研究生數(shù)值分析 二元插值

1、朱立永朱立永北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院Email: numerical_Password:buaa2015答疑時(shí)間：星期一下午15:0017:00答疑地點(diǎn)：雙周：西配樓519室， 單周：主南307第十四講分段插值和二元函數(shù)插值第五章插值與逼近插值有多種方法：插值有多種方法：Lagrange 插值、插值、Newton插值、插值、Hermite插值等多種方式。插值等多種方式。插值是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近是為得插值是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近是為得到一個(gè)數(shù)學(xué)問題的精確解或足夠精確的解。到一個(gè)數(shù)學(xué)問題的精確解或足夠精確的解。那么，那么，是否插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到是否插值

2、多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到這個(gè)目的呢？這個(gè)目的呢？插值多項(xiàng)式的收斂性lim( )( )nnP xf x 是否有，即要討論收斂性問題。是否有，即要討論收斂性問題。 我們已經(jīng)知道：我們已經(jīng)知道：f(x)在在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，2，n) 上的上的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Pn (x) 的余項(xiàng)的余項(xiàng) 設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可知，當(dāng)可知，當(dāng)f(x)充分光滑時(shí)，若余項(xiàng)隨充分光滑時(shí)，若余項(xiàng)隨n增大而趨于增大而趨于0時(shí)，時(shí)，這說明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的。那么實(shí)際是這說明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的。那么實(shí)際是這樣嗎？

3、這樣嗎？ niinnxxnfxPxfxR011)()!()()()()()(lim( )( )nnP xf x 是是否否有有，即即要要討討論論收收斂斂性性問問題題。 插值節(jié)點(diǎn)的增多插值節(jié)點(diǎn)的增多, 盡管使插值多項(xiàng)式在更多的插盡管使插值多項(xiàng)式在更多的插值節(jié)點(diǎn)上與函數(shù)值節(jié)點(diǎn)上與函數(shù) f(x) 的值相等的值相等,但在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間但在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間Pn(x)不一定能很好地逼近不一定能很好地逼近 f(x) , 有時(shí)誤差會(huì)大得驚人有時(shí)誤差會(huì)大得驚人,著名的龍格著名的龍格(Runge)現(xiàn)象證實(shí)了這個(gè)觀點(diǎn)現(xiàn)象證實(shí)了這個(gè)觀點(diǎn).例例:1901年龍格年龍格(Runge) 給出一個(gè)例子給出一個(gè)例子:201( )( 11

4、),1251( 1,1),( )( )knjnjjf xxxkxnnxxPyl 對(duì)對(duì)于于函函數(shù)數(shù)取取等等距距節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)即即將將區(qū)區(qū)間間進(jìn)進(jìn)行行 等等分分 得得到到龍格龍格(Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象兩等分三節(jié)點(diǎn)兩等分三節(jié)點(diǎn)四等分四等分5節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)10等分等分11節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象事實(shí)上，可以證明，對(duì)1/(1+25x2)這個(gè)函數(shù)在-1,1區(qū)間內(nèi)用n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)作插值多項(xiàng)式，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，插值多項(xiàng)式只能在|x|0.36內(nèi)收斂，而在這個(gè)區(qū)間之外是發(fā)散的，類似這樣的現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象.龍格龍格(Runge)現(xiàn)象表明插值多項(xiàng)式序列不收斂，實(shí)現(xiàn)象表明插值多項(xiàng)式序列不收斂，實(shí)際上，嚴(yán)格的理論分析可

5、知插值多項(xiàng)式序列確是際上，嚴(yán)格的理論分析可知插值多項(xiàng)式序列確是不收斂的，而且高階插值還是不穩(wěn)定的。不收斂的，而且高階插值還是不穩(wěn)定的。因此實(shí)際應(yīng)用中常采用分段低次插值。因此實(shí)際應(yīng)用中常采用分段低次插值。（1）分段線性插值）分段線性插值（2）分段二次插值與分段三次插值）分段二次插值與分段三次插值（3）分段）分段Hermite插值插值(4) 分段三次樣條插值分段三次樣條插值 因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。最多用三次插值多項(xiàng)式。 那么如何提高插值精度呢？那么如何提高插值精度呢？定義定義 設(shè)設(shè)f(xf(x) )是定義在是定義在 a,b

6、a,b 上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn) a= xa= x0 0 x x1 1xx2 2xxn-1n-1 x xn n=b,=b,的函數(shù)值為的函數(shù)值為 y y0 0 , y, y1 1 ,y,y2 2 ,y,yn-1 n-1 , ,y yn n , ,若函數(shù)若函數(shù) (x)(x)滿足滿足條件條件(1) (1) ( (x x) )在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間 x xi i , x, xi+1i+1(i=0,1,2,i=0,1,2,n-1,n-1) )上是線上是線 性插值多項(xiàng)式性插值多項(xiàng)式; ;(2) (2) ( (x xi i ) )= = y yi i,i,i=0,1,2,n=0,1,2,n(3)

7、(3) ( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 a , ba , b 上連續(xù)上連續(xù); ;則稱則稱 ( (x x) )是是f f( (x x) )在在 a ,ba ,b 上的上的分段線性插值多項(xiàng)式。分段線性插值多項(xiàng)式。1. 1.問題的提法問題的提法 分段線性插值問題的解存在唯一分段線性插值問題的解存在唯一. .一、分段線性插值多項(xiàng)式一、分段線性插值多項(xiàng)式2.2.分段線性插值函數(shù)的表達(dá)式分段線性插值函數(shù)的表達(dá)式 由定義，由定義， (x)在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多項(xiàng)式上是一次插值多項(xiàng)式;111111( )( )iiiiiiiiiixxxxxL xyyxx

8、xxxxx 分段線性插值曲線圖分段線性插值曲線圖：y=f(x)x0 x1x2xnXY0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表用用線線性性插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 設(shè)設(shè)34(1)(1)133441( )( )( ),()()ttxxL xlx ylx yf xL x 、, ,構(gòu)構(gòu)造造插插值值多多式式取取項(xiàng)項(xiàng)兩兩點(diǎn)點(diǎn)0( )( )njnjjL xx yl n n次次L La ag gr ra an ng ge e插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為1110( ),( )( )( )(

9、 )hhnhhiiihiL xL xL xlx ylx 將將分分段段線線性性插插值值函函數(shù)數(shù)記記為為將將表表為為其其中中為為分分段段線線性性插插值值基基函函數(shù)數(shù). . ( )1( )12()0hihiijijhllxijlxjxi （）為為分分分分段段線線性性插插值值基基函函數(shù)數(shù)應(yīng)應(yīng)滿滿足足段段線線性性 函函數(shù)數(shù)，（ ）101001(),)(hihlxxxxx xlxxx 分分段段線線性性0 0 插插值值基基函函數(shù)數(shù)的的具具 其其余余體體形形式式為為 x0 x1 xi xi+1 xn0( )hlx111111,( ),1,2,.,10iiiiihiiiiiixxxxxxxxxlxxx xinx

10、x 其余其余x0 xi-1 xi xi+1 xn( )hilx1110( ),hnnnnnnxxlxxxxxx 其其余余x0 x1 xi xn-1 xn( )hnlx11110,( )( )( )( )0,1,2,.,1iinhhhhiiiiiiixx xL xlxlx ylx yyin 分段線性插值函數(shù)可分段表示為:分段線性插值函數(shù)可分段表示為:對(duì)，對(duì)， .8| )()(|max , | )( |max2| )()(|max | )(|max ,)(22122211hMxIxfxxxxMxIxfxfMbaCxfhbxakkxxxhxxxbxakkkk 或，得到誤差估計(jì)時(shí)，記當(dāng)0.)()()(

11、)()( |)(| )(|)(| )( |)()()()()(| )()(| ,)( 111111hhhxlxlfxfxlfxfxlxlfxlfxlxlxfxIxfbaCxfkkkkkkkkkkkkkkh時(shí)，另一方面，當(dāng)).(| )()(| |,)()(hxfxfhxxxxbaxfh ，就有只要上的連續(xù)模，即對(duì)任意在是其中收斂性收斂性 用分段線性插值逼近上述例子的效果，取用分段線性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。21( ), 1,1125f xxx 3.3.分段線性插值函數(shù)的分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng)注意注意: h隨分段增多而減少，因此用分段插值提高精隨分段增多而減少，因此用分段插值提

12、高精 度是很好的途徑度是很好的途徑.定理：定理：設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x) ， 且且| f(x)| m2, 記：記： h = max |xi+1-xi|,就有估計(jì)：就有估計(jì)： |R(x)| = |f(x)- (x) | m2h2/ 8 , xa, b。0.02.h最最大大步步長長 應(yīng)應(yīng)取取4( )cos1102f xx 考考慮慮構(gòu)構(gòu)造造一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的等等距距節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)表表，要要使使分分例例：段段線線性性插插值值的的誤誤差差不不大大于于，最最大大步步長長h h應(yīng)應(yīng)取取多多大大？2max( )8a x bhRfx 解解：( )cos ,|( )| 1

13、fxxfx 2421|102 1082hRh0101.()inintx xxxy yyyf x已知等距節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)表已知等距節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)表用分段三次插值求用分段三次插值求例:例:的近似值。的近似值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 設(shè)設(shè)23453,( )xxxxLx，構(gòu)構(gòu)造造取取四四點(diǎn)點(diǎn)4439|()| |()()|16 4!tttMR xf xLxh誤誤差差3()()ttf xL x 分段二次插值與分段三次插值分段二次插值與分段三次插值0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知等等距距節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表用用分分段段二二次次插插值值求

14、求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 設(shè)設(shè)4332342433345,2( ),2ttxxxxxxxLxxxxxxxx ，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，取取當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，取取取取三三點(diǎn)點(diǎn)2()()ttf xL x 3233|()| |()()|27tttR xf xL xM h誤誤差差分段低次插值優(yōu)點(diǎn)：分段低次插值優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定計(jì)算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)不足：不足：不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程

15、技術(shù)上的要求。程技術(shù)上的要求。樣條插值：樣條插值：從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來的樣條插值（設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，既保留方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域有越來越廣泛的應(yīng)用。在許多領(lǐng)域有越來越廣泛的應(yīng)用。 二元函數(shù)插值二元函數(shù)插值矩形區(qū)域上函數(shù)矩形區(qū)域上函數(shù)f(x, y)的雙線性插值的雙線性插值 x1 x2y2y1插值條件插值條件: P(x1, y1) = z1, P(x2, y1) = z2, P(x2

16、, y2) = z3, P(x1, y2) = z4P(x, y) = ax + by + cxy + d l1(u，v)= (1 u)(1 v)l2(u，v)= u(1 v)l3(u，v)= u vl4(u，v)= (1 u) v 121xxxxu 121yyyyv 其中其中P(x, y) = z1(1 u)(1 v)+ z2 u(1 v) + z3 u v + z4 (1 u)v 三角形區(qū)域三角形區(qū)域線性插值線性插值 插值條件插值條件: z1= P(x1, y1) z2 = P(x2, y2) z3 = P(x3, y3 )(x1, y1)(x3, y3)(x2, y2) 333222111zcbyaxzcbyaxzcbyax拉格朗日方法拉格朗日方法 P(x, y)=l1(x, y)z1+l2(x, y)z2+l3(x,