2016新課標(biāo)三維人教B版數(shù)學(xué)選修4-41.2極坐標(biāo)系

1、 _1.2極_坐_標(biāo)_系對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P4 讀教材·填要點(diǎn)1平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox，一個(gè)長(zhǎng)度單位及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系O點(diǎn)稱為極點(diǎn)，Ox稱為極軸(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度和從Ox到OM的角度來(lái)刻畫(huà)，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(，)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)，稱為極徑，稱為極角2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系(1)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)變換的前提條件：極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；極軸與x軸的正半軸重合；兩種坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位(2)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的變換公式：或小問(wèn)題&#

2、183;大思維1平面上的點(diǎn)與這一點(diǎn)的極坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的嗎？為什么？提示：不是在極坐標(biāo)系中，與給定的極坐標(biāo)(，)相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是唯一確定的；反過(guò)來(lái)，同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)卻可以有無(wú)窮多個(gè)如一點(diǎn)的極坐標(biāo)是(，)(0)，那么這一點(diǎn)也可以表示為(，2n)或(，(2n1)(其中nZ)2若>0,0<2，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)M(，)與平面內(nèi)的點(diǎn)之間是否是一一對(duì)應(yīng)的？提示：如果我們規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(，)來(lái)表示這時(shí)，極坐標(biāo)與平面內(nèi)的點(diǎn)之間就是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系3若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(，)，則M點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)、極軸、過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是什么？提示：設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)是(，)

3、，則M點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(，)或(，)；M點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(，)；M點(diǎn)關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(，)或(，)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P5極坐標(biāo)系的概念例1已知定點(diǎn)P.(1)將極點(diǎn)移至O處，極軸方向不變，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)；(2)極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)思路點(diǎn)撥本題考查極坐標(biāo)系的建立及極坐標(biāo)的求法解答本題需要根據(jù)題意要求建立正確的極坐標(biāo)系，然后求相應(yīng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)精解詳析(1)設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(，)，如圖所示，由題意可知|OO|2，|OP|4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)22·4·2·cos1612244

4、，2.即|OP|2.|OP|2|OO|2|OP|2，OOP.OPO.OPP.PPx.POx.P點(diǎn)的新坐標(biāo)為.(2)如圖，設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(，)，則4，.P點(diǎn)的新坐標(biāo)為.建立極坐標(biāo)系的要素是：極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位和它的正方向四者缺一不可極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的極角的始邊是極軸，它的終邊隨著的大小和正負(fù)而取得各個(gè)位置；的正方向通常取逆時(shí)針?lè)较?，的值一般是以弧度為單位的量?shù)；點(diǎn)M的極徑表示點(diǎn)M與極點(diǎn)O的距離|OM|，因此0；但必要時(shí)，允許0.1在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是，則(1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)是_；(2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_；(3)點(diǎn)A關(guān)

5、于直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_(規(guī)定>0，0,2)解析：如圖所示，在對(duì)稱的過(guò)程中極徑的長(zhǎng)度始終沒(méi)有變化，主要在于極角的變化另外，我們要注意：極角是以x軸正向?yàn)槭歼?，按照逆時(shí)針?lè)较虻玫降拇鸢福?1)(2)(3)點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化例2以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系(1)已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，求它的直角坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)B和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2，2)和(0，15)，求它們的極坐標(biāo)(0,02)思路點(diǎn)撥本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化解答此題只需將已知條件代入相關(guān)公式即可精解詳析(1)xcos 4·cos2，ysin 4sin2，A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，2)(2)2，tan

6、1，且點(diǎn)B位于第四象限內(nèi)，.點(diǎn)B的極坐標(biāo)為.又x0，y0，15，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為.(1)將極坐標(biāo)(，)化為直角坐標(biāo)(x，y)的公式是：xcos ，ysin .(2)將直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)的公式是：2x2y2，tan (x0)在利用此公式時(shí)要注意和的取值范圍2(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B，C(2,2)，求它們的極坐標(biāo)，其中極角0,2)解：(1)根據(jù)xcos ，ysin 得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根據(jù)2x2y2，tan 得A，B，C.極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離例3ABC的頂點(diǎn)的極坐標(biāo)為A，B，C.(1)

7、判斷ABC的形狀；(2)求ABC的面積；(3)求ABC的邊AB上的高思路點(diǎn)撥本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式解答此題可直接利用極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求解，也可以先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解精解詳析AOB，BOC，COA.(O為極點(diǎn))(1)|AB|2.|BC|2，|AC|4.ABC是等腰三角形(2)SAOB|OA|·|OB|12，SBOC|OB|·|OC|sinBOC12，SC OA|OC|·|OA|sinCOA8.SABCSBOCSC OASAOB124.(3)設(shè)AB邊上的高為h，則h.對(duì)于這類問(wèn)題的解決方法，

8、可以直接用極坐標(biāo)內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式d求得；也可以把A，B兩點(diǎn)由極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，利用直角坐標(biāo)中兩點(diǎn)間的距離公式d求得，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化體現(xiàn)了化歸的解題思想；還可以考慮其對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性求得3在極坐標(biāo)系中，如果等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是A，B，求第三個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)解：由題設(shè)知，A，B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱又|AB|4，所以由正三角形的性質(zhì)知，|CO|2，AOC，從而C的極坐標(biāo)為或.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P6一、選擇題1在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是()A.B.C. D.解析：選B與A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(kZ)，只有選項(xiàng)B滿足2在極坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A，B的

9、坐標(biāo)分別是，則AOB為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形解析：選B由題意知AOB，故選B.3已知A，B的極坐標(biāo)分別是和，則A和B之間的距離等于()A. B.C. D.解析：選CA，B在極坐標(biāo)中的位置，如圖，則由圖可知AOB.在AOB中，|AO|BO|3，所以，由余弦定理，得|AB|2|OB|2|OA|22|OB|·|OA|·cos 992×9×189(1)2.|AB|.4已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P，則P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為()A.， B.，C.，(1，) D.，(1，)解析：選D點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，即，且x2co

10、s2cos1，y2sin2sin，所以選D.二、填空題5限定>0,0<2時(shí)，若點(diǎn)M的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)相同，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_(kāi)解析：點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(，)，設(shè)其直角坐標(biāo)為(x，y)依題意得x，y，即x2y2x2.y0，>0.M(，0)答案：(，0)6已知極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O,0<2，M，在直線OM上與點(diǎn)M的距離為4的點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)解析：如圖所示，|OM|3，xOM，在直線OM上取點(diǎn)P，Q，使|OP|7，|OQ|1，xOP，xOQ.顯然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.答案：或7直線l過(guò)點(diǎn)A，B，則直線l與極軸夾角等于_解析：如圖所示，先在圖形中找到

11、直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大小因?yàn)閨AO|BO|3，AOB，所以O(shè)AB.所以ACO.答案：8寫(xiě)出與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(2,2)表示同一個(gè)點(diǎn)的所有點(diǎn)的極坐標(biāo)_解析： 4，tan ，.點(diǎn)(2,2)用極坐標(biāo)表示為(kZ)答案：(kZ)三、解答題9設(shè)點(diǎn)A，直線l為過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求出點(diǎn)A關(guān)于極軸，直線l，極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定0，)解：如圖所示，關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D.10已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)按伸縮變換變換為點(diǎn)P(6，3)，限定>0,02時(shí)，求點(diǎn)P的極坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題