數(shù)軸標根法及習題

1、數(shù)軸穿根法一、概念簡介1 .“數(shù)軸標根法”又稱“數(shù)軸穿根法”或“穿針引線法”2 .準確的說，應該叫做“序軸標根法”。序軸：省去原點和單位，只表示數(shù)的大小的數(shù)軸。序軸上標出的兩點中，左邊的點表示的數(shù)比右邊的點表示的數(shù)小。3 .是高次不等式的簡單解法4 .為了形象地體現(xiàn)正負值的變化規(guī)律，可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應的點，穿過最后一個點后就不再變方向，這種畫法俗稱“穿針引線法”二、方法步驟第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進行移項，使得右側(cè)為0。(注意：一定要保證x前的系數(shù)為正數(shù))例如：將xA3-2xA2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：將不等號換

2、成等號解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x1=2,x2=1,x3=-1第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標出各根。例如：-112第四步：畫穿根線：以數(shù)軸為標準，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后又穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根。第五步：觀察不等號，如果不等號為“>”，則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍；如果不等號為“<”則取數(shù)軸下方，穿根線以內(nèi)的范圍。x的次數(shù)若為偶數(shù)則不穿過，即奇過偶不過。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在數(shù)軸上標根得：-112畫穿根線：由右上方開始穿根。因為不等號為“>”則取數(shù)軸上方，穿跟線以內(nèi)的

3、范圍。即：-1<x<1或x>2。(如下圖所示)三、奇過偶不過就是當不等式中含有單獨的x偶數(shù)熹項時，如儀八2)或(xM)時，穿根線是不穿過0點的。但是對于X奇數(shù)哥項，就要穿過0點了。還有一種情況就是例如：(X-1)八2.當不等式里出現(xiàn)這種部分時，線是不穿過1點的。但是對于如(X-1)八3的式子，穿根線要過1點。也是奇過偶不過?？梢院唵斡洖椤捌娲┻^，偶彈回"，一稱“奇穿偶切”。(如圖三，為(X-1)八2)四、注意事項運用序軸標根法解不等式時，常犯以下的錯誤：1 .出現(xiàn)形如(a-x)的一次因式時，匆忙地“穿針引線”。例1%軍不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0

4、。解x(3-x)(x+1)(x-2)>0,將各根1、0、2、3依次標在數(shù)軸上，由圖1可得原不等式的解集為x|x<1或0<x<2或x>3。事實上，只有將因式(a-x)變?yōu)?x-a)的形式后才能用序軸標根法，正確的解法是：解原不等式變形為x(X3)(x+1)(x2)<0,將各根一1、0、2、3依次標在數(shù)軸上，由圖1,原不等式的解集為x|1<x<0或2<x<3。2 .出現(xiàn)重根時，機械地“穿針引線”例2%軍不等式(x+1)(x-1)八2(x4)八3<0解將三個根1、1、4標在數(shù)軸上，由圖2得，原不等式的解集為x|x<1或1<

5、x<4。(如圖二)這種解法也是錯誤的，錯在不加分析地、機械地“穿針引線”。出現(xiàn)幾個相同的根時，所畫的浪線遇到“偶次”點(即偶數(shù)個相同根所對應的點)不能過數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回，只有遇到“奇次”點(即奇數(shù)個相同根所對應的點)才能穿過數(shù)軸，正確的解法如下：解將三個根-1、1、4標在數(shù)軸上，如圖3畫出浪線圖來穿過各根對應點，遇到x=1的點時浪線不穿過數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回；遇到x=4的點才穿過數(shù)軸，于是，可得到不等式的解集x|1<x<4且x?1(如圖三)3 .出現(xiàn)不能再分解的二次因式時，簡單地放棄“穿針引線”例37#不等式x(x+1)(x-2)(xA3-1)>0解原不等式

6、變形為x(x+1)(x-2)(x-1)(xA2+x+1)>0,有些同學同解變形到這里時認為不能用序軸標根法了，因為序軸標根法指明要分解成一次因式的積，事實上，根據(jù)這個二次因式的符號將其消去再運用序軸標根法即可。解原不等式等價于x(x+1)(x-2)(x-1)(xA2+x+1)>0,.xA2+x+1>0對一切x恒成立,x(x-1)(x+1)(x2)>0,由圖4可得原不等式的解集為x|x<1或0<x<1或x>2數(shù)軸標根法練習題1. 不等式x 4x / r x 113. x 3x 2 的解集為-6x+8<0的解集為.2. 2x2x6。的解集為3.

7、 6x25x6。的解集為4. x22x3。的解集為_25. 2x7x16.解不等式2x2-5x<3.17.已知集合 A=x| x2+x+6>0, B=x|x 2+2x8>0,求 AA B.X2 -4-518.解不等式：l3l10.0的解集為26. (X14. (2013?廣東)不等式x2+x- 2<0的解集為.)(x1)(x5x6)。的解集為2,7. x(x1)(2x)0的解集為23,28. (X4)(x2)(x1)0的解集為x30-9. x的解集為。10. x1的解集為x23x2八011. x2x3的解集為心一12. x的解集為16. （2008?北京）不等式的解集是.17. （2011?巢湖模擬）不等式2l3的解集為.一一4乂、，18. （2008?楊浦區(qū)二模）不等式一的解為.19. （2008?盧灣區(qū)二模）不等式不的解集為.20. 不等式-x2+5x-6>0的解集為.21. 不等式2x23x2<0的解集為.22. 不等式x24x+5>0的解集是.10 .函數(shù)川12+蚊-/的定義域是.11 .不等式的解集為.二<。12 .不等式耳一4的解集是.13 .已知函數(shù)f（x）=Mmx%姓+1的定義域是一切