\(yùn)算能力方面，欲達(dá)“正確迅速”目的，就需在各類運(yùn)算中概括出相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律，將其歸納為一般形式。數(shù)學(xué)概括在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面的作用也十分重要。邏輯思維是人類揭示客觀世界的本質(zhì)和規(guī)律的極其重要的思維活動，它幾乎滲透到人類獲取所有理論和新認(rèn)識的每一過程，而數(shù)學(xué)則是體現(xiàn)邏輯最徹底的一門學(xué)科。學(xué)生在學(xué)習(xí)中遵循著數(shù)學(xué)的邏輯規(guī)律，他們從最基儲最簡單的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，在這些基本概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，僅研究0360間角的三角函數(shù)，到了高中，通過角概念的推廣和弧度制的引入，概括出

5、任意角三角函數(shù)，并從集合和映射的觀點出發(fā)加以研究。即在數(shù)學(xué)思想方法上也采用了概括性更強(qiáng)的更一般的方法集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，學(xué)生邏輯思維能力的形成和發(fā)展離不開數(shù)學(xué)概括，數(shù)學(xué)概括不僅影響著學(xué)生邏輯思維的形成和發(fā)展，而且決定著學(xué)生邏輯思維的水平和質(zhì)量，概括水平越高，其邏輯思維的能力就越強(qiáng)。數(shù)學(xué)概括在培養(yǎng)和形成學(xué)生的空間想象能力大小更是不可或缺。因為空間想象能力的形成不僅需要按部就班的邏輯推理過程，而且需要有猜想、想象、直覺等靈感思維的幫助，而直覺思維更離不開數(shù)學(xué)概括的支持，盡管它有時表現(xiàn)的并不那么直接，但卻是頭腦所積累的數(shù)學(xué)概括水平的綜合運(yùn)用，需要具備更高的數(shù)學(xué)概括能力。因為在三維

6、立體空間（現(xiàn)實空間）或更高維的空間（非現(xiàn)實空間）中考察數(shù)學(xué)問題時，它與空間的相關(guān)性增強(qiáng)了許多，它的位置關(guān)系，空間形式和數(shù)量關(guān)系都有了更豐富的內(nèi)涵（與二維相比），這勢必要求在數(shù)學(xué)概括上應(yīng)具有更高的水平。例如，在平面內(nèi)，對一個直角三角形的研究僅限于邊、角關(guān)系的討論，但在立體空間，除此以外（這種關(guān)系已經(jīng)縮小到在同一平面討論問題的范圍）還存在著它與空間平面、空間直線的各種位置關(guān)系、空間形式及數(shù)量關(guān)系等。比如立體幾何中的三垂線定理和逆定理，說的就是直角三角形的斜邊與平面直線的位置關(guān)系，這種關(guān)系的尋找與確定就需要更廣泛的數(shù)學(xué)概括。空間想象能力還表現(xiàn)在對現(xiàn)實空間中幾何物體的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)上。例如人們對蜂房的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)乃至物理發(fā)現(xiàn)：蜂房底部菱形的銳角是70，這個尺寸經(jīng)推算知，在體積一定的條件下它可使蜂房的表面積為