第五章材料力學(xué)

1、第五章 材 料 力 學(xué)主講：錢民剛第一節(jié) 概 論 材料力學(xué)是研究各種類型構(gòu)件（主要是桿）的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的學(xué)科，它提供了有關(guān)的基本理論、計(jì)算方法和試驗(yàn)技術(shù)，使我們能合理地確定構(gòu)件的材料、尺寸和形狀，以達(dá)到安全與經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)要求。一、材料力學(xué)的基本思路一、材料力學(xué)的基本思路（一）理論公式的建立（一）理論公式的建立 理論公式的建立思路如下：（二）分析問題和解決問題（二）分析問題和解決問題分析問題和解決問題思路如下：二、桿的四種基本變形二、桿的四種基本變形桿的四種基本變形如表51 所列。 表51 桿的四種基本變形 三、材料的力學(xué)性質(zhì)三、材料的力學(xué)性質(zhì) 在表51 所列的強(qiáng)度條件中，為確保構(gòu)件不致因強(qiáng)

2、度不足而破壞，應(yīng)使其最大工作應(yīng)力max不超過材料的某個(gè)限值。顯然，該限值應(yīng)小于材料的極限應(yīng)力u，可規(guī)定為極限應(yīng)力u的若干分之一，并稱之為材料的許用應(yīng)力，以或表示，即 式中n 是一個(gè)大于1 的系數(shù)，稱為安全系數(shù)，其數(shù)值通常由設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定；而極限應(yīng)力u則要通過材料的力學(xué)性能試驗(yàn)才能確定。這里主要介紹典型的塑料性材料低碳鋼和典型的脆性材料鑄鐵在常溫、靜載下的力學(xué)性能。 （一）低碳鋼材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼（通常將含碳量在0.3%以下的鋼稱為低碳鋼，也叫軟鋼）材料拉伸和壓縮時(shí)的 曲線如圖51 所示。 從圖51 中拉伸時(shí)的 曲線可看出，整個(gè)拉伸過程可分為以下四個(gè)階段。 1. 彈性階段（Ob 段）

3、在該段中的直線段（Oa）稱線彈性段，其斜率即為彈性模量E，對應(yīng)的最高應(yīng)力值P為比例極限。在該段應(yīng)力范圍內(nèi)，即P，虎克定律=E 成立。而ab 段，即為非線性彈性段，在該段內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)變?nèi)允菑椥缘模c應(yīng)力已不成正比。b 點(diǎn)相對應(yīng)的應(yīng)力e稱為彈性極限。 2. 屈服階段（bc 段） 該段內(nèi)應(yīng)力基本上不變，但應(yīng)變卻在迅速增長，而且在該段內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)變成分，除彈性應(yīng)變外，還包含了明顯的塑性變形，該段的應(yīng)力最低點(diǎn)S稱為屈服極限。這時(shí)，試件上原光滑表面將會(huì)出現(xiàn)與軸線大致成45的滑移線，這是由于試件材料在45的斜截面上存在著最大剪應(yīng)力而引起的。對于塑性材料來說，由于屈服時(shí)所產(chǎn)生的顯著的塑性變形將會(huì)嚴(yán)重地影響

4、其正常工作，故S是衡量塑性材料強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo)。對于無明顯屈服階段的其他塑性材料，工程上將產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力作為名義屈服極限，并用0.2表示。 3. 強(qiáng)化階段（ce 段）在該段，應(yīng)力又隨應(yīng)變增大而增大，故稱強(qiáng)化。該段中的最高點(diǎn)e 所對應(yīng)的應(yīng)力乃材料所能承受的最大應(yīng)力b，稱為強(qiáng)度極限，它是衡量材料強(qiáng)度（特別是脆性材料）的另一重要指標(biāo)。在強(qiáng)化階段中，絕大部分的變形是塑性變形，并發(fā)生“冷作硬化”的現(xiàn)象。 4. 局部變形階段（ef 段）在應(yīng)力到達(dá)e 點(diǎn)之前，試件標(biāo)距內(nèi)的變形是均勻的；但當(dāng)?shù)竭_(dá)e 點(diǎn)后，試件的變形就開始集中于某一較弱的局部范圍內(nèi)進(jìn)行，該處截面縱向急劇伸長，橫向顯著收縮，形成“

5、頸縮”；最后至f 點(diǎn)試件被拉斷。 試件拉斷后，可測得以下兩個(gè)反映材料塑性性能的指標(biāo)。（1）延伸率式中 l0試件原長； l1拉斷后的長度。工程上規(guī)定5%的材料稱為塑性材料，5%的稱為脆性材料。 （2）截面收縮率式中 A0變形前的試件橫截面面積； A1試件拉斷后的最小截面積。圖52 鑄鐵拉伸、壓縮的力學(xué)性質(zhì) 低碳鋼壓縮時(shí)的 曲線與拉伸時(shí)對比可知，低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E、比例極限P和屈服極限S與拉伸時(shí)大致相同。 （二）鑄鐵拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)鑄鐵拉伸與壓縮時(shí)的 曲線如圖52 所示。 從鑄鐵拉伸時(shí)的 曲線中可以看出，它沒有明顯的直線部分。因其拉斷前的應(yīng)變很小，因此工程上通常取其 曲線的一條割線的斜

6、率，作為其彈性模量。它沒有屈服階段，也沒有頸縮現(xiàn)象（故衡量鑄鐵拉伸強(qiáng)度的唯一指標(biāo)就是它被拉斷時(shí)的最大應(yīng)力b），在較小的拉應(yīng)力作用下即被拉斷，且其延伸率很小，故鑄鐵是一種典型的脆性材料。 鑄鐵壓縮時(shí)的曲線與拉伸相比，可看出這類材料的抗壓能力要比抗拉能力強(qiáng)得多，其塑性變形也較為明顯。破壞斷口為斜斷面，這表明試件是因max的作用而剪壞的。 綜上所述，對于塑性材料制成的桿，通常取屈服極限S（或名義屈服極限 0.2）作為極限應(yīng)力u的值；而對脆性材料制成的桿，應(yīng)該取強(qiáng)度極限b作為極限應(yīng)力u的值。 一、軸向拉伸與壓縮的概念一、軸向拉伸與壓縮的概念 （一）力學(xué)模型 軸向拉壓桿的力學(xué)模型如圖53 所示。 （二）

7、受力特征 作用于桿兩端外力的合力，大小相等、方向相反，并 沿桿件軸線作用。 （三）變形特征 桿件主要產(chǎn)生軸線方向的均勻伸長（縮短）。 二、軸向拉伸（壓縮）桿橫截面上的內(nèi)力二、軸向拉伸（壓縮）桿橫截面上的內(nèi)力 （一）內(nèi)力 由外力作用而引起的構(gòu)件內(nèi)部各部分之間的相互作用力。圖53 軸向拉壓桿的力學(xué)模型 P軸向拉力或壓力第二節(jié) 軸向拉伸與壓縮 （二）截面法截面法是求內(nèi)力的一般方法，用截面法求內(nèi)力的步驟如下。 （1）截開。在需求內(nèi)力的截面處，假想地沿該截面將構(gòu)件截分為二。 （2）代替。任取一部分為研究對象，稱為脫離體。用內(nèi)力代替棄去部分對脫離體的作用。 （3）平衡。對脫離體列寫平衡條件，求解未知內(nèi)力。

8、截面法的示意圖如圖54 所示。圖54 截面法的示意圖 （三）軸力 軸向拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必定與桿軸線相重合，稱為軸力，以N 表示。軸力N 規(guī)定以拉力為正，壓力為負(fù)。 （四）軸力圖 軸力圖表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線。 例51 試作圖55（a）所示等直桿的軸力圖。 解：先考慮外力平衡，求出支反R=10kN 顯然NAB=10kN,NBC=50kN,NCD=5kN，NDE=20kN 由圖55（b）可見，某截面上外力的大小等于該截面兩側(cè)內(nèi)力的變化。 圖55 例51圖（a）外力圖；（b）軸力圖 三、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力三、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力 分布規(guī)律：軸向拉壓桿橫截面

9、上的應(yīng)力垂直于截面，為正應(yīng)力，且正應(yīng)力在整個(gè)橫截面上均勻分布，如圖56 所示。 正應(yīng)力公式式中 N 軸力，N； A 橫截面面積，m2。 應(yīng)力單位為N/m2，即Pa，也常用1MPa=106Pa=1N/mm2。 四、軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力四、軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力 斜截面上的應(yīng)力均勻分布，如圖57 所示，其總應(yīng)力及應(yīng)力分量如下。總應(yīng)力式中 由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面外法線的夾角，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正； A 斜截面mm 的截面積； 0 橫截面上的正應(yīng)力。 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。以其對截面內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩時(shí)為正，反之為負(fù)。 軸向拉壓桿中最大正應(yīng)力發(fā)生在=0的橫截面上，最小正應(yīng)力發(fā)生在=90的縱截面

10、上，其值分別為 最大剪應(yīng)力發(fā)生在=45的斜截面上，最小剪應(yīng)力發(fā)生在=0的橫截面和=90的縱截面上，其值分別為五、強(qiáng)度條件五、強(qiáng)度條件（一）許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。脆性材料塑性材料式中 S 屈服極限； b 抗拉強(qiáng)度； nS、nb 安全系數(shù)。（二）強(qiáng)度條件 構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件為 六、軸向拉壓桿的變形六、軸向拉壓桿的變形 虎克定律虎克定律 （一）軸向拉壓桿的變形 桿件在軸向拉伸時(shí)，軸向伸長，橫向縮短，見圖58；而在軸向壓縮時(shí)，軸向縮短，橫向伸長。第三節(jié) 剪 切 和 擠 壓 一、剪切的實(shí)用計(jì)算一、剪切的實(shí)用計(jì)算 （

11、一）剪切的概念 力學(xué)模型如圖59 所示。 （1）受力特征。構(gòu)件上受到一對大小相等、方向相反，作用線相距很近，且與構(gòu)件軸線垂直的力作用。 （2）變形特征。構(gòu)件沿兩力的分界面有發(fā)生相對錯(cuò)動(dòng)的趨勢。 （3）剪切面。構(gòu)件將發(fā)生相對錯(cuò)動(dòng)的面。 （4）剪力Q。剪切面上的內(nèi)力，其作用線與剪切面平行。 （二）剪切實(shí)用計(jì)算 （1）名義剪應(yīng)力。假定剪應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，若AQ為剪切面面積，Q 為剪力，則圖59 剪切的力學(xué)模型 （2）許用剪應(yīng)力。按實(shí)際構(gòu)件的受力方式，用試驗(yàn)的方法求得名義剪切極限應(yīng)力0，再除以安全系數(shù)n。 （3）剪切強(qiáng)度條件。剪切面上的工作剪應(yīng)力不得超過材料的許用剪應(yīng)力（二）擠壓實(shí)用計(jì)算（1）

12、名義擠壓應(yīng)力。假設(shè)擠壓力在名義擠壓面上均勻分布，即式中 Abs名義擠壓面面積。 當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，名義擠壓面面積等于實(shí)際的承壓接觸面面積；當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)，則名義擠壓面面積取為實(shí)際承壓接觸面在垂直擠壓力方向的投影面積。 （2）許用擠壓應(yīng)力。根據(jù)直接試驗(yàn)結(jié)果，按照名義擠壓應(yīng)力公式計(jì)算名義極限擠壓應(yīng)力，再除以安全系數(shù)。 （3）擠壓強(qiáng)度條件。擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力，即 三、剪應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律三、剪應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律 （一）純剪切 若單元體各個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力，稱為純剪切。 純剪切引起剪應(yīng)變，即相互垂直的兩線段間角度的改變。 （二）剪應(yīng)力互等定理

13、在互相垂直的兩個(gè)平面上，垂直于兩平面交線的剪應(yīng)力，總是大小相等，且共同指向或背離這一交線（見圖510），即圖510 純剪切單元體= （522） （三）剪切虎克定律 當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)，剪應(yīng)力 與剪應(yīng)變 成正比，即 =G （523）式中 G材料的剪切彈性模量。 對各向同性材料，E、G、 間只有兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)，即第四節(jié) 扭 轉(zhuǎn) 一、扭轉(zhuǎn)的概念一、扭轉(zhuǎn)的概念 （一）扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型 扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型，如圖511 所示。 （1）受力特征。桿兩端受到一對力偶矩相等，轉(zhuǎn)向相反，作用平面與桿件軸線相垂直的外力偶作用。 （2）變形特征。桿件表面縱向線變成螺旋線，即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)

14、動(dòng)。 （3）扭轉(zhuǎn)角?。桿件任意兩橫截面間相對轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。 （二）外力偶矩的計(jì)算 軸所傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩（kNm）間有如下關(guān)系圖511 扭轉(zhuǎn)力學(xué)模型式中 P 傳遞功率，kW； n 轉(zhuǎn)速，r/min。 二、扭矩和扭矩圖二、扭矩和扭矩圖 （1）扭矩。受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是一個(gè)在截面平面內(nèi)的力偶，其力偶矩稱為扭矩，用T 表示，見圖512，其值用截面法求得。 （2）扭矩符號(hào)。扭矩T 的正負(fù)號(hào)規(guī)定，以右手法則表示扭矩矢量，若矢量的指向與截面外向法線的指向一致時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)。圖512 中所示扭矩均為正號(hào)。 三、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力與強(qiáng)度條件三、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力與強(qiáng)度條件 （一）橫截面上的剪應(yīng)

15、力 （1）剪應(yīng)力分布規(guī)律。橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力，其方向垂直于該點(diǎn)所在的半徑，其值與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，見圖513圖512 扭矩及其正負(fù)號(hào)規(guī)定圖513 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力四、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形四、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件第五節(jié) 截面圖形的幾何性質(zhì)一、靜矩與形心一、靜矩與形心 顯然，若z 軸過形心，yc=0，則有Sz=0，反之亦然；若y 軸過形心，zc=0，則有Sy=0，反之亦然。二、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積二、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積圖515 截面圖形（540） 三、平行移軸公式三、平行移軸公式 若已知任一截面圖形（圖516）形心為c，面積為A，對形心軸

16、zc和yc的慣性矩為Izc和Iyc、慣性積為Iyczc，則該圖形對于與zc軸平行且相距為a 的z 軸及與yc軸平行且相距為b 的y 軸的慣性矩和慣性積分別為 顯然，在圖形對所有互相平行的軸的慣性矩中，以形心軸的慣性矩為最小。四、主慣性軸和主慣性矩、形心主（慣性）軸和形心主（慣性）矩四、主慣性軸和主慣性矩、形心主（慣性）軸和形心主（慣性）矩 若截面圖形對通過某點(diǎn)的某一對正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，則稱這對坐標(biāo)軸為圖形在該點(diǎn)的主慣性軸，簡稱主軸。圖形對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。顯然，當(dāng)任意一對正交坐標(biāo)軸中之一軸為圖形的對稱軸時(shí)，圖形對該兩軸的慣性積必為零，故這對軸必為主軸。 過截面形心的主慣性軸，

17、稱為形心主軸。截面對形心主軸的慣性矩稱為形心主矩。桿件的軸線與橫截面形心主軸所組成的平面，稱為形心主慣性平面。圖515 截面圖形第六節(jié) 彎曲梁的內(nèi)力、應(yīng)力和變形一、平面彎曲的概念一、平面彎曲的概念彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。 （1）彎曲變形特征。任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸做相對轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)桿的軸線也彎成曲線。 （2）平面彎曲。荷載作用面（外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面）與彎曲平面（即梁軸線彎曲后所在平面）相平行或重合的彎曲。產(chǎn)生平面彎曲的條件： 1）梁具有縱對稱面時(shí)，只要外力（橫向力或外力偶）都作用在此縱對稱面內(nèi)。 2）非對稱截面梁。 純彎曲時(shí)，只要

18、外力偶作用在與梁的形心主慣性平面（即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構(gòu)成的平面）平行的平面內(nèi)。 橫力彎曲時(shí)，橫向力必須通過橫截面的彎曲中心，并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內(nèi)。二、梁橫截面上的內(nèi)力分量二、梁橫截面上的內(nèi)力分量剪力與彎矩剪力與彎矩（一）剪力與彎矩（1）剪力。梁橫截面上切向分布內(nèi)力的合力，稱為剪力，以Q 表示。（2）彎矩。梁橫截面上法向分布內(nèi)力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以M 表示。（3）剪力與彎矩的符號(hào)?？紤]梁微段dx，使右側(cè)截面對左側(cè)截面產(chǎn)生向下相對錯(cuò)動(dòng)的剪力為正，反之為負(fù)；使微段產(chǎn)生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)，如圖517所示。 圖517 梁的內(nèi)力（a）截面法求梁的

19、內(nèi)力；（b）剪力和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定 （4）剪力與彎矩的計(jì)算。由截面法可知，梁的內(nèi)力可用直接法求出：1）橫截面上的剪力，其值等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力在橫截面方向的投影代數(shù)和，且左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負(fù)剪力。 2）橫截面上的彎矩，其值等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心的力矩代數(shù)和，且向上外力均引起正彎矩，左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶及右側(cè)梁上逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩，反之則產(chǎn)生負(fù)彎矩，如圖518 所示。 圖518 直接法求梁的內(nèi)力（a）產(chǎn)生正號(hào)剪力的外力； （b）產(chǎn)生正號(hào)彎矩的外力和外力矩 （2）彎矩方程。表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨

20、截面位置變化的函數(shù)，稱為彎矩方程，表示為 M=M(x) （三）剪力圖與彎矩圖 （1）剪力圖。表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。 （2）彎矩圖。表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。 三、荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用三、荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用 （一）微分關(guān)系 若規(guī)定荷載集度q向上為正，則梁任一橫截面上的剪力、彎矩與荷載集度間的微分關(guān)系 當(dāng)以梁的左端為x 軸原點(diǎn)，且以向右為x 正軸，并規(guī)定剪力圖以向上為正軸，而彎矩圖則取向下為正軸時(shí)，可將工程上常見的外力與剪力圖和彎矩圖之間的關(guān)系列在表53中。 利用表53 可以快速地作出剪力圖和彎矩圖。

21、（二）快速作圖法（1）求支反力，并校核。（2）根據(jù)外力不連續(xù)點(diǎn)分段。（3）定形：根據(jù)各段梁上的外力，確定其Q、M 圖的形狀。（4）定量：用直接法計(jì)算各分段點(diǎn)、極值點(diǎn)的Q、M 值。 四、彎曲正應(yīng)力四、彎曲正應(yīng)力 正應(yīng)力強(qiáng)度條件正應(yīng)力強(qiáng)度條件 （一）純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而無剪力時(shí)的彎曲，稱為純彎曲。 （二）中性層與中性軸 （1）中性層。桿件彎曲變形時(shí)既不伸長也不縮短的一層。 （2）中性軸。中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線。 （3）中性軸位置。當(dāng)桿件發(fā)生平面彎曲，且處于線彈性范圍時(shí)，中性軸通過橫截面形心，且垂直于荷載作用平面。 （4）中性層的曲率。桿件發(fā)生平面彎曲時(shí)，中性

22、層（或桿軸）的曲率與彎矩間的關(guān)系為五、彎曲剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度條件五、彎曲剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度條件六、梁的合理截面七、彎曲中心的概念七、彎曲中心的概念八、梁的變形八、梁的變形撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角九、積分法計(jì)算梁的變形九、積分法計(jì)算梁的變形根據(jù)撓曲線近似微分方程（557），積分兩次，即得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 其中，積分常數(shù)C、D 可由梁的邊界條件來確定。當(dāng)梁的彎矩方程需分段列出時(shí)，撓曲線微分方程也需分段建立、分段積分。于是全梁的積分常數(shù)數(shù)目將為分段數(shù)目的兩倍。為了確定全部積分常數(shù)，除利用邊界條件外，還需利用分段處撓曲線的連續(xù)條件（在分界點(diǎn)處左、右兩段梁的轉(zhuǎn)角和撓度均應(yīng)相等）。 十、用疊加法求梁的變

23、形十、用疊加法求梁的變形 （一）疊加原理 幾個(gè)荷載同時(shí)作用下梁的任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各個(gè)荷載單獨(dú)作用下同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的總和。 （二）疊加原理的適用條件 疊加原理僅適用于線性函數(shù)。要求撓度、轉(zhuǎn)角為梁上荷載的線性函數(shù)，必須滿足以下條件：（1）材料為線彈性材料。（2）梁的變形為小變形。（3）結(jié)構(gòu)為幾何線性。 （三）疊加法的特征 （1）各荷載同時(shí)作用下的撓度、轉(zhuǎn)角等于各荷載單獨(dú)作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角的總和，應(yīng)該是幾何和，同一方向的幾何和即為代數(shù)和。 （2）梁在簡單荷載作用下的撓度、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或可查手冊，參見表55。（3）疊加法適宜于求梁某一指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。第七節(jié) 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 一、點(diǎn)

24、的應(yīng)力狀態(tài)及其分類一、點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及其分類 （1）定義：受力后構(gòu)件上任一點(diǎn)沿各個(gè)不同方向上應(yīng)力情況的集合，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 （2）單元體選取方法： 1）分析構(gòu)件的外力和支座反力； 2）過研究點(diǎn)取橫截面，分析其內(nèi)力； 3）確定橫截面上該點(diǎn)的、 的大小和方向。 （3）主平面：過某點(diǎn)的無數(shù)多個(gè)截面中，最大（或最小）正應(yīng)力所在的平面稱為主平面，主平面上剪應(yīng)力必為零。 （4）主應(yīng)力：主平面上的最大（或最?。┱龖?yīng)力。 （5）點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分類：對任一點(diǎn)總可找到三對互相垂直的主平面，相應(yīng)地存在三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力，按代數(shù)值大小排列為123。若這三個(gè)主應(yīng)力中，僅一個(gè)不為零，則該應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)；如有

25、兩個(gè)不為零，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)；當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力均不為零時(shí)，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。 二、二、 二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài) （一）斜截面上的應(yīng)力 1. 解析法 平面應(yīng)力狀態(tài)如圖526 所示,設(shè)其x為已知，則任意斜截面（其外法線n 與x軸夾角為）上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為式（558）中應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定為：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；剪應(yīng)力對單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩為順時(shí)針者為正，反之為負(fù)； 的符號(hào)規(guī)定為由x 軸轉(zhuǎn)到外法線n 為逆時(shí)針者為正，反之為負(fù)。 三、三向應(yīng)力狀態(tài)、廣義虎克定律三、三向應(yīng)力狀態(tài)、廣義虎克定律 （一）斜截面上應(yīng)力、最大剪應(yīng)力在 直角坐標(biāo)系下，代表單元體任何截面上應(yīng)力的點(diǎn)，必定在由1和2、2和3、3

26、和1所組成的三個(gè)應(yīng)力圓（見圖528）的圓周上或由它們所圍成的陰影范圍內(nèi)。理論分析證明了在三向應(yīng)力狀態(tài)中，最大剪應(yīng)力的作用面與最大主應(yīng)力1 和最小主應(yīng)力3 所在平面成45，而與2所在平面垂直，其值為圖528 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓 （二）廣義虎克定律 對各向同性材料，在線彈性范圍內(nèi)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在 四、強(qiáng)度理論四、強(qiáng)度理論 強(qiáng)度理論實(shí)質(zhì)上是利用簡單拉壓的試驗(yàn)結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件的一些假說。這些假說認(rèn)為，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的危險(xiǎn)準(zhǔn)則，是某種決定因素達(dá)到單向拉伸時(shí)同一因素的極限值。強(qiáng)度理論分為兩類：一類是解釋材料發(fā)生脆性斷裂破壞原因的，例如，最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）和最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）；另一類是解釋塑性屈服破壞原因的，例如，最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）和最大形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）。這四種常用的強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為第八節(jié) 組 合 變 形在小變形和材料服從虎克定律的前提下，組合變形問題的解法思路如下： 一、斜彎曲一、斜彎曲 當(dāng)梁上的橫向荷載與形心主慣性平面不平行時(shí)，梁將發(fā)生斜彎曲，其特點(diǎn)為： （1）斜彎曲可看作兩個(gè)相互垂直平面內(nèi)的平面彎曲的疊加。 （2）斜彎曲后