均值不等式求最值的常用技巧及習(xí)題含解答

1、 利用基本不等式求最值的常用技巧及練習(xí)題（含解答）（經(jīng)典）一基本不等式的常用變形1.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng) _時取“=”） 若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)_時取“=”）2.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)_時取“=”） 若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)_時取“=”）注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1 已知，且滿足，則xy的最大值為 _。解：因為x>0，y>0，所以(當(dāng)且僅當(dāng)，即x=6，y=8時取等號

2、)，于是，故xy的最大值3.變式：若，求的最小值.并求x,y的值解： 即xy=16 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立技巧二：配湊項求例2：已知，求函數(shù)的最大值。解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。例3. 當(dāng)時，求的最大值。解： 當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。例4. 求的值域。解：當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。練習(xí)：1、已知，求函數(shù)的最大值.；2、 ，求函數(shù)技巧三：“1”的巧妙利用（常數(shù)代換）錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在

3、利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。變式： （1）若且，求的最小值(2) 已知且，求的最小值2：已知，且，求的最小值。(3) 設(shè)若的最小值為（） A 8 B 4 C 1 D 解析：因為，所以。又所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”。故選（）技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取

4、得最小值時，x 的值. （1） （2） (3) 的最大值.技巧六、已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x·下面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x 技巧七：已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式

5、放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一：a， ab·b 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y點評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧八、取平方5、已知x，

6、y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡單 2 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2 變式: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號。 故。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝没静坏仁角笞钪禃r，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等

7、式。 技巧9：消元例1.設(shè)為正實數(shù)，則的最小值是_.技巧10.換元例1. 求函數(shù)的最大值. 練習(xí)題：1.若a>0，b>0，a，b的等差中項是，且a，b，則的最小值為()A2 B3 C4 D52. 已知三個函數(shù)y2x，yx2，y的圖象都過點A，且點A在直線1(m>0，n>0)上，則log2mlog2n的最小值為_3. 已知正數(shù)a，b，c滿足：a2bc1則的最小值為_4. 設(shè)M是ABC內(nèi)一點，且·2，BAC30°，定義f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分別是MBC，MCA，MAB的面積若f(M)，則的最小值是_5. 某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費對產(chǎn)品進

8、行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計銷售量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q(x0)已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬元此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，若每件銷售價為“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和(1)試將年利潤W(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)；(2)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？最大利潤為多少？6. 設(shè)正實數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時,的最大值為（）A0B1CD37.已知_.8. 已知a0，b0，a+b=2，則y=的最小值是A B4 C D59. 設(shè)為實數(shù)，若則的最大值是 。10.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，

9、則x+2y的最小值是11. 設(shè)，則的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 B. 4 C. D. 11.習(xí)題答案：1. 為a、b的等差中項，ab×21.ab111，ab.原式14.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1/2時，的最小值為5.故選D.2. 由題易得，點A的坐標(biāo)為(2,4)，因為點A在直線1(m>0，n>0)上，所以12，mn16，所以log2mlog2nlog2(mn)4，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=4時，故log2mlog2n的最小值為4.3.答案64解析4222464，等號在，同時成立時成立即acb1時等號成立4.答案18解析·|·|cos30°|AB|·|AC|2，|AB|·|AC|4，由f(M)的定義知，SABCxy，又SABC|AB|·|AC|·sin30°1，xy(x>0，y>0)2(xy)22(52)18，等號在，即y2x時成立，min18.5. 解析(1)由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q3)萬元，每萬件銷售價為×150%×50%，年銷售收入為(×150%×50%)·Q(32Q3)x，年利潤W(32Q3)x(32Q3)x(32Q3x)(x0)(2)令x1t(t1)，則W50.t1，2