向量在解析幾何中的應(yīng)用13534

1、向量在解析幾何中的應(yīng)用作者：嵩明縣第一中學(xué)：吳學(xué)偉解析幾何是歷年數(shù)學(xué)高考舞臺(tái)上必唱“主角”之一。近年來(lái)命題人往往以解析幾何的傳統(tǒng)內(nèi)容為載體，融合向量等其它相關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)出與軌跡問(wèn)題的交匯與整合、向量與二次曲線方程問(wèn)題的交匯與整合、向量與有關(guān)證明或范圍問(wèn)題的交匯與整合。一、 向量基礎(chǔ)知識(shí)（1）、向量的數(shù)量積定義：（2）、向量夾角公式：與的夾角為，則（3）、向量共線的充要條件：與非零向量共線存在惟一的，使。（4）、兩向量平行的充要條件：向量,平行（5）、兩向量垂直的充要條件：向量（6）、向量不等式：，（7）、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：向量,，則二、向量的應(yīng)用1、利用向量證明等式材料一：已知、是任意角，求證：

2、。證明：在單位圓上，以軸為始邊作角，終邊交單位圓于A，以軸為始邊作角，終邊交單位圓于B，有，所以有：又即點(diǎn)評(píng)：對(duì)于某些恒等式證明，形式中含有或符合向量的坐標(biāo)運(yùn)算形式，可運(yùn)用向量的數(shù)量積定義和向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明。2、利用向量證明不等式材料二：是正數(shù)。求證：證明：設(shè)由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：又因?yàn)?，所以成立。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)求解問(wèn)題（式子）中含有乘積或乘方時(shí)，可巧妙地利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)式：，構(gòu)造向量解之。3、利用向量求值材料三：已知，求銳角。解析：由條件得設(shè)，則，由，得，即，則，即，同理（因?yàn)?、為銳角）點(diǎn)評(píng)：對(duì)于求值問(wèn)題，巧妙地運(yùn)用向量的數(shù)量積定義構(gòu)造等量關(guān)系求值。變式：已知、的坐標(biāo)分別為、，。（）、若

3、，求角的值；（）、若，求的值。解析：（），由得，又，（）、由得（）又由（）式兩邊平方得，4、利用向量求函數(shù)值域材料四：若，求的最小值。解析：構(gòu)造向量，由，得即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值變式：設(shè)是實(shí)數(shù)，求的最小值。解析：，故可設(shè)，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。所以當(dāng)時(shí), 取最小值點(diǎn)評(píng)：巧妙構(gòu)造向量，可以解決條件最值問(wèn)題，特別是某些含有乘方之和或乘積之和式子的條件最值問(wèn)題，用向量證明更有獨(dú)特之處。5、利用向量解決析幾何問(wèn)題材料六：過(guò)點(diǎn)，作直線交雙曲線于A、B不同兩點(diǎn)，已知。（1）、求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。（2）、是否存在這樣的直線，使若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解析：（1）、設(shè)直線的方

4、程為，代入得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由，則，解之得 再將代入得（1）當(dāng)時(shí)，滿足（1）式；當(dāng)斜率不存在是，易知滿足（1）式，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意。（2），所以平行四邊形OAPB為矩形，OAPB為矩形的充要條件是，即。當(dāng)不存在時(shí)，A、B坐標(biāo)分別為，不滿足上式。又化簡(jiǎn)得：，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故不存直線使OAPB為矩形。點(diǎn)評(píng)：平面向量和平面解析幾何是新老教材的結(jié)合點(diǎn)，也是近幾年高考?？疾榈臒狳c(diǎn)，解此類題應(yīng)注重從向量積的定義和向量的加減法的運(yùn)算入手，還應(yīng)該盡量聯(lián)系向量與解析幾何的共同點(diǎn)，綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)和技巧，使問(wèn)題有效解決。變式：已知雙曲線：，是右頂點(diǎn)

5、，是右焦點(diǎn)，點(diǎn)在x軸正半軸上，且滿足、成等比數(shù)列，過(guò)作雙曲線在第一象限的漸近線的垂線，垂足為，如圖所示。（） 求證：；（） 若與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)、，求雙曲線的離心率的范圍。解析：（）直線的方程為：，由解得、成等比數(shù)列，故軸，如圖所示。從而(2)、由得，即，即，點(diǎn)評(píng)：本題是平面向量的數(shù)量積、二次曲線、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯與整合，近幾年的高考解析幾何題中，多次考到了證明題或范圍問(wèn)題，因而在復(fù)習(xí)中對(duì)這類題要給予一定的重視。隨著復(fù)習(xí)的繼續(xù)與深入，我們還可以看到平面向量與概率、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)等知識(shí)的交匯與整合，為命題者施展了優(yōu)化創(chuàng)新試題的陳地，也為我們分析、解決問(wèn)題的切入點(diǎn)開辟了新的視角。 注：

6、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：（1） 給出直線的方向向量或，要會(huì)求出直線的斜率；（2）給出與相交,等于已知過(guò)的中點(diǎn);（3）給出,等于已知是的中點(diǎn);（4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實(shí)數(shù)；若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線.（6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形