西工大、西交大自動控制原理 4.4 系統(tǒng)性能分析9-10

1、4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析利用系統(tǒng)的根軌跡：利用系統(tǒng)的根軌跡：根據(jù)系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)零、極點閉環(huán)零、極點的的分布位置分布位置，分，分析系統(tǒng)的析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能和和動態(tài)性能動態(tài)性能?？刂七^程控制過程：確定確定出系統(tǒng)在某一出系統(tǒng)在某一開環(huán)增益開環(huán)增益或或其它參量其它參量值下值下的的閉環(huán)極點閉環(huán)極點及及閉環(huán)零點閉環(huán)零點。根據(jù)根據(jù)性能要求性能要求確定確定系統(tǒng)的系統(tǒng)的參數(shù)參數(shù)?？刂七^程控制過程：對系統(tǒng)進行對系統(tǒng)進行校正。校正。4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析根據(jù)系統(tǒng)的根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)作出系統(tǒng)的作出系統(tǒng)的根軌跡根軌跡之后，就之后，就可以可以利用根軌跡利用根軌跡確定確定在

2、某一參數(shù)在某一參數(shù)( (例如例如 、 或或 ) )值值下的下的閉環(huán)極點閉環(huán)極點。KT1閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定控制過程控制過程：先用先用試探法試探法確定閉環(huán)確定閉環(huán)實極點實極點的數(shù)值，再用的數(shù)值，再用綜合綜合除法除法( (長除法長除法) )得到其余的閉環(huán)極點得到其余的閉環(huán)極點若在特定若在特定 ( (或或 ) )值下，只有一對復(fù)數(shù)極點值下，只有一對復(fù)數(shù)極點，則可直接在概略根軌跡上用上述方法獲得閉，則可直接在概略根軌跡上用上述方法獲得閉環(huán)極點。環(huán)極點。K*K特定特定 ( (或或 ) )值下的值下的閉環(huán)極點閉環(huán)極點：根據(jù)：根據(jù)幅值條件幅值條件來確定。來確定。*KK4.4 系統(tǒng)性能的分析系

3、統(tǒng)性能的分析閉環(huán)零點閉環(huán)零點和和閉環(huán)根軌跡增益閉環(huán)根軌跡增益 ：由前述閉環(huán)零、極點與：由前述閉環(huán)零、極點與 開環(huán)零、極點間的開環(huán)零、極點間的關(guān)系關(guān)系來直接確定。來直接確定。*閉K1閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定控制過程控制過程：閉環(huán)根軌跡增益閉環(huán)根軌跡增益：就等于：就等于前向通道前向通道 的的根軌跡增益根軌跡增益 (對單位反饋系統(tǒng)，對單位反饋系統(tǒng)， 就等于就等于開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益 )*閉K*GK*閉K*K)(sG閉環(huán)零點閉環(huán)零點：由：由前向通道前向通道 的零點的零點和和反饋通反饋通道道 的極點的極點組合而成組合而成( (對于單位反饋系統(tǒng)，對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就等于開環(huán)零點

4、閉環(huán)零點就等于開環(huán)零點) )。)(sG)(sH4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析因而可確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的因而可確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的 表達式為：表達式為： s niimjjsszsKsRsCs11*閉1閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定*閉Kjzis閉環(huán)根軌跡增益閉環(huán)根軌跡增益閉環(huán)零點閉環(huán)零點 閉環(huán)極點閉環(huán)極點4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析2拉氏變換確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)拉氏變換確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ssszsKsRssCniimjj111*閉 nktskniimjjkeAAssszsKth101111*sC閉L LL L其中：其中： 00A nkiiikkmjjksskk

5、ssszsKsssCAk11*閉4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 、 可由根軌跡圖上用圖解法求得：即可由根軌跡圖上用圖解法求得：即0AkA1*01mjjniizAKs閉11*11mmkjkjjjknnkkikkiiii ki kszszAKKssssss閉閉求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 后，可繪制出后，可繪制出 曲線，曲線，根據(jù)根據(jù) 曲線，就可以確定出系統(tǒng)的各項性能指標。曲線，就可以確定出系統(tǒng)的各項性能指標。 th th th2拉氏變換確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)拉氏變換確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)局限：局限：對于低階系統(tǒng)容易；對于低階系統(tǒng)容易； 高階系統(tǒng)要得到高階系統(tǒng)要得到 曲線很費

6、時，不便于應(yīng)用曲線很費時，不便于應(yīng)用 th4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 將閉環(huán)系統(tǒng)的將閉環(huán)系統(tǒng)的非主導(dǎo)極點非主導(dǎo)極點忽略忽略，而用閉環(huán)系統(tǒng)，而用閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)主導(dǎo) 極點極點代替閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點，來估計系統(tǒng)的性能代替閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點，來估計系統(tǒng)的性能 指標。指標。一般地，凡到虛軸的距離比主導(dǎo)極點到虛軸的距一般地，凡到虛軸的距離比主導(dǎo)極點到虛軸的距離大離大5倍以上的閉環(huán)極點都可忽略掉。倍以上的閉環(huán)極點都可忽略掉。經(jīng)驗表明，有時把大經(jīng)驗表明，有時把大23倍的閉環(huán)極點忽略掉所帶倍的閉環(huán)極點忽略掉所帶來的誤差，工程上也是允許的。來的誤差，工程上也是允許的。3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法回顧：主導(dǎo)極點法

7、回顧：主導(dǎo)極點法4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析當系統(tǒng)的閉環(huán)極點與閉環(huán)零點距離非常近而構(gòu)當系統(tǒng)的閉環(huán)極點與閉環(huán)零點距離非常近而構(gòu)成閉環(huán)成閉環(huán)偶極子偶極子時，這個閉環(huán)極點所對應(yīng)的瞬態(tài)時，這個閉環(huán)極點所對應(yīng)的瞬態(tài)變量的系數(shù)就變得很小，此時該閉環(huán)極點所對變量的系數(shù)就變得很小，此時該閉環(huán)極點所對應(yīng)的瞬態(tài)分量在應(yīng)的瞬態(tài)分量在 中，就可以忽略掉。中，就可以忽略掉。故：經(jīng)過這樣略去非主導(dǎo)極點、零點及閉環(huán)偶極子故：經(jīng)過這樣略去非主導(dǎo)極點、零點及閉環(huán)偶極子后，一般高階系統(tǒng)就變成了一、二階系統(tǒng)。后，一般高階系統(tǒng)就變成了一、二階系統(tǒng)。分析一、二階系統(tǒng)性能指標的公式或曲線，就分析一、二階系統(tǒng)性能指標的公式或曲線，

8、就可以直接用來估計高階系統(tǒng)的性能指標了?？梢灾苯佑脕砉烙嫺唠A系統(tǒng)的性能指標了。)(th3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析例例1單位單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的 ，試確，試確定開環(huán)增益。定開環(huán)增益。 64sssKsGgk%18% 3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法解：首先畫出根軌跡。從根軌跡上看出，根軌跡與虛軸解：首先畫出根軌跡。從根軌跡上看出，根軌跡與虛軸 的交點為的交點為+j5,-j5，這時的臨界增益，這時的臨界增益 。隨。隨 著著 的增加，主導(dǎo)極點越顯著。所以可以用二階的增加，主導(dǎo)極點越顯著。所以

9、可以用二階 系統(tǒng)的性能指標近似計算。系統(tǒng)的性能指標近似計算。gK240gpk4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析-20-15-10-505-15-10-5051015Root LocusReal AxisImaginary AxisABaja1233主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析由給定的性能指標，可計算出：由給定的性能指標，可計算出：%100%ctge2ctg/ 1%18% 603主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法K在根軌跡上做出在根軌跡上做出兩條與實軸夾角為兩條與實軸夾角為 的直線，也的直線，也就是等就是等 線，則其與根軌跡的交點線，則其與根軌跡的交點A、B就是該三階就是該三階系

10、統(tǒng)的主導(dǎo)極點。系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。通過求通過求A、B兩點的坐標，可以確定這時的根軌跡增兩點的坐標，可以確定這時的根軌跡增益益 ，進而求得開環(huán)增益，進而求得開環(huán)增益 。gK60K4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析根據(jù)相角條件：根據(jù)相角條件：又已知：又已知：解得：解得：再由幅值條件可得：再由幅值條件可得：3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法設(shè)設(shè)A A點坐標為：點坐標為： 則：則：ja360aatg（1 1）12324arctan6arctankaaaa12321ktan3,31aatgXtgYtg XYtgXtgY1 . 2, 2 . 1aa164AsgsssK44gK4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析由由根之

11、和法則根之和法則(閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和)，可確，可確定出第三個閉環(huán)極點：定出第三個閉環(huán)極點：所以所以A、B點符合主導(dǎo)極點條件。點符合主導(dǎo)極點條件。開環(huán)增益與開環(huán)根軌跡增益間的關(guān)系為：開環(huán)增益與開環(huán)根軌跡增益間的關(guān)系為：所以當開環(huán)增益所以當開環(huán)增益 時，閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)時，閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量量 。32 . 12 . 164s6 . 73s83. 16444K83. 1K%18% 3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析此時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：此時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：思考：若略去非主導(dǎo)極點后，系統(tǒng)的思考：若略去非主導(dǎo)極點后，系統(tǒng)的閉環(huán)傳

12、遞函數(shù)為何種形式？閉環(huán)傳遞函數(shù)為何種形式？是否可直接略去非主導(dǎo)極點，簡化為：是否可直接略去非主導(dǎo)極點，簡化為： 2447.62.41.444.41ssss單位階躍作單位階躍作用下用下無無穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)誤差誤差 10 單位階躍作單位階躍作用下用下有有穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)誤差誤差 10 85. 54 . 26 . 7442ssss3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法00.511.522.533.544.550123456789Step ResponseTime (sec)Amplitude4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析這是因為在略去非主導(dǎo)極點或偶極子時，閉環(huán)這是因為

13、在略去非主導(dǎo)極點或偶極子時，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益可能會發(fā)生變化。所以不能系統(tǒng)的根軌跡增益可能會發(fā)生變化。所以不能簡單地只是直接略去非主導(dǎo)極點或偶極子。簡單地只是直接略去非主導(dǎo)極點或偶極子。此時系統(tǒng)略去主導(dǎo)極點后的閉環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)寫此時系統(tǒng)略去主導(dǎo)極點后的閉環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)寫為：為： 85. 54 . 285. 52sss3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析3主導(dǎo)極點法主導(dǎo)極點法00.511.522.533.544.5500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)Amplitude4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析4系統(tǒng)性能的定性分析系

14、統(tǒng)性能的定性分析1 1穩(wěn)定性穩(wěn)定性穩(wěn)定性只與閉環(huán)極點位置有關(guān)，如果閉環(huán)極點全部穩(wěn)定性只與閉環(huán)極點位置有關(guān)，如果閉環(huán)極點全部位于位于 平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。s2 2運動形式運動形式如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點，且閉環(huán)極點均為實數(shù)極點，則如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點，且閉環(huán)極點均為實數(shù)極點，則時間響應(yīng)是單調(diào)的；若閉環(huán)極點均為復(fù)數(shù)極點，時間時間響應(yīng)是單調(diào)的；若閉環(huán)極點均為復(fù)數(shù)極點，時間響應(yīng)一般是振蕩的。響應(yīng)一般是振蕩的。4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析4系統(tǒng)性能的定性分析系統(tǒng)性能的定性分析3 3超調(diào)量超調(diào)量4 4調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點的實部絕對主要取決于

15、最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點的實部絕對值值 ；若實數(shù)極點距離虛軸最近，且附近；若實數(shù)極點距離虛軸最近，且附近沒有其它實數(shù)零點，則調(diào)節(jié)時間主要取決于該實數(shù)沒有其它實數(shù)零點，則調(diào)節(jié)時間主要取決于該實數(shù)極點的模值。極點的模值。n 1主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點的主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點的 ，并與其它閉環(huán)零、極點接近坐標原點的程度有關(guān)。，并與其它閉環(huán)零、極點接近坐標原點的程度有關(guān)。211d4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析4系統(tǒng)性能的定性分析系統(tǒng)性能的定性分析5 5實數(shù)零、極點的影響實數(shù)零、極點的影響6 6偶極子及其處理偶極子及其處理偶極子遠離坐標原點時，它們對系統(tǒng)性能的影響可忽偶極子遠離坐標原點時，它

16、們對系統(tǒng)性能的影響可忽略不計；當其接近原點時，其影響就必須考慮。略不計；當其接近原點時，其影響就必須考慮。 零點減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時間提前，超調(diào)量增大零點減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時間提前，超調(diào)量增大； 極點增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時間滯后，超調(diào)量減小極點增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時間滯后，超調(diào)量減小。這種作用隨其接近坐標原點的程度而加強。這種作用隨其接近坐標原點的程度而加強。4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析4系統(tǒng)性能的定性分析系統(tǒng)性能的定性分析7 7主導(dǎo)極點主導(dǎo)極點 在在 平面上，最靠近虛軸而附近又無閉環(huán)零點的平面上，最靠近虛軸而附近又無閉環(huán)零點的 一些閉環(huán)極點，對系統(tǒng)性能影響最大，稱為主導(dǎo)一些閉環(huán)極

17、點，對系統(tǒng)性能影響最大，稱為主導(dǎo) 極點。極點。 凡比主導(dǎo)極點的實部大凡比主導(dǎo)極點的實部大6 6倍以上的其它閉環(huán)零、極倍以上的其它閉環(huán)零、極 點，其對系統(tǒng)的影響均可忽略不計。點，其對系統(tǒng)的影響均可忽略不計。s4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 例例2 2 ：設(shè)系統(tǒng)：設(shè)系統(tǒng)A A和和B B有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)下圖所示。已知系統(tǒng)A A有一個閉環(huán)零點，系統(tǒng)有一個閉環(huán)零點，系統(tǒng)B B沒有閉環(huán)零點。沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)試求系統(tǒng)A A和和B B的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對應(yīng)的閉環(huán)方塊圖。的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對應(yīng)的閉環(huán)方塊圖。5應(yīng)用舉

18、例應(yīng)用舉例4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)系統(tǒng)A A和和B B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為： 211211211222sssksssksksssksDsksA 211212222sssksskskssksDksB5應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 解解 ：由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應(yīng)的開環(huán)由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A A和和B B的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：特征方程為： sHsGk212sssksG 122sksssD4.4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為： 。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為： ，反饋通路傳遞函數(shù)為： 。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為： ，閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖如下圖（b）所示。212sssk22ssk1s212ssks1s)2(2ssk)(sC)(sRA系統(tǒng)1s)2(2ssk)(sC)(sRB系統(tǒng) 根軌跡相同的系統(tǒng)，開環(huán)傳