參數(shù)思想與方法在解析幾何中的應(yīng)用

1、參數(shù)思想及參數(shù)方法在解析幾何中的應(yīng)用當(dāng)直接尋找變量x，y之間的關(guān)系顯得很困難的時(shí)候，恰當(dāng)?shù)匾胍粋€(gè)中間變量t（稱之為參數(shù)），分別建立起變量x，y與參數(shù)t的直接關(guān)系，從而間接地知道了x與y之間的關(guān)系。這種數(shù)學(xué)思想即稱之為“參數(shù)思想”。通過引入?yún)?shù)、建立參數(shù)方程求解數(shù)學(xué)問題的方法即稱之為“參數(shù)方法”。參數(shù)思想和參數(shù)方法在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用。比如利用參數(shù)方程可以求動點(diǎn)的軌跡問題，變量的范圍及最值問題，定點(diǎn)和定值問題等等。運(yùn)用參數(shù)方法的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇，即如何引參（常見的引參方式有：點(diǎn)參數(shù)；斜率參數(shù)；截距參數(shù)；距離參數(shù)；比例參數(shù)；角參數(shù)；時(shí)間參數(shù)等。），然后通過必要的運(yùn)算和推理，建立目標(biāo)變量與

2、參數(shù)的某種聯(lián)系，最后又消去參數(shù)只保留目標(biāo)變量而獲解。解題時(shí)應(yīng)注意參數(shù)范圍的限定，以確保變形過程的等價(jià)性。一、知識概要1一般曲線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）x，y分別是參數(shù)t的函數(shù)。2直線的參數(shù)方程設(shè)直線過定點(diǎn)P0（x0，y0），為其傾斜角，P（x、y）是上任一點(diǎn)，P0Pt（有向線段的數(shù)量），則直線的參數(shù)方程是，當(dāng)P點(diǎn)在P0的上方（右方）時(shí)t>0；當(dāng)P在P0的下方（左方）時(shí)t<0。如果把直線看成以P0為原點(diǎn)，向上或向右為正方向的數(shù)軸，則t是點(diǎn)P的坐標(biāo)。設(shè)P1，P2是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，分別對應(yīng)t1，t2（即P0Pt1，P0Pt2），則線段P1P2的中點(diǎn)對應(yīng)t中；線段P1P2的長度為|P1P2|

3、t1t2|。3圓的參數(shù)方程圓：(xx0)2(yy0)2r2的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，表C的動半徑的旋轉(zhuǎn)角）4橢圓的參數(shù)方程橢圓：b2(xx0)2a2(yy0)2a2b2的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，表動點(diǎn)P（x，y）的離心角）5雙曲線的參數(shù)方程雙曲線:b2(xx0)2a2(yy0)2a2b2的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，表雙曲線上動點(diǎn)P（x，y）的離心角）6拋物線的參數(shù)方程拋物線:(yy0)22p(xx0)的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)，表動點(diǎn)P（x，y）與頂點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)）二、典型例題（一）軌跡問題例1 （全國高中聯(lián)賽） 若動點(diǎn)P（x，y）以等角速度在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動，則點(diǎn)（2xy，y2x2）的運(yùn)動方程是

4、A以角速度在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動 B以角速度在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動C以角速度2在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動 D以角速度2在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動解：將P（x，y）表示成（>0，t為參數(shù)）又令的坐標(biāo)為（u，v），則u2xy2costsintsin2tcos(2t)，vy2x2sin2tcos2tcos2tsin(2t)，（u，v）的參數(shù)方程為，顯然，t與2t的旋轉(zhuǎn)方向是相反的。而P（x，y）在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動，（2xy，y2x2）以角速度2在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動。選C。例2 （2000年希望杯一試18題） 過原點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線yx2于A、B兩點(diǎn)，則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是。解：設(shè)：yk

5、x，則：y（易知k應(yīng)存在且不為0），聯(lián)立：得A（k，k2），同理B。設(shè)AB中點(diǎn)為M（x，y），則消去k得y2x21例3 （全國高中聯(lián)賽） 設(shè)0<a<b，過兩定點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）分別作直線和m，使與拋物線y2x有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí)，求這兩條直線與m的交點(diǎn)的軌跡。解：本題是過定點(diǎn)弦問題，宜用參數(shù)法。在利用四點(diǎn)共圓條件時(shí)，應(yīng)充分挖掘幾何條件去轉(zhuǎn)化，比如圓冪定理。設(shè)與m交于點(diǎn)P（x0，y0），它們與x軸的傾角分別為1，2，于是：，t為參數(shù) m：t為參數(shù) 將代入y2x得t2sin21t(2ysin1cos1)(yx0)0，由韋達(dá)定理得|t1|t2|，由參數(shù)t的幾何意義得

6、|PA1|PA2|。將代入y2x，同理有|PB1|PB2|.A1、A2、B1、B2四點(diǎn)共圓，由圓冪定理得，|PA1|PA2|PB1|PB2|,sin21sin22,故12或12.若12，則m，無交點(diǎn)，故舍去。若12，故過定點(diǎn)A（a，0），B（b，0）的直線方程分別為：yk(xa) m：yk(xb),聯(lián)立解得直線的交點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)為：,交點(diǎn)P的軌跡為直線（除去與x軸的交點(diǎn)和與y2x的交點(diǎn)）方法二： 設(shè)的方程為ykxka0，m的方程為：ykxkb0，于是過，m與y2x的四個(gè)不同交點(diǎn)的二次曲線，應(yīng)有方程：y2x（ykxka）（ykxkb）0,即：（1）y2（kk）xykkx2（kakb）k

7、k(ab)1xkkab0，它成為圓的充要條件是即：,這種直線：ykxka0；m：ykxkb0的交點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)即P在AB的中垂線上，故P點(diǎn)的軌跡是直線（除去其與x軸，y2x的三個(gè)交點(diǎn)）.（二）定點(diǎn)定值問題例4 （98年全國高中聯(lián)賽） 已知拋物線y22px及定點(diǎn)A（a，b），B（a，0）（ab0，b22pa），M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1，M2，求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時(shí)（只要M1，M2存在且M1M2），直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：分析：設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0）由直線AM，MB與拋物線相交可以表示出交點(diǎn)M1，M2的坐標(biāo)（

8、用x0，y0，a，b，p表示），又可求定點(diǎn)P（x，y）在直線M1M2上，故P，M1，M2三點(diǎn)共線可化簡為關(guān)于P（x，y）的方程，系數(shù)用x0，y0表示，由于（x0，y0）的任意性而求出P（x，y）。設(shè)M，M1，M2的坐標(biāo)分別為,由A，M，M1共線得：，化簡得:y1y0b(y1y0)2pa即y1, 同理：由B，M1，M2共線得：y2, 設(shè)（x，y）是直線M1M2上的點(diǎn)，則y1y2y(y1y2)2px,由（1）、（2）和（3）消去y1，y2得:,經(jīng)整理得：,由（x0，y0）的任意性知上式成立，當(dāng)且僅當(dāng)解得直線M1M2恒過定點(diǎn)（a，）.評注 ：本題不是直接求出點(diǎn)M1，M2的坐標(biāo)，而是設(shè)出M1，M2的坐

9、標(biāo)并當(dāng)作參數(shù)（點(diǎn)參數(shù)），再利用共線條件，建立起M與M1，M2的坐標(biāo)關(guān)系，從而間接寫出直線M1M2的方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo)。這是參數(shù)思想的完美體現(xiàn)，具體到技巧而言，就是常見的“設(shè)而不求”的手法。方法二：設(shè)M，M1，M2的坐標(biāo)為,同方法一得y1y0b(y1y0)2pa,y2y02pa, 由,消去y0得：y1y2(y1y2)2pa, 而過兩點(diǎn)M1，M2的直線方程為：y1y2(y1y2)·y2px, 比較，得從而得證例5 （00年全國聯(lián)賽一試十五題） 已知C0：x2y21和C1：1（a>b>0），試問當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足條件時(shí)，對C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)，與C0外切，與C

10、1內(nèi)接的平行四邊形？證明你的結(jié)論。解：所求條件為：。必要性：易知圓的外切平行四邊形必為菱形，圓心即菱形中心。假設(shè)結(jié)論成立，則對點(diǎn)（a，0），有以（a，0）為頂點(diǎn)的菱形與C1內(nèi)接，與C0外切，（a，0）相對的頂點(diǎn)為（a，0）。由于菱形的對角線互相垂直平分。另兩個(gè)頂點(diǎn)必為（0，b），（0，b）從而菱形的一條邊的方程為1，即bxayab0。由于菱形與C0外切，故必有，整理得：。充分性：設(shè)，P是C1上任意一點(diǎn)，過P，O作C1的弦PR，再過O作與PR垂直的弦QS，則PQRS為與C1內(nèi)接的菱形，設(shè)|OP|r1，|OQ|r2，則P、Q的坐標(biāo)分別為（r1cos，r1sin），（r2cos()，r2sin()）

11、代入橢圓方程，得，,于是又在RtPOQ中，設(shè)點(diǎn)O到PQ的距離為h，則：，故h1。同理：點(diǎn)O到QR，RS，SP的距離也為1。故菱形PQRS與C0外切。評注：本題應(yīng)先憑直覺分析圖形特征找出必要條件，然后再證充分性。實(shí)質(zhì)是探求定值問題，利用橢圓的參數(shù)方程及三角中平方關(guān)系即可找出定值從而得證。（三）最值和范圍問題例6 （02年全國高中聯(lián)賽題） 已知點(diǎn)A（0，2）和拋物線y2x4上兩點(diǎn)B、C，使得ABBC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)取值范圍。解：設(shè)B的坐標(biāo)為（），點(diǎn)C（y24，y）,顯然40，故kAB,由于ABBC，kBC（y12），從而： 消去x，注意到y(tǒng)y1，得（2y1）（yy1）10,即（2y）y1（2y1）

12、0，由0解得y0或y4.當(dāng)y0時(shí)，B的坐標(biāo)為（3，1）；當(dāng)y4時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，3）均滿足題意。故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍為（，04，例7（全國高中聯(lián)賽） 已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（1，1），（2，2）。若直線：xmym0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是什么？解：設(shè)M（x，y）為PQ延長線上任意一點(diǎn)且,顯然有，,代入的方程得,而23m0得，又顯然23m不大于零（否則>0）故23m<0，m<，又由得m>3。故m。方法二：直線PQ的方程為y1(x1)，即x3y40,解方程組當(dāng)m3時(shí)得,即為與直線PQ的交點(diǎn)坐標(biāo)。欲使交點(diǎn)位于有向線段PQ的延長線上，

13、須且只需或解之均有3<m<。而當(dāng)m3時(shí)，方程組無解。故m。例8 （希望杯試題） 已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)A（2，2）和B（4，1），又點(diǎn)P（x，y）在橢圓1上，則SABP的最大值等于 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。解：的方程為：3x2y100，且|AB|,又設(shè) P點(diǎn)坐標(biāo)為（3cos2，2sin1）. 故P點(diǎn)到的距離d.其中，SABPd，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)有：x23cos23sin2；y12sin12cos1三、鞏固練習(xí)1（湖南省數(shù)學(xué)競賽98年） 已知直線（t為參數(shù)），與圓（為參數(shù)）相切，則直線的傾斜角為A或B或C或D或解：將代入(x4)2y24得t28tcos120，由0，得cos，而即為傾斜角且0

14、<即得。選A。2（02年全國聯(lián)賽4） 直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，過橢圓上P，使得PAB面積為3，則這樣的點(diǎn)P共有A1B2C3D4ByxP1AO解：設(shè)P1（4cos，3sin）（0<<），即點(diǎn)P1在第一象限的橢圓弧上，如圖，考慮四邊形P1AOB的面積S。SSOAP1SOBP1×4×3sin×3×4cos6(sincos)6sin(),故Smax6（此時(shí)），而SOAB×4×36為定值。66<3，故點(diǎn)P不可能在直線AB的上方,顯然在直線AB的下方有2個(gè)點(diǎn)P，故選B。3 若橢圓x24(ya)24拋物線x22y有公共點(diǎn)

15、，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。解：令代入x22y得4cos22(asin),a2cos2sin2(sin)2，即sin1，1，a4（89年全國高中聯(lián)賽） 當(dāng)s與t取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，則(S53|cost|)2(S2|sint|)2所能達(dá)到的最小值是。解：填2?？疾橹本€與橢圓弧則原式的幾何意義在于：直線上任意一點(diǎn)與橢圓弧上任意一點(diǎn)之間距離的平方,點(diǎn)C到直線AB距離d為最短，故所求為d22。5（04年中學(xué)生數(shù)學(xué)智能通訊賽）已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N。（1）求證：直線MN必過定點(diǎn)；（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點(diǎn)H的軌跡方

16、程。解：（1）由題設(shè)可知F（1，0），設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），M（xM，yM），N（xN，yN），直線AB的方程為：yk(x1)，則A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y24x相減得yAyB，即yM，代入方程yk(x1)，解得xM，同理N的坐標(biāo)為（2k21，2k）,直線MN的斜率KMN,整理得：y(1k2)k(x3)顯然無論k為何值（3，0）均滿足上式,直線MN恒過定點(diǎn)Q（3，0）.（2）過M、N作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足分別為E、F，由拋物線的性質(zhì)知：準(zhǔn)線x1為圓M與圓N的公切線。設(shè)M與N的相交弦交公切線于點(diǎn)G，由平面幾何的知識易得，G為EF的中點(diǎn)，xG1，yG，即G（1，）.又因?yàn)楣蚕冶嘏c兩圓的

17、連心線垂直，所以公共弦的斜率為，公共弦的方程為：，即：，故公共弦恒過原點(diǎn)。由平面幾何的知識知道，公共弦中點(diǎn)就是公共弦與兩圓連心線的交點(diǎn)，所以原點(diǎn)O，定點(diǎn)Q（3，0），所求點(diǎn)構(gòu)成以H為直角原點(diǎn)的直角，即H在以O(shè)Q為直徑的圓上，又對于圓上任意一點(diǎn)P（x，y）（原點(diǎn)除外）必可利用方程y，求得k值，從而以上各步步步可逆，故所求軌跡方程為（x0）NPyAAMxO6（03年全國高中聯(lián)賽15題） 一張紙上畫有半徑為R的圓O與圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OAa，折疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)A剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法都留下一條直線折痕，當(dāng)A取遍圓周上所有的點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上的點(diǎn)的集合。解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA

18、所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則有A（a，0）。設(shè)折疊時(shí)，O上點(diǎn)A（Rcos，Rsin）與點(diǎn)A重合，而折痕為直線MN，則MN為線段AA的中垂線，設(shè)P（x，y）為MN上任一點(diǎn)，則|PA|PA|，故(xRcos)2(yRsin)2(xa)2y2，即：2R(xcosysin)R2a22ax,故：,可得sin()，其中sin,cos，故，平方后可化為：,即所求點(diǎn)的集合為橢圓的外部（含邊界）.7（98年湖南數(shù)學(xué)競賽）已知雙曲線C1：（a>0），拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1；（1）求證：C1與C2總有2個(gè)不同的交點(diǎn)。（2）是否存在過C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使SAOB有最大（?。┲担咳舸嬖?，求出AB所在直線方程及最值，若不存在，說明理由。解：（1）F1（a，0），C2方程為