等腰三角形性質(zhì) (2)

1、13.3.1 等腰三角形等腰三角形 創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境等腰三角形你知道什么是等腰三角形嗎?ABC等腰三角形等腰三角形: :有兩條邊相等的三角形有兩條邊相等的三角形, , 叫做等腰三角形叫做等腰三角形. .相等的兩條邊叫做相等的兩條邊叫做腰腰, ,另一條邊叫做另一條邊叫做底邊底邊, ,底邊與腰的夾角叫做底邊與腰的夾角叫做底角底角. .兩腰所夾的角叫做兩腰所夾的角叫做頂角頂角, ,腰腰腰腰底邊底邊頂角頂角底角底角回顧回顧如圖如圖, ,把一張長方形的紙按圖中虛線對折把一張長方形的紙按圖中虛線對折, , 并剪去綠色部分并剪去綠色部分,再把它展開再把它展開, ,得到的得到的ABCABC有什么特點有什么特點

2、? ?ABCAB=AC等腰三角形等腰三角形活動（一）：動手操作活動（一）：動手操作ABCD把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABCABC沿折痕對折，沿折痕對折，找出其中重合的線段和角，填入下表：找出其中重合的線段和角，填入下表：重合的線段重合的線段重合的角重合的角AB=ACAB=ACBD=CDBD=CDAD=AD=ADADB=B=C CADB=ADB=ADCADCBAD=BAD=CADCAD活動（二）活動（二）：細心觀察細心觀察 大膽猜想大膽猜想等腰等腰ABC有哪些性質(zhì)？有哪些性質(zhì)？ 角角: B = C BAD=CAD ADC= ADB=900邊邊: BD = CD 兩個底角相等兩個底角相等

3、 AD為頂角為頂角BAC的平分線的平分線 AD為底邊為底邊BC上的高上的高 AD為底邊為底邊BC上的中線上的中線結(jié)論: 等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形是軸對稱圖形；等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1 等腰三角形的等腰三角形的兩個兩個底角相等底角相等. （簡寫成簡寫成“等邊對等角等邊對等角”）性質(zhì)性質(zhì)2 等腰三角形的等腰三角形的頂角頂角平分線平分線、底邊底邊上的中線上的中線、底、底 邊邊上上的高的高互相重合互相重合. （可簡記為可簡記為“三線合一三線合一”）猜想與論證等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等。已知：ABC中，AB=AC求證：B=C分析：分析：1.如何證明兩個角相等

4、？如何證明兩個角相等？ 2 2.如何構(gòu)造兩個全等的三如何構(gòu)造兩個全等的三角形？角形？猜想ABCD證明：證明： 作頂角的平分作頂角的平分線線AD,則則有有12AB=AC 1= 2AD=AD BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求證：求證： B= C.ABC1 2證明：等腰三角形的兩個證明：等腰三角形的兩個底角相等底角相等.作頂角的平分線作頂角的平分線D在在BAD和和CAD中，中，證明：證明：AB=ACBD=CDAD=AD BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角

5、相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求證：求證： B= C.ABCD證明：等腰三角形的兩個證明：等腰三角形的兩個底角相等底角相等.作底邊中線作底邊中線 作底邊中線作底邊中線AD,則則BD=CD在在BAD和和CAD中，中，證明：證明： 作底邊高線作底邊高線AD. 則有則有 ADBADC 90 AB=ACAD=AD Rt BAD Rt CAD (HL). B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求證：求證： B= C.ABCD證明：等腰三角形的兩個證明：等腰三角形的兩個底角相等底角相等.作底邊的高線作底邊的高線在在RtBAD和

6、和RtCAD中，中，D如圖，作ABC的中線AD.D如圖， 作ABC的高AD.D如圖，作頂角的平分線AD.ABCABCABC等腰三角形常見輔助線歸納總結(jié)歸納總結(jié)等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等。性質(zhì)1(等邊對等角)ABCD結(jié)論 符號語言 在ABC中 AB=AC B=C例例1 在三角形在三角形ABC中中，已知，已知AB=AC，且且B=80 ，則，則C= _，A=_？AB=AC（已知）（已知）B=C（等邊對等角）（等邊對等角）B=80 （已知）（已知）C=80又又A+B+C=180 （三角形內(nèi)角和為（三角形內(nèi)角和為180 ）A=180 BCA=20BC

7、A練習(xí)練習(xí) 1.在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC，且且 A=50 ，則，則B= ，C= ？CBAAB=AC（已知）（已知）B=C（等邊對等角）（等邊對等角）又又A+B+C=180 （三角形內(nèi)角和為（三角形內(nèi)角和為180 ）A=50 （已知）（已知）B=65 C=652.2.等腰三角形一個底角為等腰三角形一個底角為7070, ,它的頂角為它的頂角為_._.3.3.等腰三角形一個角為等腰三角形一個角為7070, ,它的另外兩個角為它的另外兩個角為 _. _.4.等腰三角形一個角為等腰三角形一個角為110110, ,它的另外兩個角為它的另外兩個角為 _._.40 35 ，35 70,

8、40或或55,55結(jié)論結(jié)論: : 在等腰三角形中在等腰三角形中, , 頂角度數(shù)頂角度數(shù)+2+2底角度數(shù)底角度數(shù)=180=180 0 0頂角度數(shù)頂角度數(shù)180180 0 0底角度數(shù)底角度數(shù)90904(中考中考廣西廣西)如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，BAC100，AB的垂直平分線的垂直平分線DE分別交分別交AB、BC于點于點D、E，則，則BAE() A80 B60 C50 D40知知1 1練練D性質(zhì)性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。上的高互相重合。（通常說成等腰三角形的通常說成等腰三角形的“三線合一三線合一”）性質(zhì)

9、性質(zhì)2可分解成下面三個命題來理解：可分解成下面三個命題來理解：1、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。2、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。3、等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。、等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。ABCD21 BD=CD,ADB=ADC=90ADBCABCD1 2證明： AD是BAC的平分線 1=2, 在BAD和CAD中, AB=AC, 1=2, AD=AD, BA

10、D CAD (SAS) 等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。底邊上的高。已知：如圖，ABC 中，AB =AC，AD 是BAC的平分線求證：BD=CD，ADBC等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)2ABCD結(jié)論等腰三角形等腰三角形的的頂角平分線、頂角平分線、底邊底邊上上的中線、底邊的中線、底邊上的上的高高互相重合互相重合。（等腰三角形的等腰三角形的“三線合三線合一一”） 符號語言：(1)AB=AC ADBC, = , = ; (2)AB=AC BD=CD， ， = ；(3) AB=AC BAD=CAD ， = 。ABCDBADCADBDCD

11、BADCADADBCADBCBDCD 知一線得二線知一線得二線 “三線合一三線合一”可以幫助我可以幫助我們解決線段的垂直、相等們解決線段的垂直、相等以及角的相等問題。以及角的相等問題。在ABC中， 例例2 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，AD是是BC邊上邊上 的中線，的中線，ABC的平分線的平分線BG交交AC于點于點G，交，交 AD于點于點E，EFAB，垂足為，垂足為F. (1)若若BAD25，求，求C的度數(shù)；的度數(shù)； (2)求證：求證：EFED.知知2 2講講(1)解：解：ABAC，AD是是BC邊上的中線，邊上的中線， BADCAD，BAC2BAD50. ABAC， CABC (18

12、0 A) (18050)65.(2)證明：證明：ABAC，AD是是BC邊上的中線，邊上的中線， EDBC， 又又BG平分平分ABC，EFAB， EFED.知知2 2講講1212建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點系一重物，如果系重板放在梁上，從頂點系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點，就說物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點，就說房梁是水平的，你現(xiàn)在知道為什么嗎房梁是水平的，你現(xiàn)在知道為什么嗎? ? 小結(jié)歸納小結(jié)歸納2.等腰三角形等腰三角形的的性質(zhì)定理性質(zhì)定理:(1)等腰三角形等腰三角形的兩個的兩個底角相等底角相等.（簡寫成“等邊對等角等

13、邊對等角”） (2)等腰三角形等腰三角形的的頂角頂角平分線平分線、底邊底邊上的中上的中線、線、 底邊底邊上的高互相重合上的高互相重合.（簡寫成“三線合一三線合一”） 1.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形是軸對稱圖形. （底邊上的中線、頂角的平分線、底邊上的高底邊上的中線、頂角的平分線、底邊上的高所在直線是對稱軸所在直線是對稱軸） 例例2、如圖，在、如圖，在ABC中中 ，AB=AC，點，點D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度數(shù)。各角的度數(shù)。1、圖中有哪幾個等腰三角形、圖中有哪幾個等腰三角形？ABCDx2x2x2xABC ABD BDC2 2、有哪些相等的角？、有哪些相等的

14、角？ABC=ABC=ACB=ACB=BDC BDC A=A=ABDABD3 3、這兩組相等的角之間還有什么關(guān)系？、這兩組相等的角之間還有什么關(guān)系？BDC=2BDC=2 A A ABC+ACB+ A=180 例2、如圖，在ABC中 ，AB=AC，點D在AC上，且 BD=BC=AD，求ABC各角的度數(shù)。ABCD解：解：AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD，ABC=ABC=C=BDC，A=ABD （等邊對等角（等邊對等角)設(shè)設(shè)A=x,則則BDC=A+ABD=2x,從而從而ABC= C= BDC=2x,于是在于是在ABC中，有中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得解得x=

15、36，A=36，ABC=C=72x2x2x2x 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1. 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD BC，已，已知知BD=2cm,求求DC=_cm, BC=_cm？CBDA12 AB=AC ,AD BC（已知）（已知）BD=CD（等腰三角形的高與（等腰三角形的高與底邊上的中線重合）底邊上的中線重合）即（等腰三角形三線合一）即（等腰三角形三線合一）BD=2cm（已知）（已知）CD=2cm BC=4cm2等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 60，則這個等腰三角形的頂角為（，則這個等腰三角形的頂角為（ ） A30 B150 C30或150

16、 D120C3. 如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D為為BC的的 中點，則點中點，則點D到到AB，AC的距離相等。說明理由。的距離相等。說明理由。AEFB D C解：相等，理由如下：解：相等，理由如下：連接連接AD在在ABC中，中，AB=AC，D為為C中點中點AD平分平分BACDEAB，DFACDE=DF(E)(E)B B 等腰三角形底邊中點到兩腰的距離等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等嗎相等嗎? ?如如圖圖,DEAB,DFAC,DEAB,DFAC,垂足分別為垂足分別為E E、F.將等腰三角形將等腰三角形ABCABC沿對稱軸沿對稱軸ADAD翻折翻折, ,觀觀察察D

17、EDE與與DFDF的關(guān)系的關(guān)系. .E EB BE EB BA AD DC CF FDE=DFDE=DF1 (中考中考蘇州蘇州)如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，D為為 BC的中點，的中點，BAD35，則，則C的度數(shù)的度數(shù) 為為() A35 B45 C55 D60知知2 2練練C知知2 2練練2 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，點，點D是是BC邊的中邊的中 點，點點，點E在在AD上，那么下列結(jié)論不一定正確的上，那么下列結(jié)論不一定正確的 是是 () AADBC BEBCECB CABEACE DAEBED3 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，點，點D、E在在 BC上，連接上，連接AD、AE，如果只添加一個條件使，如果只添加一個條件使 DABEAC，則添加