第4章靜態(tài)場的解

1、第四章 靜 態(tài) 場 的 解 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.1 邊值問題的分類邊值問題的分類4.2 唯一性定理唯一性定理4.3 鏡像法鏡像法4.4 分離變量法分離變量法4.5 復(fù)變函數(shù)法復(fù)變函數(shù)法4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法4.7 有限差分法有限差分法 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.1 邊值問題的分類邊值問題的分類 第一類邊值問題： 給定整個邊界上的位函數(shù)值； 第二類邊值問題： 給定邊界上每一點(diǎn)位函數(shù)的法向?qū)?shù)； 第三類邊值問題：給定一部分邊界上每一點(diǎn)的電位， 同時給定另一部分邊界上每一點(diǎn)的電位法向?qū)?shù)。 給定導(dǎo)體上的總電量亦屬于第二類邊值問題。 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.2 唯唯 一

2、一 性性 定定 理理4.2.1 格林公式格林公式 SVdSFFdV在上式中，令F=, 則 dSndSdVFdVFSSVV)()()(22第四章 靜 態(tài) 場 的 解 即即 SVdSndV)(2這就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即閉合面的外法向。SVdSndV)(2SVdSnndV)(22該式稱為格林第二恒等式。 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.2.2 唯一性定理唯一性定理設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，1和2滿足泊松方程，即 )()(2212rr在V的邊界S上，1和2滿足同樣的邊界條件， 即 )(|)(|21rfrfSS第四章 靜 態(tài) 場 的 解 令 =1-2，則在V內(nèi)，2=0，在邊界面S上，|S=0。在格

3、林第一恒等式中，令=，則 SVdSndV)(2由于 2 =0，所以有 SVdSndV2在S上 =0，因而上式右邊為零，因而有 02dVV第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.3 鏡鏡 像像 法法 4.3.1 平面鏡像法平面鏡像法 例例 4-1 求置于無限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為h處的點(diǎn)電荷q的電位。 圖 4-1 無限大導(dǎo)體平面上點(diǎn)電荷的鏡像 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 當(dāng)z0 時，2S=0；當(dāng)z=0時，=0；當(dāng)z、|x|、|y|時，0。 解：解： 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 rqrq0412/12222/1222)(,)(hzyxrhzyxr3303303304114114rhzrhzqzEr

4、rqyErrqxEzyx第四章 靜 態(tài) 場 的 解 由Dn=S可得導(dǎo)體表面的面電荷密度： 2/32220)(2hyxqhEzS導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷： qhyxdxdyqhdSqSin2/3222)(2第四章 靜 態(tài) 場 的 解 圖 4-2 相互正交的兩個無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.3.2 球面鏡像法球面鏡像法 例例 4-2 如圖 4-3(a)所示，一個半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心d處，求球外任一點(diǎn)的電位。 圖 4-3 球面鏡像 (a) 球面鏡像原問題；(b) 等效問題 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解：我們先試探用一個鏡像電荷q等效球面上的感應(yīng)面電

5、荷在球外產(chǎn)生的電位和電場。從對稱性考慮，鏡像電荷q應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)q離球心距離為b(b0)值，對應(yīng)一個等位圓，此圓的電位為 nml120第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-5 兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為a，導(dǎo)體軸線之間的距離是 2d，如圖 4-6，求導(dǎo)體單位長的電容。 圖 4-6 平行雙導(dǎo)體 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解：設(shè)兩個導(dǎo)體圓柱單位長帶電分別為l和-l，利用柱面鏡像法，將導(dǎo)體柱面上的電荷用線電荷l和-l代替，線電荷相距原點(diǎn)均為d，兩個導(dǎo)體面的電位分別為1和2。 bdmmammd1112222解之得 aabbm222, 1第四章 靜 態(tài) 場 的 解 aabbnabb

6、abbnnmnmUlll2202222021021112)11 (2aabbnUCl2201當(dāng)ba時， abnC210第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.3.4 平面介質(zhì)鏡像法平面介質(zhì)鏡像法 例例 4-6 設(shè)兩種介電常數(shù)分別為1、2的介質(zhì)充填于x0 的半空間，在介質(zhì) 2 中點(diǎn)(d, 0, 0)處有一點(diǎn)電荷q, 如圖 4-7(a)所示， 求空間各點(diǎn)的電位。 圖圖 4-7 例例 4-6 用圖用圖(a) 介質(zhì)鏡像問題；介質(zhì)鏡像問題； (b) 區(qū)域區(qū)域 2 等效；等效； (c) 區(qū)域區(qū)域 1 等效等效 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解： 右半空間任一點(diǎn)的電位為 122241rqrq左半空間任一點(diǎn)的電位為

7、 2114 rq其中q和q待定。 xx221121,第四章 靜 態(tài) 場 的 解 12, qqqqqqqqqq12112122 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.4 分分 離離 變變 量量 法法4.4.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法在直角坐標(biāo)系中， 拉普拉斯方程為 0222222zyx設(shè)可以表示為三個函數(shù)的乘積， 即 )()()(),(zZyYxXzyx第四章 靜 態(tài) 場 的 解 0222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ然后用XYZ除上式，得 0ZZYYXX222ZZYYaXX第四章 靜 態(tài) 場 的 解 0222a當(dāng)2=0時，則 00)(bxaxX 當(dāng)20 時，令=

8、kx，則 xkxkxxxxededxXxchkcxshkcxX2121)()(或 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-7 橫截面如圖 4-8 所示的導(dǎo)體長槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為ab，槽體的電位為零，蓋板的電位為U0， 求此區(qū)域內(nèi)的電位。 圖 4-8 矩形截面導(dǎo)體槽 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解： 本題的電位與z無關(guān)，只是x、y的函數(shù)，即=(x, y)。 在區(qū)域 0ya、0yb內(nèi)，2 =0邊界條件為 x=0, (0, y)=0 x=a, (a, y)=0 y=0, (x, 0)=0 y=b, (x, b)=U0 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 xkaxkaxXxxc

9、ossin)(210sinakx即kxa=n或kx=n/a(n=1, 2, 3, )，這樣得到X(x)=a1sin(nx/a)。 由于2+2=0，所以得到Y(jié)(y)的形式為指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)， 即 ychkcyshkcyYxx21)(有c2=0, Y(y)=c1sh(ny/a)，這樣我們就得到基本乘積解X(x)Y(y)， 記作 aynshaxnCyYxXnnnnsin)()(第四章 靜 態(tài) 場 的 解 取不同的n值對應(yīng)的n并疊加，即 axnshaxnCyxnnnn11sin),(由邊界條件，有(x, b)=U0， 即 axnBaxnabnshCUnnnn110sinsinabnshCBnn其中：

10、 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 mnmnadxaxmaxna02/sinsin0左右兩邊同乘以sin(mx/a)， 并在區(qū)間(0，a)積分，有 dxaxmaxnBdxaxmUanasinsinsin0002sinsin0200aBdxaxnBdxaxnUnana第四章 靜 態(tài) 場 的 解 因而， )cos1 (2sin2000nnUdxaxnaUBannUBn040n=2, 4, 6, n=1, 3, 5, 所以，當(dāng)n=1, 3, 5, 時， abnshnUCn04第四章 靜 態(tài) 場 的 解 當(dāng)n=2, 4, 6, 時， 0nC這樣得到待求區(qū)域的電位為 axnaynshabnnshUyxnsin

11、14),(, 3 , 10第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-8 如圖 4-9 所示，兩塊半無限大平行導(dǎo)體板的電位為零，與之垂直的底面電位為(x, 0)，求此半無限槽中的電位。 其中： 0)0 ,(0Ux20ax axa2第四章 靜 態(tài) 場 的 解 圖圖 4-9 無限長槽的電位無限長槽的電位 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解：和前題類似， 這是一個二維拉普拉斯方程邊值問題， =(x, y)，邊界條件為 (0, y)=0 (a, y)=0 (x, )=0 0)0 ,(0Ux20ax axa2第四章 靜 態(tài) 場 的 解 為滿足邊界條件，取級數(shù) axneCyxnaynnsin),(1/代入邊界條

12、件， 得 0sin01UaxnCnn20ax axa2運(yùn)用正弦函數(shù)的正交歸一性， 得 2cos12sin202/00nUCdxaxnUaCnan第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.4.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 01122222zrrrrr 當(dāng)電位與坐標(biāo)變量z無關(guān)時，上式第三項(xiàng)為零，此時電位(r,)滿足二維拉普拉斯方程： 022rrrr運(yùn)用分離變量法解之，令 )()(rR第四章 靜 態(tài) 場 的 解 0122ddrdRrdrdRr兩個常微分方程： 002222222nddRndrdRrdrRdr當(dāng)n0 時，上面兩方程的解為 ndncbrarRnnsincos第四章 靜 態(tài)

13、場 的 解 )sincos()sincos(),(11nDnCrnBnArrnnnnnnnn0000001)()(DnrCrRBA當(dāng)n=0 時， 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-9 將半徑為a的無限長導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻電場E0中，柱軸與E0垂直，求任意點(diǎn)的電位。 解：解：令圓柱的軸線與z軸重合，E0的方向與x方向一致，如圖4-10 所示。由于導(dǎo)體柱是一個等位體，不妨令其為零，即在柱內(nèi)(ra), 1=0，柱外電位2滿足拉普拉斯方程。2的形式就是圓柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的通解。以下由邊界條件確定待定系數(shù)。本例的邊界條件是： r，柱外電場E2E0ex, 這樣2E0 x，即0-E0rcos。

14、 r=a，導(dǎo)體柱內(nèi)、外電位連續(xù)，即2=0。 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 圖 4-10 均勻場中導(dǎo)體柱 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 除此之外，電位關(guān)于軸對稱，即在通解中只取余弦項(xiàng)，于是， 12cos)(nnnnnnrCrA)(ar 0,01nAEA) 1( n102coscosnnnnrCrE0coscos10nnnnrCaE第四章 靜 態(tài) 場 的 解 因這一表達(dá)式對任意的成立，所以 ) 1(0,201nCaECn于是， cos202rarE第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-10 若在電場強(qiáng)度為E0的均勻靜電場中放入一個半徑為a的電介質(zhì)圓柱，柱的軸線與電場互相垂直，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為，柱外為

15、真空，如圖 4-11 所示，求柱內(nèi)、外的電場。 圖 4-11 均勻場中介質(zhì)柱 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解：設(shè)柱內(nèi)電位為1，柱外電位為2，1和2與z無關(guān)。 取坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，邊界條件如下： r, 2=-E0rcos r=0, 1=0 r=a, 1=2 r=a, rr201第四章 靜 態(tài) 場 的 解 于是，柱內(nèi)、柱外電位的通解為 )sincos()sincos(),()sincos()sincos(),(112111nDnCrnBnArrnDnCrnBnArrnnnnnnnnnnnnnnnn 考慮本題的外加電場、極化面電荷均關(guān)于x軸對稱，柱內(nèi)、柱外電位解只有余弦項(xiàng)，即 0nnnnDB

16、DB)2( n于是， nArrnnn11cos),(nrCrErnnn102coscos),(第四章 靜 態(tài) 場 的 解 由邊界條件和， 可得 1100011101coscoscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnnanCEnanAnaCnaEnaA)2(0, 011,1220101nCAaECEAnnrrr第四章 靜 態(tài) 場 的 解 其中，r=/0，是介質(zhì)圓柱的相對介電常數(shù)。于是柱內(nèi)、外的電位為 cos111cos1222201rrarErrr00112)sincos(12EeeeEErxrrsin111cos1110220222EraeEraeErrrrr第四章 靜 態(tài) 場 的

17、解 例例 4-11 在一個半徑為a的圓柱面上，給定其電位分布： 00U00求圓柱內(nèi)、外的電位分布。 解：解： 101)sincos(),(nnnnnBnArAr0)sincos(),(0101UnBnAaAannnn0-0 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 由傅里葉級數(shù)的有關(guān)知識， 可得出 ) 1(1 sinsin),(1) 1(0coscos),(12),(210001001010nnnnnnnnnnnUadnUaBdnaBandnUaAdnaAaUdaA第四章 靜 態(tài) 場 的 解 即即 ), 5 , 3 , 1(20nnUaBnn將這些系數(shù)代入上面的通解， 得到圓柱內(nèi)部的電位： , 3 , 10

18、01sin122),(nnnarnUUr第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.4.3 球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法 0sin1sinsin12222222rrrrrrrr0sinsin11222rrrrr 令 =R(r)()，將其代入式(4-54)，并用r2/ 乘該式的兩邊， 得 0sinsin112ddddrdRrdrdR第四章 靜 態(tài) 場 的 解 上式的第一項(xiàng)只是r的函數(shù)，第二項(xiàng)只是的函數(shù)。要其對空間任意點(diǎn)成立，必須使每一項(xiàng)為常數(shù)。令第一項(xiàng)等于k，于是有 kdrdRrdrdR21kddddsinsin1cosx0)1 (2kdxdxdxd第四章 靜 態(tài) 場 的 解 稱為勒讓德方程

19、，它的解具有冪級數(shù)形式，且在-1x0)的格林函數(shù)，就是求位于上半空間r處的單位點(diǎn)電荷，以z=0 平面為電位零點(diǎn)時，在上半空間任意一點(diǎn)r處的電位。這個電位可以用平面鏡像法求得，因而，上半空間的格林函數(shù)為 211141) ,(RRrrG式中： 2/122222/12221) () () () () () (zzyyxxRzzyyxxR第四章 靜 態(tài) 場 的 解 同理可得出二維半空間(y0)的格林函數(shù)。 也使用鏡像法，可以比較容易地算出位于(x, y)處的單位線電荷，在以y=0 為電位參考點(diǎn)時，在(x, y)處的電位。因而，二維半空間(y0)的格林函數(shù)為 12121) ,(RRnrrG式中： 2/1

20、2222/1221) () () () (yyxxRyyxxR第四章 靜 態(tài) 場 的 解 3. 球內(nèi)、球內(nèi)、 外空間的格林函數(shù)外空間的格林函數(shù) 可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為a的球外空間的格林函數(shù)為 21141) ,(RraRrrG圖圖 4-19 球外格林函數(shù)球外格林函數(shù) 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 ) cos(sinsincoscoscos)cos 2 ()cos2(22/12222/1221rarrrrrRrrrrR21141) ,(RraRrrG第四章 靜 態(tài) 場 的 解 圖圖 4-20 球內(nèi)格林函數(shù)球內(nèi)格林函數(shù) 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.6.3 格林函數(shù)的應(yīng)用格林函

21、數(shù)的應(yīng)用 例例4-16 已知無限大導(dǎo)體平板由兩個相互絕緣的半無限大導(dǎo)體平板組成(如圖 4-21所示)，右半部的電位為U0，左半部的電位為零，求上半空間的電位。 圖圖 4-21 例例 4-16 用圖用圖 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解： SdSnrrGr) ,() () () (1) () (141121) ,(2222012yyxxnyyxxnRRnrrG其中： 1R2/12222/1221) () () () (yyxxRyyxxR第四章 靜 態(tài) 場 的 解 2222220) (1) () () (2) () () (241yxxynGyyxxyyyyxxyyyGnGSyxUdxxxyy

22、Urarctan2) ()(02200第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-17 一個間距為d的平板電容器，極板間的體電荷密度是0(0為常數(shù))，上、下板的電位分別是U0和 0，求格林函數(shù)。 圖 4-22 例 4-17 用圖 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解：解： 0)(,)0()(00022dUdxxd(0 xd) )0(0) ,()0(0) , 0()0() () ,(022dxxdGdxxGdxxxdxxxGd第四章 靜 態(tài) 場 的 解 對于格林函數(shù)G的微分方程，分xx兩部分積分后，得 )0() ,()0() ,(4321dxxCxCxxGdxxCxCxxG代入上、下極板G的邊界條件，得 3

23、42, 0dCCG即 )0() ,(1dxxxCxxG)0()() ,(3dxxxdCxxG第四章 靜 態(tài) 場 的 解 上式中還有兩個待定常數(shù)要確定。可以使用G在x=x連續(xù)，得 )(31dxCxC01xxxxdxdGdxdG即 0131CC第四章 靜 態(tài) 場 的 解 解解: C1和C3的聯(lián)立方程，得 )() ,(00 xddxxdxdxxCx x x x dxCdxdC0301,得到格林函數(shù)為 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-18 已知一個半徑為a的圓柱形區(qū)域內(nèi)體電荷密度為零，界面上的電位為 )(),(a用格林函數(shù)法求圓柱內(nèi)部的電位(r, )。 解：解： 使用鏡像法及格林函數(shù)的性質(zhì)，可以

24、得出，半徑為a的圓柱內(nèi)部靜電問題的格林函數(shù)為 aRrRnrrG12121) ,(第四章 靜 態(tài) 場 的 解 圖 4-23 柱內(nèi)區(qū)域格林函數(shù) 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 ,)cos 2()cos2(22/12 222/12 21rarrrrrRrrrrR) cos(2) (21) ,() (222220darraradSnrrGrS第四章 靜 態(tài) 場 的 解 例例 4-19 如果上題的圓柱面上的電位為(a, )=U0cos，求柱內(nèi)的電位。 解：解： 2022220) cos(2cos2)(darraraUr首先證明恒等式 ) 1(cos21)cos21/()1 (122knkkkknn(4-10

25、0)第四章 靜 態(tài) 場 的 解 22221111cos21121cos212cos2121sincos1sincos21sincos1sincos212112112121)(21)(2121)(2121cos21kkkkkkkjkkjkkjkkjkkkekekekekekeeeknkjjjjnnnjnjnjnjnnnn第四章 靜 態(tài) 場 的 解 令k=r/a，我們可以將式(4-100)改寫成 cos ) (cos1 cos2) cos(211cos2)(0120022200arUdnkUdkkkUrnn第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.7 有有 限限 差差 分分 法法 圖 4-24 差分網(wǎng)格 4

26、.7.1 差分表示式差分表示式 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 KhxhxhxKhxhxhx3033202200330332022001! 3121! 31! 21當(dāng)h很小時，忽略四階以上的高次項(xiàng)， 得 02220312xh02220422yh第四章 靜 態(tài) 場 的 解 02222yx考慮到可得 )(4143210上式表明，任一點(diǎn)的電位等于它周圍四個點(diǎn)電位的平均值。顯然，當(dāng)h越小，計(jì)算越精確。如果待求N個點(diǎn)的電位，就需解含有N個方程的線性方程組。若點(diǎn)的數(shù)目較多，用迭代法較為方便。 第四章 靜 態(tài) 場 的 解 4.7.2 差分方程的數(shù)值解法差分方程的數(shù)值解法 1. 簡單迭代法簡單迭代法 圖 4-25 節(jié)點(diǎn)序號 )(411, 11, 11,njinjinjinjinji第四章 靜 態(tài) 場 的 解 2. 塞德爾塞德爾(Seidel)迭代法迭代法 通常為節(jié)約計(jì)算時間，對簡單迭代法要進(jìn)行改進(jìn)，每當(dāng)算出一個節(jié)點(diǎn)的高一次的近似值，就立即用它參與其它節(jié)點(diǎn)的差分方程迭代，這種迭代法叫做塞德爾(Seid