幾何模型一線三等角模型

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)一線三等角模型一.一線三等角概念“一線三等角”是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對(duì)此有不同的稱呼， “K 形圖”，“三垂直”，“弦圖”等，以下稱為“一線三等角”。二.一線三等角的分類全等篇 同側(cè) 銳角 直角 鈍角 異側(cè)相似篇 同側(cè) 銳角 直角 鈍角 異側(cè)三、“一線三等角”的性質(zhì)1.一般情況下，如圖 3-1，由1=2=3，易得AECBDE.2.當(dāng)?shù)冉撬鶎?duì)的邊相等時(shí)，則兩個(gè)三角形全等.如圖 3-1，若 CE=ED，則AECBDE.3.中點(diǎn)型“一線三等角”如圖 3-2，當(dāng)1=2=3，且 D 是 BC 中點(diǎn)時(shí)

2、，BDECFDDFE.4.“中點(diǎn)型一線三等角“的變式(了解)如圖 3-3，當(dāng)1=2 且時(shí)，點(diǎn) O 是ABC 的內(nèi)心.可以考慮構(gòu)造“一線三等角”.如圖 3-4“中點(diǎn)型一線三等角”通常與三角形的內(nèi)心或旁心相關(guān)， 這是內(nèi)心的性質(zhì)，反之未必是內(nèi)心.在圖 3-4（右圖）中，如果延長(zhǎng) BE 與 CF，交于點(diǎn) P，則點(diǎn) D 是PEF 的旁心.5.“一線三等角”的各種變式（圖 3-5，以等腰三角形為例進(jìn)行說明 ）圖 3-5其實(shí)這個(gè)第 4 圖，延長(zhǎng) DC 反而好理解.相當(dāng)于兩側(cè)型的，不延長(zhǎng)理解，以為是一種新型的，同側(cè)穿越型？不管怎么變，都是由三等角確定相似三角形來進(jìn)行解題四、“一線三等角”的應(yīng)用1.“一線三等角

3、”應(yīng)用的三種情況.a.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；b.圖形中存在“一線二等角”，不上“一等角”構(gòu)造模型解題；c.圖形中只有直線上一個(gè)角，不上“二等角”構(gòu)造模型解題.體會(huì)：感覺最后一種情況出現(xiàn)比較多，尤其是壓軸題中，經(jīng)常會(huì)有一個(gè)特殊角或指導(dǎo)該角的三角函數(shù)值時(shí)，我經(jīng)常構(gòu)造“一線三等角”來解題.2.在定邊對(duì)定角問題中，構(gòu)造一線三等角是基本手段，尤其是直角坐標(biāo)系中的張角問題，在 x 軸或 y 軸（也可以是平行于 x 軸或 y 軸的直線）上構(gòu)造一線三等角解決問題更是重要的手段.3.構(gòu)造一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)相似坐標(biāo)系中，要講究“線”的特殊性如圖 3-6，線上有一特殊角，就考

4、慮構(gòu)造同側(cè)型一線三等角當(dāng)然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個(gè)特殊角導(dǎo)線段的關(guān)系，過 C、D 兩點(diǎn)作直線 l 的垂線是必不可少的。兩條垂線通常情況下是為了“量化”的需要。上面就是作輔助線的一般程序，看起來線條比較多，很多老師都認(rèn)為一下子不容易掌握.解題示范例 1 如圖所示，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 是線段 AB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括 A、B 兩端點(diǎn)），C 是線段 OB 上一點(diǎn)，OPC=45，若OPC 是等腰三角形,求點(diǎn) P 的坐標(biāo).例 2 如圖所示，四邊形 ABCD 中，C=90,ABD=DBC=22.5，AEBC 于 E，ADE=67.5，AB=6,則 CE= .例 3

5、 如圖，四邊形 ABCD 中,ABC=BAD=90，ACD=45，AB=3，AD=5.求 BC 的長(zhǎng).例 4 如圖，ABC 中,BAC=45，ADBC，BD=2，CD=3,求 AD 的長(zhǎng).一線三等角，補(bǔ)形最重要，內(nèi)構(gòu)勤思考，外構(gòu)更精妙.找出相似形，比例不能少.巧設(shè)未知數(shù)，妙解方程好還是可以縱橫斜三個(gè)方向構(gòu)造，坐標(biāo)系中一般考慮縱橫兩個(gè)方向構(gòu)造例 5 如圖，在ABC 中，BAC=135， AC= AB, ADAC 交 BC 于點(diǎn) D，若 AD = ， 求ABC的面積當(dāng)然有45或 135等特殊角，據(jù)此也可以構(gòu)造不同的一線三等角一線三等角所有的構(gòu)造都是把分居定角兩側(cè)的數(shù)據(jù)集中在一起，是相似集中條件的一

6、種 .大練身手：例7：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（0，3），C（3，0），D是線段AB上一點(diǎn)，CD交y軸于E，且SBCE 2SAOB （1）求直線AB的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，猜想線段CE與線段AB的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；yEDCAOBx（3）若F為射線CD上一點(diǎn)，且DBF45，求點(diǎn)F的坐標(biāo)例8：如圖，直線yx2與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線yax 2交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），BC2AC，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在直線AB的下方，求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值；（3）若點(diǎn)P在直線AB的上方，且BPC45，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

7、BxyCAO練1：.如圖，拋物線的頂點(diǎn)為C（1，1），且經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B和坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為拋物線上的一點(diǎn)，且BOD的面積等于BOC的面積，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得OPE45？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由BACOxyE課后作業(yè)：如圖，點(diǎn)A(0,-1),B(3,0),P為直線y= -x+5上一點(diǎn)，若APB=45，求點(diǎn)P的坐標(biāo)在四邊形ABCD中，ABC=BAD=90，ACD=45，AB=3,AD=4,求AC的長(zhǎng).如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E,F,G分別在AB,B

8、C,CD上，EFG為等邊三角形，求證：BE+GC=BC如圖，ABCDBA,且AC=BC,求證:CD=2AB.如圖，在四邊形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA，求BD的長(zhǎng)如圖，點(diǎn)A 是反比例（X0）圖形上一點(diǎn)，點(diǎn)B是X軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)ABC是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).如圖，拋物線yax 2bx4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l：y xm經(jīng)過點(diǎn)A，與拋物線交于另一點(diǎn)D（5， ），點(diǎn)P是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PD（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)PCD為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)PCD的面積為S，

9、請(qǐng)你探究：使S的值為整數(shù)的點(diǎn)P共有幾個(gè)，說明理由yxOABCDl1.如圖1,已知直線y=kx與拋物線 交于點(diǎn)A（3，6）.（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長(zhǎng)度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線PM, 交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合）,交直線OA于點(diǎn)Q,再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線,交y軸于點(diǎn)N.試探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是,求出這個(gè)定值,如果不是,說明理由；（3）如圖2,若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn),點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合）,點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn),且滿足BAE=BED=AOD.繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí),符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？OxyABED圖