規(guī)避導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤

1、 規(guī)避導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ),是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶。導(dǎo)數(shù)的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問題等等的有力工具。而在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生卻經(jīng)常犯以下幾點(diǎn)錯(cuò)誤：一、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是極值點(diǎn) 例1函數(shù)在處有極值10，求,b的值 錯(cuò)解由題意得，且，即，解得或 分析：是可導(dǎo)函數(shù)在處有極值的必要不充分條件只有加上在附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能判定在處取得極值。因此上述解法在解出,的值后，還應(yīng)檢驗(yàn)和分別在附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化情況經(jīng)檢驗(yàn)只有,符合條件二、極值點(diǎn)只在導(dǎo)數(shù)為零時(shí) 例2求函數(shù)的極值 錯(cuò)解：由于，于是令，得

2、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值 分析：在確定極值時(shí)，只討論滿足的點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況是不全面的，在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能存在極值在上述解法中，顯然忽視了討論和處左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，從而產(chǎn)生了丟根現(xiàn)象正確的結(jié)果還應(yīng)包括在和處函數(shù)取到極小值0 三、單調(diào)性判斷中易忽視特殊情況 例3已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 錯(cuò)解：因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上恒成立，即解得，所以的取值范圍為 分析：恒成立的充要條件并不是在上是減函數(shù)事實(shí)上， 當(dāng)時(shí)，則： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 而函數(shù)在處連續(xù)，因此在上是減函數(shù)同理可知當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以的取值范圍為 四、誤用求導(dǎo)法則 例4的導(dǎo)數(shù)是_ 錯(cuò)解： 分析：應(yīng)分情況求導(dǎo) （）當(dāng)時(shí)，；（）當(dāng)時(shí)，故 例5求的導(dǎo)數(shù) 錯(cuò)解：設(shè)，則 正解：設(shè)，則 五、求曲線的切線方程時(shí)審題不細(xì) 例6求曲線過原點(diǎn)的切線方程 錯(cuò)解：，設(shè)切線的斜率為，則，所以所求曲線切線方程為 分析：“過某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)處”是不同的，在某點(diǎn)處的切線表明此點(diǎn)是切點(diǎn),而過某點(diǎn)的切線，此點(diǎn)并不一定是切點(diǎn) 正解：，設(shè)切線的斜率為（）當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，所以所求曲線的切線方程為（）當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是，則有，又，由、得，故所求曲線的切線方程為 例7考察在點(diǎn)處的切線 錯(cuò)解：，顯然在處的導(dǎo)數(shù)不存在，所以曲