2012年全國100套中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編專題9幾何三大變換相關(guān)問題

1、2012 年100 套中考數(shù)學(xué)壓軸題分類匯編專題 9：幾何三大變換相關(guān)問題.1. （2012 北京市 7 分）在ABC 中， BA=BC，ÐBAC = a ，M 是 AC 的中點，P 是線段 BM 上的動點，將線段 PA 繞點 P 順時針旋轉(zhuǎn)2a 得到線段 PQ。（1） 若a = 60° 且點 P 與點 M 重合（如圖 1），線段 CQ 的延長線交射線 BM并寫出CDB 的度數(shù)；D，請補全圖形，（2） 在圖 2 中，點 P 不與點 B，M 重合，線段 CQ 的延長線與射線 BM 交的大?。ㄓ煤琣 的代數(shù)式表示），并加以證明；D，猜想CDB（3） 對于適當(dāng)大小的a ，當(dāng)點 P

2、段 BM 上運動到某一位置（不與點 B，M 重合）時，能使得線段 CQ 的延長線與射線 BM 交D，且 PD，請直接寫出a 的范圍。【】解：（1）補全圖形如下：CDB=30°。（2）作線段 CQ 的延長線交射線 BMD，連接 PC，AD，AB=BC，M 是 AC 的中點，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD 與CPD 中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD（SSS）。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。- 1 -PAD+PQD=PQC+PQD=180°。APQ+AD

3、C=360°（PAD+PQD）=180°。ADC=180°APQ=180°2，即 2CDB=180°2。CDB=90°。（3）45°60°?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，?！痉治觥浚?）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出CMQ 是等邊三角形，即可得出BA=BC，BAC=60°，M 是 AC 的中點，BMAC，AM=AC。將線段 PA 繞點 P 順時針旋轉(zhuǎn) 2 得到線段 PQ，AM=MQ，AMQ=120°。CM

4、=MQ，CMQ=60°。CMQ 是等邊三角形。ACQ=60°。CDB=30°。：（2）首先由已知得出APDCPD，從而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180°，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90°，且 PD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=180°2。點 P 不與點 B，M 重合，BADPADMAD。2180°2，45°60°。2. （2012 海南省 I11 分）如圖（1），在矩形 ABCD 中，把B、D 分別翻折，使點 B、D 分別落在對角線 BC 上的點 E、F 處，折痕分別為 CM、A

5、N.（1）求證：ANDCBM.（2）請連接 MF、NE，證明四邊形 MFNE 是平行四邊形，四邊形 MFNE 是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q 是矩形的邊 CD、AB 上的兩點，連結(jié) PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若 PQ=CQ，PQMN。且 AB=4，BC=3，求 PC 的長度.【】（1）證明：四邊形 ABCD 是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。- 2 -DAC=BCA。又由翻折的性質(zhì)，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。ANDCBM（ASA）。（2）證明：ANDCBM，DN=BM。又由翻折的性質(zhì)，得 DN=FN，BM=EM，F(xiàn)N=EM。又NFA=ACDCNF=BAC

6、EMA=MEC，F(xiàn)NEM。四邊形 MFNE 是平行四邊形。四邊形 MFNE 不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得CEM=B=900，在EMF 中，F(xiàn)EMEFM。FMEM。四邊形 MFNE 不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。設(shè) DN=x，則由 SADC=SANDSNAC 得3 x5 x=12，x= 3 ，即 DN=BM= 3 。22過點 N 作 NHAB 于 H，則 HM=43=1。在NHM 中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得 NM= 10 。PQMN，DCAB，四邊形 NMQP 是平行四邊形。NP=MQ，PQ= NM=10 。又PQ=CQ，CQ= 10 。在CBQ 中，CQ

7、= 10 ，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。NP=MQ= 1 。PC=4 3 1 =2。222【考點】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用 ASA 即可得到ANDCBM。- 3 -（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。S可得 DN=BM= 3 。過點 N 作 NHAB 于 H，則由勾（3）設(shè) DN=x，則由 S=SADCANDNAC2股定理可得 NM= 10 ，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知 PQ=CQ，即可求得 CQ= 10 。因此，在CBQ中

8、，應(yīng)用勾股定理求得 BQ=1。從而求解。3. （2012市 10 分）已知一個矩形紙片 OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點 A（11，0），點 B（0，6），點 P 為 BC 邊上的動點（點 P 不與點 B、C 重合），經(jīng)過點 O、P 折疊該紙片，得點 B和折痕 OP設(shè) BP=t（）如圖，當(dāng)BOP=300 時，求點 P 的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點 P 再次折疊紙片，使點 C 落在直線 PB上，得點 C和折痕 PQ，若 AQ=m，試用含有 t 的式子表示 m；（）在（）的條件下，當(dāng)點 C恰好落在邊 OA 上時，求點 P 的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【】解：（）根據(jù)題意，OBP=90

9、6;，OB=6。在 RtOBP 中，由BOP=30°，BP=t，得 OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，：t1= 2 3 ，t2= 23 （舍去）點 P 的坐標(biāo)為（ 2 3 ，6）。（）OBP、QCP 分別是由OBP、QCP 折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°。BOP+OPB=90°，BOP=CPQ。又OBP=C=90°，OBPPCQ。 OB =BP 。PCCQ由題意設(shè) BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則 P

10、C=11t，CQ=6m- 4 -6t。 m = 1 t 2 - 11 t + 6 （0t11）。=11- t6 - m66（）點 P 的坐標(biāo)為（ 11 - 13 ，6）或（ 11+ 13 ，6）。33【考點】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ└鶕?jù)題意得，OBP=90°，OB=6，在 RtOBP 中，由BOP=30°，BP=t，得 OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得。（）由OBP、QCP 分別是由OBP、QCP 折疊得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易證得OBPPCQ，然后

11、由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得。（）首先過點 P 作 PEOA 于 E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得 CQ 的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與m = 1 t 2 - 11 t + 6 ，即可求得 t 的值：66過點 P 作 PEOA 于 E，PEA=QAC=90°。PCE+EPC=90°。PCE+QCA=90°，EPC=QCA。PC¢ 。PCECQA。 PE =AC¢C¢QPC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m， AC¢ =C¢Q2 - AQ2 =36 -12m 。11-

12、 t6=。36 -12m6 - mt，即 6 = 11 - t66= 6 ，即36 -12m=t2 。=，11- t6 - mt6 - m36 -12mt將m = 1 t 2 - 11 t + 6 代入，并化簡，得3t2 - 22 t + 36=0 。6611- 1311+ 13： t1 =，t2 =。3311 - 1311+ 13點 P 的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。334. （2012 福建南平 12 分）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC放置，點 A 在 x 軸上，點 B 的坐標(biāo)為（m，1）（m0），將此矩形繞 O 點逆時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到矩形 OABC（1）寫出點 A、A、C

13、的坐標(biāo)；（2）設(shè)過點 A、A、C的拋物線式為 y=ax2+bx+c，求此拋物線的式；（a、b、c 可用含 m 的式- 5 -子表示）（3）試探究：當(dāng) m 的值改變時，點 B 關(guān)O 的對稱點 D 是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時 m 的值【】解：（1）四邊形 ABCD 是矩形，點 B 的坐標(biāo)為（m，1）（m0），A（m，0），C（0，1）。矩形 OABC由矩形 OABC 旋轉(zhuǎn) 90°而成，A（0，m），C（1，0）。（2）設(shè)過點 A、A、C的拋物線式為 y=ax2bxc，A（m，0），A（0，m），C（1，0），ì am2 + bm + c = 0ì

14、a = -1ï，ïb = m -1 。c = mííïa - b + c = 0ïc = mîî此拋物線的式為：y=x2（m1）xm。（3）點 B 與點 D 關(guān)于原點對稱，B（m，1），點 D 的坐標(biāo)為：（m，1），假設(shè)點 D（m，1）在（2）中的拋物線上，0=（m）2（m1）×（m）m=1，即 2m22m1=0，=（2）24×2×2= 40，此方程無解。點 D 不在（2）中的拋物線上?！究键c】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解方程組，關(guān)

15、于原點對稱的點的坐標(biāo)特征，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。【分析】（1）先根據(jù)四邊形 ABCD 是矩形，點 B 的坐標(biāo)為（m，1）（m0），求出點 A、C 的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出 A、C的坐標(biāo)即可。（2）設(shè)過點 A、A、C的拋物線式為 y=ax2+bx+c，把 A、A、C三點的坐標(biāo)代入即可得出- 6 -abc 的值，進而得出其拋物線的式。（3）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點用 m 表示出 D 點坐標(biāo)，把 D 點坐標(biāo)代入拋物線的式看是否符合即可。5. （2012汕頭 12 分）如圖，在矩形紙片 ABCD 中，AB=6，BC=8把BCD 沿對角線 BD 折疊，使點 C 落在 C處，BC交 A

16、DG；E、F 分別是 CD 和 BD 上的點，線段 EF 交 ADH，把FDE沿 EF 折疊，使點 D 落在 D處，點 D恰好與點 A 重合（1）求證：ABGCDG；（2）求 tanABG 的值；（3）求 EF 的長【】（1）證明：BDC由BDC 翻折而成，C=BAG=90°，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG 中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。設(shè) AG=x，則 GB=8x，在 RtABG 中，AB2+AG2=BG2，即 62+x2=（8x）2，x=

17、7 。47 tanÐABG = AG =74 =。AB6241（3）解：AEF 是DEF 翻折而成，EF 垂直平分 AD。HD=AD=4。2tanABG=tanADE=。EH=HD×=4×= 7 。777242424611EF 垂直平分 AD，ABAD，HF 是ABD 的中位線。HF=AB=×6=3 。22EF=EH+HF= 7 +3= 25 。66- 7 -【考點】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知C=BAG=90°，CD

18、=AB=CD，AGB=DGC，故可得出結(jié)論。（2）由（1）可知 GD=GB，故 AG+GB=AD，設(shè) AG=x，則 GB=8-x，在 RtABG 中利用勾股定理即可求出 AG 的長，從而得出 tanABG 的值。1（3）由AEF 是DEF 翻折而成可知 EF 垂直平分 AD，故 HD=AD=4，再根據(jù) tanABG 的2值即可得出 EH 的長，同理可得 HF 是ABD 的中位線，故可得出 HF 的長，由 EF=EH+HF 即可得出結(jié)果。6. （2012省 9 分）如圖，在矩形紙片 ABCD 中，AB=6，BC=8把BCD 沿對角線 BD 折疊，使點 C 落在 C處，BC交 ADG；E、F 分別

19、是 CD 和 BD 上的點，線段 EF 交 ADH，把FDE沿 EF 折疊，使點 D 落在 D處，點 D恰好與點 A 重合（1）求證：ABGCDG；（2）求 tanABG 的值；（3）求 EF 的長【】（1）證明：BDC由BDC 翻折而成，C=BAG=90°，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG 中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。設(shè) AG=x，則 GB=8x，在 RtABG 中，AB2+AG2=BG2，即 62+x2=（8x）2，x= 7 。4- 8 -

20、7 tanÐABG = AG =74 =。AB6241（3）解：AEF 是DEF 翻折而成，EF 垂直平分 AD。HD=AD=4。2tanABG=tanADE=。EH=HD×=4×= 7 。777242424611EF 垂直平分 AD，ABAD，HF 是ABD 的中位線。HF=AB=×6=3 。22EF=EH+HF= 7 +3= 25 。66【考點】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知C=BAG=90°，CD=AB=CD，AG

21、B=DGC，故可得出結(jié)論。（2）由（1）可知 GD=GB，故 AG+GB=AD，設(shè) AG=x，則 GB=8-x，在 RtABG 中利用勾股定理即可求出 AG 的長，從而得出 tanABG 的值。1（3）由AEF 是DEF 翻折而成可知 EF 垂直平分 AD，故 HD=AD=4，再根據(jù) tanABG 的2值即可得出 EH 的長，同理可得 HF 是ABD 的中位線，故可得出 HF 的長，由 EF=EH+HF 即可得出結(jié)果。7. （20129 分） 已知，AB 是O 的直徑，點 P 在弧 AB 上（不含點 A、B），把AOP 沿 OP對折，點 A 的對應(yīng)點 C 恰好落在O 上（1）當(dāng) P、C 都在

22、AB 上方時（如圖 1），PO 與 BC 的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當(dāng) P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方時（如圖 2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當(dāng) P、C 都在 AB 上方時（如圖 3），過 C 點作 CD直線 AP 于 D，且 CD 是O 的切線，證明：AB=4PD- 9 -【】解：（1）PO 與 BC 的位置關(guān)系是 POBC。（2）（1）中的結(jié)論 POBC 成立。理由為：由折疊可知：APOCPO，APO=CPO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A 與PCB 都為PB 所對的圓周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）證明：CD 為圓 O 的切

23、線，OCCD。又ADCD，OCAD。APO=COP。由折疊可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO 為等邊三角形。AOP=60°。又OPBC，OBC=AOP=60°。又OC=OB，BC 為等邊三角形。COB=60°。POC=180°（AOP+COB）=60°。又OP=OC，POC 也為等邊三角形。PCO=60°，PC=OP=OC。又OCD=90°，PCD=30°。1在 RtPCD 中，PD=PC，211又PC=OP=AB，PD=AB，即 AB=4PD。24【考點】折

24、疊的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，全等三- 10 -角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)。【分析】（1）由折疊可得，由AOP=POC ；因為AOC 和ABC 是弧 AC 所對的圓心角和圓周角，根據(jù)同弧所對圓周角是圓心角一半的性質(zhì)，得AOP=ABC；根據(jù)同位角相等兩直線平行的判定，得PO 與 BC 的位置關(guān)系是平行。（2）（1）中的結(jié)論成立，理由為：由折疊可知三角形 APO 與三角形 CPO 全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得出APO=CPO，再由 OA=OP，利用等邊對等角得到A=APO，等量代換可得出

25、A=CPO，又根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到A=PCB，再等量代換可得出COP=ACB，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，可得出 PO 與 BC 平行。（3）由 CD 為圓 O 的切線，利用切線的性質(zhì)得到 OCCD，又 ADCD，利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行得到 OCAD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到APO=COP，再利用折疊的性質(zhì)得到AOP=COP，等量代換可得出APO=AOP，再由 OA=OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出AOP 三內(nèi)角相等，確定出AOP 為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60°得到AOP=60°，由 OPBC，利用兩直線平行同位角相

26、等可得出OBC=AOP=60°，再由 OB=OC，得到OBC 為等邊三角形，可得出COB 為 60°，利用平角的定義得到POC 也為 60°，再加上 OP=OC，可得出POC 為等邊三角形，得到內(nèi)角OCP=60°，可求出PCD=30°，在 RtPCD 中，利用 30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出 PD 為 PC 的一半，而 PC=圓的半徑 OP=直徑 AB 的一半，可得出 PD為 AB 的四分之一，即 AB=4PD，得證。8. （2012 廣西南寧 10 分）如圖，已知矩形紙片 ABCD，AD=2，AB=4將紙片折疊，使頂點 A

27、與邊CD 上的點 E 重合，折痕 FG 分別與 AB，CD 交G，F(xiàn)，AE 與 FG 交O（1）如圖 1，求證：A，G，E，F(xiàn) 四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖 2，當(dāng)AED 的外接圓與 BC 相切N 時，求證：點 N 是線段 BC 的中點；（3）如圖 2，在（2）的條件下，求折痕 FG 的長- 11 -【】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四邊形 AGEF 是平行四邊形（EFAG，EF=AG）。又AG=GE，四邊形 AGEF 是菱形。（2）連接 ON，AED 是直角三角形，AE 是斜邊，點 O 是 AE 的中

28、點，AED 的外接圓與 BC 相切N，ONBC。點 O 是 AE 的中點，ON 是梯形 ABCE 的中位線。點 N 是線段 BC 的中點。（3）OE、ON 均是AED 的外接圓的半徑，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在 RtADE 中，AD=2，AE=4，AED=30°。在 RtOEF 中，OE=2，AED=30°， OF = 2 3 。FG= 2OF = 4 3 。33【考點】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)出 AG=GE，AGF=EGF，再由 CDAB 得出EFG=

29、AGF，從而出 EF=AG，得出四邊形 AGEF 是平行四邊形，從而結(jié)合 AG=GE，可得出結(jié)論。（2）連接 ON，則 ONBC，從而出 ON 是梯形 ABCE 的中位線，從而可得出結(jié)論。（3）根據(jù)（1）可得出 AE=AB，從而在 RtADE 中，可出AED 為 30°，在 RtEFO 中求出 FO，從而可得出 FG 的長度。- 12 -9. （2012天門、仙桃、潛江、江漢油田 10 分）ABC 中，AB=AC，D 為 BC 的中點，以 D 為頂點作MDN=B（1）如圖（1）當(dāng)射線 DN 經(jīng)過點 A 時，DM 交 AC 邊E，不添加輔助線，寫出圖中所有與ADE相似的三角形（2）如圖

30、（2），將MDN 繞點 D 沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN 分別交線段 AC，AB 于 E，F(xiàn) 點（點 E與點 A 不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論（3）在圖（2）中，若 AB=AC=10，BC=12，當(dāng)DEF 的面積等于ABC 的面積的 1 時，求線段 EF 的4長【】解：（1）圖（1）中與ADE 相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，證明如下：B+BDF+BFD=180°，EDF+BDF+CDE=180°，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=C。BDFCED。 BD = DF 。CEEDBD=CD， CD =

31、DF ，即CD = CE 。CEEDDFED又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。（3）連接 AD，過 D 點作 DGEF，DHBF，垂足分別為 G，H1AB=AC，D 是 BC 的中點，ADBC，BD=BC=6。2在 RtABD 中，AD2=AB2BD2，即 AD2=10262，AD=8。121SABC=BCAD=×12×8=48 ，2114SDEF=SABC=4×48=12 。- 13 -AD× BD8´ 6又 1 ADBD=21224 ABDH， DH =。AB105BDFDEF，DFB=EFD。DHBF，DGEF，DHF=DG

32、F。又DF=DF，DHFDGF（AAS）。DH=DG= 24 。512124SDEF=·EF·DG=·EF·=12，EF=5。25【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出ADEABDACDDCE：AB=AC，D 為 BC 的中點，ADBC，B=C，BAD=CAD。又MDN=B，ADEABD。同理可得：ADEACD。MDN=C=B，B+BAD=90°，ADE+EDC=90°，B=MDN，BAD=EDC。B=C，ABDDCE。

33、ADEDCE。（2）利用已知首先求出BFD=CDE，即可得出BDFCED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出 BD = DF ，從而得出BDFCEDDEF。CEED（3）利用DEF 的面積等于ABC 的面積的 1 ，求出 DH 的長，從而利用 S4DEF 的值求出 EF即可。10. （2012天門、仙桃、潛江、江漢油田 12 分）如圖，拋物線 y=ax2+bx+2 交 x 軸于 A（1，0），B（4，0）兩點，交 y 軸C，與過點 C 且平行于 x 軸的直線交于另一點 D，點 P 是拋物線上一動點（1）求拋物線式及點 D 坐標(biāo)；- 14 -（2）點 E 在 x 軸上，若以 A，E，D，P 為頂點的四邊

34、形是平行四邊形，求此時點 P 的坐標(biāo)；（3）過點 P 作直線 CD 的垂線，垂足為 Q，若將CPQ 沿 CP 翻折，點 Q 的對應(yīng)點為 Q是否存在點P，使 Q恰好落在 x 軸上？若存在，求出此時點 P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【】解：（1）拋物線 y=ax2+bx+2 經(jīng)過 A（1，0），B（4，0）兩點，ìa= - 1ìa - b+2=0： ï2 。í，íî16a+4b+2=0ïb= 3ïî2拋物線式為y = - 1 x2 + 3 x + 2 。22當(dāng) y=2 時， - 1 x2 + 3 x + 2

35、= 2 ，22點 D 坐標(biāo)為（3，2）。：x1=3，x2=0（舍去）。（2）A，E 兩點都在 x 軸上，AE 有兩種可能：當(dāng) AE 為一邊時，AEPD，P1（0，2）。當(dāng) AE 為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，可知 P 點、D 點到直線 AE（即 x 軸）的距離相等，P 點的縱坐標(biāo)為2。= 3 - 41 。代入拋物線的式： - 1 x2 + 3 x + 2 = -2 ，22= 3： xx12223 - 413+ 41P 點的坐標(biāo)為（，2），（，2）。223 - 413+ 41綜上所述：P1（0，2）；P2（，2）；P3（，2）。22（3）存在滿足條件的點 P，顯然點 P

36、 在直線 CD 下方。設(shè)直線 PQ 交 x 軸于 F，點 P 的坐標(biāo)為（ a，- 1 a2 + 3 a + 2 ），22當(dāng) P 點在 y 軸右側(cè)時（如圖 1），CQ=a，æ13ö1322PQ= 2 - - a +a + 2 = a -a 。ç÷2222èø又CQO+FQP=90°，COQ=QFP=90°，F(xiàn)QP=OCQ，COQQFP，1a2 - 3 a Q'C = Q'P，即a2= 22，F(xiàn) Q=a3COFQ'FQ'- 15 -OQ=OFF Q=a（a3）=3，CQ=CQ'

37、=CO2 +OQ' 2 = 32 +22 = 13 。-9+3 13 ）。此時 a= 13 ，點 P 的坐標(biāo)為（ 13，2當(dāng) P 點在 y 軸左側(cè)時（如圖 2）此時 a0， - 1 a2 + 3 a + 2 0，CQ=a，2223PQ= 2 - - a +a + 2 ÷= 2 a -a 。æ13ö12ç222èø又CQO+FQP=90°，CQO+OCQ=90°，F(xiàn)QP=OCQ，COQ=QFP=90°。COQQFP。1= 2a2 - 3 a Q'C = Q'P ，即 -a2，F(xiàn) Q=

38、3a。COFQ'2FQ'OQ=3， CQ=CQ'=32 +22 = 13 。-9 - 3 1313 ，點 P 的坐標(biāo)為（ - 13，此時 a=）。2-9+3 13-9 - 3 13），（ - 13，綜上所述，滿足條件的點 P 坐標(biāo)為（ 13，）。22【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）用待定系數(shù)法可得出拋物線的式，令 y=2 可得出點 D 的坐標(biāo)。（2）分兩種情況進行討論，當(dāng) AE 為一邊時，AEPD，當(dāng) AE 為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點 P 坐標(biāo)

39、。（3）結(jié)合圖形可出點 P 在直線 CD 下方，設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（ a，- 1 a2 + 3 a + 2 ），分情況22討論，當(dāng) P 點在 y 軸右側(cè)時，當(dāng) P 點在 y 軸左側(cè)時，運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進行求解即可。12 分）如圖 1，點 A 為拋物線 C1： y= 1 x2 - 2 的頂點，點 B 的坐標(biāo)為(1，0)，直11. （20122線 AB 交拋物線 C1 于另一點 C(1)求點 C 的坐標(biāo)；(2)如圖 1，平行于 y 軸的直線 x3 交直線 ABD，交拋物線 C1E，平行于 y 軸的直線 x- 16 -a交直線 AB 于 F，交拋物線 C1 于 G，若 FG：DE4

40、3，求 a 的值；(3)如圖 2，將拋物線 C1 向下平移 m(m0)個得到拋物線 C2，且拋物線 C2 的頂點為點 P，交 x軸M，交射線 BCN，NQx 軸Q，當(dāng) NP 平分MNQ 時，求 m 的值圖 1圖 2【】解：（1）當(dāng) x=0 時，y2。A（0，2）。ìb= - 2ìk=2設(shè)直線 AB 的式為y=kx+b ，則ík+b=0 ，íb= - 2 。îî式為y=2x - 2 。直線 AB 的點 C 是直線 AB 與拋物線 C1 的交點，ìy=2x - 2ìxìx ï=4=0= - 212，

41、íy= 1 x2 - 2，íyíy（舍去）。=6î 1î 2ïî2C（4，6）。（2）直線 x3 交直線 ABD，交拋物線 C1E， y =4，y = 5 ，DE= y - y =4 - 5 = 3 。DEDE222FG：DE43，F(xiàn)G=2。直線 xa 交直線 ABF，交拋物線 C1G，1 y =2a - 2，2yG = 2 a - 2 。- 17 -F= 2a - 1 a2y - yFG=2 。FG2a1 =2，a2 =2+2 2，a3 =2 - 2 2 。（3）設(shè)直線 MN 交 y 軸T，過點 N 作 NHy 軸H。設(shè)點

42、 M 的坐標(biāo)為（t,0），拋物線 C2 的式為y= 1 x2 - 2 - m 。2 0= 1 t2 - 2 - m 。 -2 - m= - 1 t2 。22 y= 1 x2 - 1 t2 。P（0， - 1 t2 ）。222點 N 是直線 AB 與拋物線 C2 的交點，ìy=2x - 2=2 - t=2 - 2tìxìx=2+t ï12íy= 1 x2 - 1 t2，íy，íy（舍去）。=2+2tî 1î 2ïî22N（ 2 - t，2 - 2t ）。NQ= 2 - 2t ，MQ= 2

43、 - 2t 。NQ=MQ。NMQ=450。MOT，NHT 都是等腰直角三角形。MO=TO，HT=HN。2 (2 - t)，PT= - t+ 1 t2 。OT=t， NT = 2NH=2PN 平分MNQ，P。 -t+ 1 t2 =2 (2 - t ) ，t = - 2 2，t =2 （舍去）。122 -2 - m= - 1 t2 = - 1 (-22 )2 = - 4 。 m=2 。22【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元二次方程組，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。【分析】（1）由點 A 在拋物線 C1 上求得點 A

44、 的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線 AB 的式；聯(lián)立直線AB 和拋物線 C1 即可求得點 C 的坐標(biāo)。（2）由 FG：DE43 求得 FG=2。把點 F 和點 G 的縱坐標(biāo)用含 a 的代數(shù)式表示，即可得等式= 2a - 1 a2y - y=2 ，F(xiàn)G=即可得 a 的值。FG2- 18 -式y(tǒng)= 1 x2 - 2 - m ，求得 t 和 m 的關(guān)系。求出（3）設(shè)點 M 的坐標(biāo)為（t,0）和拋物線 C2 的2點 P 和點 N 的坐標(biāo)（用 t 的代數(shù)式表示），得出MOT，NHT 都是等腰直角三角形的結(jié)論。從而由角平分線和平行的性質(zhì)得到 P，列式求解即可求得 t，從而根據(jù) t 和 m 的關(guān)系式求出 m 的

45、值。12. （2012宜昌 11 分）如圖，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90°點 E 為底 AD 上一點，將ABE 沿直線 BE 折疊，點 A 落在梯形對角線 BD 上的 G 處，EG 的延長線交直線 BCF（1）點 E 可以是 AD 的中點嗎？為什么？（2）求證：ABGBFE；（3）設(shè) AD=a，AB=b，BC=c當(dāng)四邊形 EFCD 為平行四邊形時，求 a，b，c 應(yīng)滿足的關(guān)系；在的條件下，當(dāng) b=2 時，a 的值是唯一的，求C 的度數(shù)【】解：（1）不可以。理由如下：根據(jù)題意得：AE=GE，EGB=EAB=90°，RtEGD 中，GEED。AEED。點 E

46、 不可以是 AD 的中點。（2）證明：ADBC，AEB=EBF，由折疊知EABEGB，AEB=BEG。EBF=BEF。FE=FB，F(xiàn)EB 為等腰三角形。ABG+GBF=90°，GBF+EFB=90°，ABG=EFB。在等腰ABG 和FEB 中，BAG=（180°ABG）÷2 ，F(xiàn)BE=（180°EFB）÷2 ，BAG=FBE。ABGBFE。（3）四邊形 EFCD 為平行四邊形，EFDC。由折疊知，DAB=EGB=90°，DAB=BDC=90°。又ADBC，ADB=DBC。ABDDCB。- 19 - AD = DB

47、。DBCBAD=a，AB=b，BC=c，BD= a2 +b2a2 +b2a=22，即 a +b =ac。ca2 +b2由和 b=2 得關(guān)于 a 的一元二次方程 a2ac+4=0，由題意，a 的值是唯一的，即方程有兩相等的實數(shù)根，=0，即 c216=0。c0，c=4。由 a24a+4=0，得 a=2。由ABDDCB 和 a= b=2，得ABD 和DCB 都是等腰直角三角形，C=45°?！究键c】翻折變換（折疊問題），直角梯形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直線平行的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式?！痉治觥浚?）根據(jù)

48、折疊的性質(zhì)可得 AE=GE，EGB=EAB=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得 DEEG，從而點 E 不可能是 AD 的中點。（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得AEB=EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以判定出AEB=BEG，然后得到EBF=BEF，從而出FEB 為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出ABG=EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等求出BAG=FBE，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明。（3）根據(jù)勾股定理求出 BD 的長度，再利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似得到ABD 和DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解。把 b=2 代入 a、b、c

49、的關(guān)系式，根據(jù) a 是唯一的，可以判定=c216=0，然后求出 c=4，再代入方程求出 a=2，然后由ABDDCB 和 a= b=2，得ABD 和DCB 都是等腰直角三角形，得出C=45°。13. （2012 江西南昌 12 分）已知，紙片O 的半徑為 2，如圖 1，沿弦 AB 折疊操作（1）折疊后的AB 所在圓的圓心為 O時，求 OA 的長度；- 20 -如圖 2，當(dāng)折疊后的AB 經(jīng)過圓心為 O 時，求AOB 的長度；如圖 3，當(dāng)弦 AB=2 時，求圓心 O 到弦 AB 的距離；（2）在圖 1 中，再將紙片O 沿弦 CD 折疊操作如圖 4，當(dāng) ABCD，折疊后的AB 與CD 所在圓

50、外切P 時，設(shè)點 O 到弦 ABCD 的距離之和為d，求 d 的值；如圖 5，當(dāng) AB 與 CD 不平行，折疊后的AB 與CD 所在圓外切P 時，設(shè)點 M 為 AB 的中點，點 N為 CD 的中點，試探究四邊形 OMPN 的形狀，并證明你的結(jié)論【】解：（1）折疊后的AB 所在圓 O與O 是等圓，OA=OA=2。當(dāng)AB 經(jīng)過圓 O 時，折疊后的AB 所在圓 O在O 上，如圖 2所示，連接 OAOAOB，OB，OO。OOA，OOB 為等邊三角形，AOB=AOO+BOO=60°+60°=120° 。120 ×p × 24p AOB 的長度=。3180如圖 3 所示，連接 OA，OB，OA=OB=AB=2，AOB 為等邊三角形。過點 O 作 OEABE，OE=OAsin60°=3 。圓心 O 到弦 AB 的距離為 3 。（2）如圖 4，當(dāng)折疊后的AB 與CD 所在圓外切P 時，- 21 -過點 O 作 EFAB 交 ABH、交AEBE，交 CDG、交CFDF，即點 E、H、P、O、G、F 在直徑 EF 上。ABCD，EF 垂直平分 AB 和 CD。11根據(jù)垂徑定理及折疊，可知