圓與方程教案

1、圓與方程一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn);使學(xué)生掌握點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓以及圓與圓的位置關(guān)系；過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程，判斷直線(xiàn)與圓相交、相切、相離的代數(shù)方法與幾何方法；兩圓位置關(guān)系的幾何特征和代數(shù)特征二、教學(xué)過(guò)程(一)知識(shí)準(zhǔn)備：我們今天研究的課題是“點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓以及圓與圓的位置關(guān)系”，為了更好地講解這個(gè)課題，我們先復(fù)習(xí)歸納一下點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓以及圓與圓的位置關(guān)系中的一些知識(shí)一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、情境設(shè)置：在直角坐標(biāo)系中，確定直線(xiàn)的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線(xiàn)都可用一個(gè)二元一次方程來(lái)表示，那么，圓是否也可用一個(gè)方程來(lái)表

2、示呢？如果能，這個(gè)方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：確定圓的基本條件為圓心和半徑，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為A(a,b)，半徑為r。（其中a、b、r都是常數(shù)，r>0）設(shè)M(x,y)為這個(gè)圓上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)M滿(mǎn)足的條件是（引導(dǎo)學(xué)生自己列出）P=M|MA|=r,由兩點(diǎn)間的距離公式讓學(xué)生寫(xiě)出點(diǎn)M適合的條件化簡(jiǎn)可得： 引導(dǎo)學(xué)生自己證明為圓的方程，得出結(jié)論。方程就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程表示圓心為A（a，b），半徑長(zhǎng)為r的圓.2. 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟為：(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，

3、b，r的方程組；(3)解此方程組，求出a，b，r的值； .(4)將所得的a，b，r的值代回所設(shè)的圓的方程中，就得到所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3. 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：（1）幾何法：根據(jù)題意，求出圓心坐標(biāo)與半徑，然后寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）待定系數(shù)法：先根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，然后解出a，b，r，再代入標(biāo)準(zhǔn)方程.二、圓的一般方程1.方程表示的曲線(xiàn)不一定是圓，只有當(dāng)時(shí)，它表示的曲線(xiàn)才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱(chēng)為圓的一般方程.2. 對(duì)于方程 .(1)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示（1）當(dāng)時(shí)，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；（2）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解，即只表示一個(gè)點(diǎn)（-，-）;（3）當(dāng)時(shí)

4、，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形3.圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于0沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D，E，F(xiàn)，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了(3)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯.例1求過(guò)三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先設(shè)出圓的一般方程 解：設(shè)所求的圓的方程為：在圓上，所以它們的坐標(biāo)

5、是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于的三元一次方程組.即解此方程組，可得：所求圓的方程為：；得圓心坐標(biāo)為（4，-3）.或?qū)⒆筮吪浞交癁閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標(biāo)為(4,-3) 練習(xí)：1判斷二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為 （ ）A.-1. B.2 C.-1或2 D.13.一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)與，圓心在直線(xiàn)上，求此圓的方程.4.求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為4的圓的方程.5.一圓與y軸相切，圓心在直線(xiàn)x-3y=0上，且直線(xiàn)y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2，求圓的方程。6已知圓滿(mǎn)

6、足：截y軸所得弦長(zhǎng)為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1；圓心到直線(xiàn)l：x-2y=0的距離為，求該圓的方程三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外即（1）點(diǎn)在圓上等價(jià)于；（2）點(diǎn)在圓內(nèi)部等價(jià)于；（3）點(diǎn)在圓外部等價(jià)于2.涉及最值：（1）圓外一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值（2）圓內(nèi)一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值 思考：過(guò)此點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直）練習(xí)：1.已知點(diǎn)在圓上，求的值2.設(shè)點(diǎn)P(2,-3)和圓(x+4)2+(y-5)2=9上各點(diǎn)距離為d,則d的最大值為_(kāi)四、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系I 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 在初中我們知道直線(xiàn)現(xiàn)圓有三種位置關(guān)系：

7、（1）相交，有一兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）相離，沒(méi)有公共點(diǎn)。2. 在初中我們知道怎樣判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系？現(xiàn)在如何用直線(xiàn)和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？3.判斷方法（為圓心到直線(xiàn)的距離）（1）相離沒(méi)有公共點(diǎn)（2）相切只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）相交有兩個(gè)公共點(diǎn)4.直線(xiàn)與圓相切（1）知識(shí)要點(diǎn)基本圖形(如圖)主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線(xiàn)方程、切線(xiàn)長(zhǎng)等問(wèn)題：直線(xiàn)與圓相切意味著什么？：圓心到直線(xiàn)的距離恰好等于半徑（2）常見(jiàn)題型求過(guò)定點(diǎn)的切線(xiàn)方程切線(xiàn)條數(shù)：點(diǎn)在圓外兩條；點(diǎn)在圓上一條；點(diǎn)在圓內(nèi)無(wú)求切線(xiàn)方程的方法及注意點(diǎn)i）點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)，圓：，第一步：設(shè)切線(xiàn)方程 第二步：通過(guò)，從而得到切線(xiàn)方程

8、特別注意：（i）以上解題步驟僅對(duì)存在有效，當(dāng)不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上千萬(wàn)不要漏了?。╥i）點(diǎn)在圓上（1）若點(diǎn)在圓上，則切線(xiàn)方程為（2）若點(diǎn)在圓上，則切線(xiàn)方程為求切線(xiàn)長(zhǎng)：利用基本圖形，求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程3.直線(xiàn)與圓相交（1）求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題垂徑定理及勾股定理常用弦長(zhǎng)公式：（掌握，圓錐曲線(xiàn)將會(huì)涉及）（2）判斷直線(xiàn)與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi).（3）關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題練習(xí)：1.直線(xiàn)3x-4y+1=0被圓(x-3)2+y2=9截得的弦長(zhǎng)為 （ ） (A) (B)4 (C) (D)2 2.若直線(xiàn)ax+y=1與圓(x-)2+(y-2)2=1 有兩個(gè)不同交點(diǎn)

9、，則a的取值范圍是 （ ）A.(0, ) B.(- ,0) C.( ,+) D.(-,- )3.已知點(diǎn)M(a,b)(a,b0)是圓C:x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，直線(xiàn)l是以M為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)，直線(xiàn)m的方程是ax+by=r2,那么 （ ）A.l/m且m與圓C相切 B. lm且m與圓C相切C.l/m且m與圓C相離 D. lm且m與圓C相離4.直線(xiàn)(x+1)a+b(y+1)=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系是 （ ）A.相離 B.相切 C.相交或相切 D.不能確定5.把直線(xiàn)x-2y+l=0向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得直線(xiàn)正好與圓x2+y2+2x-4y=0相切，則實(shí)數(shù)l的值為 （

10、 ）A.3或13 B.-3或13 C.3或-13 D.-3或-136.直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則三角形（是原點(diǎn)）的面積等于 。7.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，求此直線(xiàn)在y軸上的截距. 8.過(guò)點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程.9.已知圓：，直線(xiàn)：（）（1）證明：不論取什么值，直線(xiàn)與圓均有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求其中弦長(zhǎng)最短的直線(xiàn)方程.五、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1.圓本身關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)過(guò)圓心。2.圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的方程轉(zhuǎn)化為圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，半徑不變。練習(xí)：1、曲線(xiàn)x2+y2+2x-2y=0關(guān)于 （ ）A.直線(xiàn)x=軸對(duì)稱(chēng) B. 直線(xiàn)y=-x軸對(duì)稱(chēng)C.點(diǎn)（-2,）中心對(duì)稱(chēng) D.點(diǎn)（-,0）中心對(duì)稱(chēng)2.若圓，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的值_

11、 .3.已知圓C與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為 （ ） A. B. C. D.4.已知圓：與圓：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)的方程為_(kāi) .5.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程是_.六、最值問(wèn)題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；練習(xí)：1.在圓x2+y2=4上，與3x-4y-12=0距離最長(zhǎng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ）A. (,- ) B. (,- ) C. (- ,) D. (- ,)2.在圓上，在圓，則的最小值是 。3.一束光線(xiàn)從點(diǎn)A(-1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（ ）A.4 B.5 C.31 D.2 4.從點(diǎn)(m,3)向圓x2+y2-2x=0作切線(xiàn)，則切線(xiàn)

12、長(zhǎng)的最小值是 （ ）A.2 B. C.3 D. 5.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2）的最小值；（3）的最大值和最小值.七、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）（1）外離 （2）外切（3）相交 （4）內(nèi)切（5）內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說(shuō)明：若與相切，則表示其中一條公切線(xiàn)方程；若與相離，則表示連心線(xiàn)的中垂線(xiàn)方程.3圓系問(wèn)題（1）過(guò)兩圓：和：交點(diǎn)的圓系方程為（）說(shuō)明：1）上述圓系不包括；2）當(dāng)時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線(xiàn)方程（公共弦）（2）過(guò)直線(xiàn)與圓交點(diǎn)的圓系方程為（3）兩圓公切線(xiàn)的條數(shù)問(wèn)題相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線(xiàn)；相外切時(shí)，

13、有三條公切線(xiàn)；相交時(shí)，有兩條公切線(xiàn)；相離時(shí)，有四條公切線(xiàn)練習(xí)：1.若圓C1: x2+y2-2mx+m2=4和圓C2: x2+y2+2x-4my=8-4m2相交，則m的取值范圍是（ ）A. (- ,- ) B.(0,2) C. (- ,)(0,2) D. (- ,- )(0,2)2.兩個(gè)圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線(xiàn)有且僅有 （ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條3求以圓C1x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程 八、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略（2）直接法：通過(guò)

14、已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程.練習(xí)：1.已知M (-1,0), N (3,0), 則以MN為斜邊的直角三角形直角頂點(diǎn)P的軌跡方程( )(A) (B)(C) (D) 2.過(guò)原點(diǎn)O作圓x2+y2+6x=0的弦OA (1)求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程； (2)延長(zhǎng)OA到N，使|OA|=|AN|，求N點(diǎn)的軌跡方程.3.如圖，圓與圓的半徑都是1，=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓、圓的切線(xiàn)PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。PMO1O24 如圖，已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線(xiàn)長(zhǎng)與|M

15、Q|的比等于求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)。 xQyO九、空間直角坐標(biāo)系I 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.提問(wèn)：平面直角坐標(biāo)系的建立方法，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定過(guò)程、表示方法？2.討論：一個(gè)點(diǎn)在平面怎么表示？在空間呢？ II 講授新課：1.空間直角坐標(biāo)系：如圖，是單位正方體.以A為原點(diǎn)，分別以O(shè)D,O,OB的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)點(diǎn)A叫做坐標(biāo)原點(diǎn) (2)x 軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸. (3)過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。2. 右手法則： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。3.有序?qū)崝?shù)組（1).空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱