第一章信號與系統(tǒng)

1、信號與系統(tǒng)凌凌 云云20152015年春季學(xué)期年春季學(xué)期上課時間n117周n星期一 （石6-306） 3-4節(jié)n星期三 （C6-308）1-2節(jié)n考試課，有期中考試和期末考試，閉卷教材與參考書1、信號與線性系統(tǒng)分析 吳大正 高等教育出版社2、信號與系統(tǒng)（第二版）上、下冊 鄭君里 應(yīng)啟珩 楊為理 高等教育出版社3、信號與系統(tǒng) Alanv.Oppenheim Alans.Willsky 電子工業(yè)出版社出版社 信號與系統(tǒng)課程簡介1、課程地位、課程地位 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)課程是各高等院校電子信息工程及通信課程是各高等院校電子信息工程及通信工程等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程和主干課程。該課程也工程等專業(yè)的

2、一門重要的基礎(chǔ)課程和主干課程。該課程也是電子、通信、信號與信息處理等專業(yè)研究生入學(xué)考試的是電子、通信、信號與信息處理等專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考課程。必考課程。 2、主要研究的內(nèi)容及課時安排、主要研究的內(nèi)容及課時安排 該課程主要討論確定性信號和線性時不變系統(tǒng)的基本該課程主要討論確定性信號和線性時不變系統(tǒng)的基本概念與基本理論、信號的頻譜分析，以及研究確定性信號概念與基本理論、信號的頻譜分析，以及研究確定性信號經(jīng)線性時不變系統(tǒng)傳輸與處理的基本分析方法。從連續(xù)到經(jīng)線性時不變系統(tǒng)傳輸與處理的基本分析方法。從連續(xù)到離散、從時域到變換域、從輸入輸出分析到狀態(tài)變量分析，離散、從時域到變換域、從輸入輸出分析到狀

3、態(tài)變量分析，共八章。共八章。 相關(guān)課程前修課程： 高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 電路分析后續(xù)課程 數(shù)學(xué)信號處理 通信原理 模擬電路 歷史歷史歷史歷史歷史 赫茲、波波夫、馬可尼等對電磁波傳輸無線電信號進行研究。 衛(wèi)星通信為基礎(chǔ)的全球定位系統(tǒng)（GPS）可以利用無線電信號傳輸、測定地球表面和周圍空間的目標(biāo)的位置。 現(xiàn)代通信系統(tǒng)的通信方式不是任意兩點之間信號的直接傳輸，而是利用集中轉(zhuǎn)接設(shè)施的復(fù)雜信息網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)所謂“交換”的功能實現(xiàn)兩點間信號的傳輸。導(dǎo)論消息（消息（Message）：運動或狀態(tài)變化的直接反映、待傳：運動或狀態(tài)變化的直接反映、待傳輸與處理的原始對象。輸與處理的原始對象。信號（信號（Signal）：）：

4、指消息的表現(xiàn)形式與傳送載體。指消息的表現(xiàn)形式與傳送載體。信息（信息（Information）：）：一般指消息中賦予人們的新知一般指消息中賦予人們的新知識、新概念。識、新概念。信號是消息的表現(xiàn)形式與傳送載體，消息是信號的傳信號是消息的表現(xiàn)形式與傳送載體，消息是信號的傳送內(nèi)容。例如電信號傳送送內(nèi)容。例如電信號傳送聲音聲音、圖像、文字等。、圖像、文字等。電信號是應(yīng)用最廣泛的物理量，如電壓、電流、電荷、電信號是應(yīng)用最廣泛的物理量，如電壓、電流、電荷、磁通等。磁通等。 一、信號的基本概念1. 定義定義廣義廣義: 信號是隨時間變化的某種物理量。信號是隨時間變化的某種物理量。 嚴(yán)格嚴(yán)格: 信號是消息的表現(xiàn)形

5、式與傳送載體。信號是消息的表現(xiàn)形式與傳送載體。 電信號通常是隨時間變化的電壓或電流。電信號通常是隨時間變化的電壓或電流。 2. 表示表示數(shù)學(xué)解析式或圖形數(shù)學(xué)解析式或圖形信號的定義語音信號：空氣壓力隨時間變化的函數(shù)靜止的單色圖象： 亮度隨空間位置變化的信號f(x,y)。靜止的彩色圖象： 三基色紅(R)、綠(G)、藍(lán)(B)隨空間位置變化的信號。),(),(),(),(yxIyxIyxIyxIBGR概念引申：信號傳輸（transmission）、信號交換（switching）、信號處理（processing）本課程的內(nèi)容正是為研究這些領(lǐng)域提供基礎(chǔ)知識和基本分析方法二、系統(tǒng)的概念二、系統(tǒng)的概念 信號的

6、產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的信號的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。 一般而言，一般而言，系統(tǒng)系統(tǒng)是指若干相互關(guān)聯(lián)的是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。事物組合而成具有特定功能的整體。系統(tǒng)的基本作用系統(tǒng)的基本作用是是對輸入信號進行加對輸入信號進行加工和處理，將其轉(zhuǎn)工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出換為所需要的輸出信號。信號。如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機網(wǎng)等都可如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。象、文字等都可以看成信

7、號。二、信號的分類按實際用途劃分： 電視信號 雷達(dá)信號 控制信號 通信信號 廣播信號 按所具有的時間特性劃分按實際用途劃分：電視信號雷達(dá)信號控制信號通信信號廣播信號按所具有的時間特性劃分1 1 確定信號與隨機信號確定信號與隨機信號2.2.連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號和離散信號3.3.周期信號與非周期信號周期信號與非周期信號4.4.能量信號與功率信號能量信號與功率信號1.確定信號與隨機信號確定信號確定信號是指能夠以確定的時間函數(shù)表示的信號。隨機信號隨機信號也稱為不確定信號，不是時間的確定確定函數(shù)。確定信號t隨機信號的一個樣本t2. 連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號： 在觀測過程的連續(xù)時間范圍內(nèi)信號有確定

8、的值。允許在其時間定義域上存在有限個間斷點。通常以f(t)表示。模擬信號：取值是連續(xù)的連續(xù)信號。離散信號： 信號僅在規(guī)定的離散時刻有定義。通常以fk表示。數(shù)字信號：取值為離散的離散信號。連續(xù)時間信號與離散時間信號波形連續(xù)時間信號離散時間信號離散信號的產(chǎn)生1)對連續(xù)信號抽樣fk=f(kT)2)信號本身是離散的3)計算機產(chǎn)生tf (t)1130f(t)t201-11k-22223fk判斷下列波形是連續(xù)時間信號還是離散時間信號，若是離散時間信號是否為數(shù)字信號？3 周期信號與非周期信號*連續(xù)時間周期信號定義: 在定義域上 ,存在非零T，使得 *周期信號每一周期內(nèi)信號完全一樣故只需研究信號周期信號每一周

9、期內(nèi)信號完全一樣故只需研究信號 在一個周期內(nèi)的狀況。在一個周期內(nèi)的狀況。)()(tfTtf成立，則f(t) 為周期信號。*離散時間周期信號定義: kI , 存在非零N，使得成立，則fk 為周期信號。滿足上述條件的最小的正最小的正T、正、正N稱為信號的基本周期。kfNkf*不滿足周期信號定義的信號稱為非周期信號。例題4 能量信號與功率信號信號的瞬時功率：RtiRtutituP)()()()(22 t1,t2上的平均功率：dttittPtt21221)(1 取R1， t1,t2上的能量：dttidttiEtttt222121)()( 信號的能量：信號的能量：信號的功率：信號的功率：dttfETTT

10、2)(lim dttfTPTTT2)(21lim 根據(jù)上述定義將信號f(t)分為三種類型： E為有限值，P 為0 E為 ，P 為有限值 E，P 為能量信號功率信號非能量非功率信號直流信號與周期信號都是功率信號。 注意注意: : 一個信號，不可能既是能量信號又是功率信號。例題二、系統(tǒng)的概念二、系統(tǒng)的概念 信號的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的信號的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。 一般而言，一般而言，系統(tǒng)系統(tǒng)是指若干相互關(guān)聯(lián)的是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。事物組合而成具有特定功能的整體。系統(tǒng)的描述及其分類系統(tǒng)的描述

11、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的分類連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng) 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)1.2 1.2 信號的描述及分類信號的描述及分類信號的基本概念信號的基本概念電信號電信號 通常是隨時間變化的電壓或電流。通常是隨時間變化的電壓或電流。廣義廣義：信號是隨時間變化的某種物理量（如信號是隨時間變化的某種物理量（如溫度、電流、某地區(qū)一段時間內(nèi)人口的變化溫度、電流、某地區(qū)一段時間內(nèi)人口的變化量）量）嚴(yán)格：信號是消息的表現(xiàn)形式與傳送載體嚴(yán)格：信號是消息的表現(xiàn)形式與傳送載體定義定義表示：數(shù)學(xué)解析式或圖形表示：數(shù)學(xué)解析式或圖形電流或電壓信

12、號是以時間為自變量的函數(shù)，如電流或電壓信號是以時間為自變量的函數(shù)，如 tsin圖像信號可以用圖形表示，也可以用由兩個自圖像信號可以用圖形表示，也可以用由兩個自變量定義的二維函數(shù)表示，如變量定義的二維函數(shù)表示，如f(x,y)。1.3 1.3 信號的基本運算信號的基本運算一、加法和乘法一、加法和乘法1、信號、信號f1()與與f2()之和之和:例：求下列兩信號之和。例：求下列兩信號之和。0 4 t2f1(t)0 4 t2f2(t) 21fff 2211 ttf ttf212 221 tftftf0t40t40t 0 tetft sin， t 00 t f(t) 2二、反轉(zhuǎn)和平移二、反轉(zhuǎn)和平移1、將信

13、號、將信號f(t)反轉(zhuǎn)：即信號的自變量反轉(zhuǎn)：即信號的自變量t換為換為-t，從圖形上反映出來是將從圖形上反映出來是將f(t)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)。以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)。例：例：2、將信號將信號f(t)平移平移對連續(xù)信號對連續(xù)信號f(t)，若有常數(shù)，若有常數(shù)t00，則信號，則信號f(t-t0)是將原信號沿正軸平移是將原信號沿正軸平移t0時間，而時間，而f(t+t0)是將原是將原信號向負(fù)信號向負(fù)t軸方向移動軸方向移動t0時間。時間。將反轉(zhuǎn)和平移相結(jié)合，可得到將反轉(zhuǎn)和平移相結(jié)合，可得到f(-t-t0)的波形。的波形。方法是：先將方法是：先將f(t)平移，得到平移，得到f(t-t0)；再將；再將f(t-t0)的

14、自變量的自變量t變?yōu)樽優(yōu)?t，即沿，即沿y軸反轉(zhuǎn)，得到軸反轉(zhuǎn)，得到f(-t-t0)。三、尺度變換三、尺度變換用變量用變量at替代原信號的自變量替代原信號的自變量t，得到的信號就是，得到的信號就是將原信號沿橫軸進行展縮。將原信號沿橫軸進行展縮。若若a1，表示將原信號沿橫軸壓縮到原來的，表示將原信號沿橫軸壓縮到原來的1/a；若若0atttt t0t)(0ttu0t1單位階躍信號作用TT21t)(tf)(a1 1表示任意的方波脈沖信號表示任意的方波脈沖信號f(t)=(t-T)-u(t-2T)單位階躍信號作用單邊特性單邊特性t00sin( )tt ( )(1)?tettn利用階躍信號的單邊性表示信號的

15、時間范圍)()(sin00tutt)()(sin000ttutt0tt0)(sin0tutt0)(sin00ttut0tt00tt0信號的表示與表達(dá) （課后題）2、沖激函數(shù)、沖激函數(shù)對對n(t)求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得： ntntntnnttn111122110 ntntnnnttpn1011210-1/n 0 1/n tn/2-1/n 0 1/n t11/2n(t)-1/n 1/npn(t)0 t1(t)0 t t (1) n時時-1/n 0 1/n tn/2t=0處脈沖幅值趨于處脈沖幅值趨于 ，脈沖面積仍為，脈沖面積仍為1，稱為，稱為沖激函數(shù)的強度，用沖激函數(shù)的強度，用(1)表示。表示。定義：定

16、義： t def tpnn lim實際上，有許多函數(shù)序列的極限都是沖激函數(shù)。如實際上，有許多函數(shù)序列的極限都是沖激函數(shù)。如高斯函數(shù)序列，取樣函數(shù)序列，雙邊指數(shù)函數(shù)序列。高斯函數(shù)序列，取樣函數(shù)序列，雙邊指數(shù)函數(shù)序列。物理意義：沖激函數(shù)可看作是強度非常大而作用時物理意義：沖激函數(shù)可看作是強度非常大而作用時間非常短的物理量的理想模型。比如乒乓球運動員間非常短的物理量的理想模型。比如乒乓球運動員的扣球，球與球拍的接觸時間非常短，但球的沖量的扣球，球與球拍的接觸時間非常短，但球的沖量是一個有限值（相當(dāng)于沖激函數(shù)的強度），可把球是一個有限值（相當(dāng)于沖激函數(shù)的強度），可把球拍對球的作用力看成無限大（相當(dāng)于沖

17、激函數(shù)的幅拍對球的作用力看成無限大（相當(dāng)于沖激函數(shù)的幅度）。度）。沖激函數(shù)的另一種定義沖激函數(shù)的另一種定義狄拉克定義：狄拉克定義： 10, 0dtttt 階躍函數(shù)與沖激函數(shù)的定義不同于普通函數(shù)，我階躍函數(shù)與沖激函數(shù)的定義不同于普通函數(shù)，我們稱這類函數(shù)為奇異函數(shù)。這類函數(shù)在今后處理們稱這類函數(shù)為奇異函數(shù)。這類函數(shù)在今后處理信號，分析系統(tǒng)時將起到很大的幫助。信號，分析系統(tǒng)時將起到很大的幫助。沖激信號(tt0) 其波形如何？k(t) 其波形如何？二、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分二、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分由于沖激函數(shù)是奇異函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的定義也不同由于沖激函數(shù)是奇異函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的定義也不同于一般函數(shù)，是通過對別的

18、函數(shù)的作用而定義的。于一般函數(shù)，是通過對別的函數(shù)的作用而定義的。 沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) t 0 dttt沖激信號的微分沖激信號的微分-沖激偶沖激偶定義：定義：)()(tdttd)(tt0n沖激信號的微分（階躍函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)）將呈現(xiàn) 正、負(fù)極性的一對沖激，稱為沖激偶信號，以 表示。( ) t)(tt0)(tt（1）0t1)(ts0d ( )ds tt21210t00 沖激函數(shù)的積分：沖激函數(shù)的積分：由前述沖激函數(shù)的定義可知，它是階躍函數(shù)的由前述沖激函數(shù)的定義可知，它是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，沖激函數(shù)的積分是階躍函數(shù)。即：導(dǎo)數(shù)。因此，沖激函數(shù)的積分是階躍函數(shù)。即： dxxtt 沖激信

19、號的微積分沖激信號與階躍信號的關(guān)系沖激信號與階躍信號的關(guān)系tttd0 00 1)( ) t( )dtdt)(t沖激信號的積分（1）)(tt01t0(t)沖激信號的積分00()d()tttt 00d()()dttttt 階躍函數(shù)的積分：階躍函數(shù)的積分：由階躍函數(shù)的定義：由階躍函數(shù)的定義： 0001ttt 可得其積分：可得其積分： ttttdxx000 稱此函數(shù)為斜升稱此函數(shù)為斜升(斜變斜變)函數(shù)，記為函數(shù)，記為r(t)。沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)與積分都是沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)與積分都是奇異函數(shù)奇異函數(shù)。三、階躍函數(shù)與沖激函數(shù)的性質(zhì)三、階躍函數(shù)與沖激函數(shù)的性質(zhì)1、階躍函數(shù)的一些性質(zhì)、階躍函數(shù)的一些性質(zhì) (t

20、)與普通函數(shù)相乘相當(dāng)于將此函數(shù)從與普通函數(shù)相乘相當(dāng)于將此函數(shù)從t=0處開始截取。處開始截取。 可用階躍函數(shù)的組合來表示矩形脈沖?？捎秒A躍函數(shù)的組合來表示矩形脈沖。 由上述性質(zhì)，進一步可見如果要表示定義域由上述性質(zhì)，進一步可見如果要表示定義域有限的信號，都可利用階躍信號。有限的信號，都可利用階躍信號。例例2：寫出下列波形的表達(dá)式。：寫出下列波形的表達(dá)式。 與普通函數(shù)的乘積與普通函數(shù)的乘積 tfttf 0 0fdtttf 性質(zhì)性質(zhì)也稱為沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)，即也稱為沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)，即 t 從從f(t)中取出函數(shù)值中取出函數(shù)值f(0)。2、沖激函數(shù)的一些性質(zhì)、沖激函數(shù)的一些性質(zhì)沖激信號的性質(zhì)( )

21、 ( )(0) ( )f ttft)(tf)0(f)(t) 1 ( ) 1 ()0(f)()0(tf（1）篩選特性）篩選特性 沖激函數(shù)可以把沖激所在位置處的函數(shù)值抽取（篩選）出來。沖激函數(shù)可以把沖激所在位置處的函數(shù)值抽取（篩選）出來。 化簡例如：化簡例如：)()()()(000tttftttf2(2)?tet tftfttf 00 0fdtttf 沖激信號的性質(zhì)( )( )( )( )atatttetttet 移位移位沖激函數(shù)也可象普通函數(shù)一樣進行基本運算，沖激函數(shù)也可象普通函數(shù)一樣進行基本運算，如移位。如移位。 1tt 表示將沖激函數(shù)沿橫坐標(biāo)移動到表示將沖激函數(shù)沿橫坐標(biāo)移動到t1位置。位置。

22、0 t1 t 1tt (1)同理：同理： 111tttftttf 11tfdttttf 11111tttftttftttf 11tfdttttf 定義了階躍函數(shù)與沖激函數(shù)這一類奇異函數(shù)后，定義了階躍函數(shù)與沖激函數(shù)這一類奇異函數(shù)后，對于在有限時刻點上有間斷點的信號的求導(dǎo)帶來對于在有限時刻點上有間斷點的信號的求導(dǎo)帶來了方便。了方便。例：函數(shù)例：函數(shù)f(t)如圖示，求其導(dǎo)數(shù)如圖示，求其導(dǎo)數(shù)f(t)。該函數(shù)的數(shù)學(xué)解析式可表示為：該函數(shù)的數(shù)學(xué)解析式可表示為： 303223, 00tttttf用階躍函數(shù)來表示：用階躍函數(shù)來表示： 3322 ttttf 342332 tttttf 從波形上來看：從波形上來看

23、：(2)(-4)0 3 t tf 對具有有限個間斷點對具有有限個間斷點的函數(shù)進行求導(dǎo)時，的函數(shù)進行求導(dǎo)時，從波形上來看：首先從波形上來看：首先將各分段函數(shù)分別求將各分段函數(shù)分別求導(dǎo)；在間斷點處的導(dǎo)導(dǎo)；在間斷點處的導(dǎo)數(shù)一般都是沖激函數(shù)，數(shù)一般都是沖激函數(shù)，其強度可由下式計算：其強度可由下式計算： iitftf例題 計算下列各式的值) 1()()8(2ttuet)22()7(4tet)2() 32)(6(23ttt222) 13()3()5(dttttdttt)4()sin() 1 (642)8()3(dttet325) 1()2(dttetdttet)22()4(2/2)4sin()4()sin

24、() 1 (dttt51 5325/1) 1()2(eedttet0)8() 3(642dttetedttedttett21) 1(21)22()4(0) 3(3)3() 13()3()5(222222dttttdtttt)2(19)2() 3222()2() 32)(6(2323ttttt) 1(21) 1(21) 1(21)22()7(4(-1) 444tetetetett0) 1(0) 1() 1() 1()()8(-1) 22ttuettuet四、單位階躍序列與單位序列四、單位階躍序列與單位序列沖激函數(shù)與階躍函數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)的分析中具有非沖激函數(shù)與階躍函數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)的分析中具有非常重要的

25、地位。對于離散系統(tǒng)的分析來說，也有常重要的地位。對于離散系統(tǒng)的分析來說，也有兩個地位與它們相類似的函數(shù)：單位序列和單位兩個地位與它們相類似的函數(shù)：單位序列和單位階躍序列。階躍序列。1、單位階躍序列：、單位階躍序列： k 0, 100kk，def10 1 2 3 k k 移位后的單位階躍序列：移位后的單位階躍序列： ikikik, 10， 10 i i+1 k ik 單位階躍序列和普通序列相乘相當(dāng)于將普通序列從單位階躍序列和普通序列相乘相當(dāng)于將普通序列從k=0處開始截取。處開始截取。2、單位序列（單位樣值序列、單位序列（單位樣值序列/單位脈沖序列）：單位脈沖序列）： k def 0, 00, 1

26、kk1 k 0 k移位后的單位序列：移位后的單位序列： ikikik, 0, 1 1 ik 0 i k3、 k 與與 k 的關(guān)系的關(guān)系 1 kkk kiik 單位階躍序列也可看作是單位序列經(jīng)過一系列移單位階躍序列也可看作是單位序列經(jīng)過一系列移位后的和。即：位后的和。即： 0jjkk 1.5 1.5 系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述要分析一個系統(tǒng)，首先要建立描述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)要分析一個系統(tǒng)，首先要建立描述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。按照數(shù)學(xué)模型的不同，系統(tǒng)可分為：模型。按照數(shù)學(xué)模型的不同，系統(tǒng)可分為：即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)：即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)：系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)是否僅決定于該時刻的激系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)是否僅決定于該時刻

27、的激勵，而與過去的歷史狀況無關(guān)。勵，而與過去的歷史狀況無關(guān)。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)：系統(tǒng)所處理的信號是否是連續(xù)的。系統(tǒng)所處理的信號是否是連續(xù)的。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)這里主要討論的是動態(tài)、線性、時不變系統(tǒng)。這里主要討論的是動態(tài)、線性、時不變系統(tǒng)。一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。例例1：RLC串聯(lián)電路如圖所示。已知串聯(lián)電路如圖所示。已知Us(t)，求，求Uc(t)()()()(tutu

28、tutuSCRL由KVL定律得：)()()()()()()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtiCLCRC 各元件電壓、電流關(guān)系：代入整理得：)(1)(1)()(tuLCtuLCtuLRtuSCCC 例例2 下圖所示電阻梯形網(wǎng)絡(luò)中，各串臂電阻均為下圖所示電阻梯形網(wǎng)絡(luò)中，各串臂電阻均為R，各并臂電阻均為各并臂電阻均為aR。將各結(jié)點依次編號，其序號為。將各結(jié)點依次編號，其序號為k（k=0,1,2,N），相應(yīng)結(jié)點電壓為），相應(yīng)結(jié)點電壓為u(k)，試列，試列出關(guān)于出關(guān)于u(k)的差分方程。的差分方程。U(k)U(k+1)U(k+2)aibici0+ -+ -+-U(k)U(k+1)U(k

29、+2)aibici0+ -+ -+-由KVL定律得：) 1()(kuRikuaaRkuiRkukuiiiicbcba) 1()2() 1(電壓、電流關(guān)系：0)() 1() 12()2(kaukuakau代入整理得：二、系統(tǒng)的框圖表示二、系統(tǒng)的框圖表示除了可以用數(shù)學(xué)模型來描述系統(tǒng)外，還可用框除了可以用數(shù)學(xué)模型來描述系統(tǒng)外，還可用框圖表示系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)運算關(guān)系。圖表示系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)運算關(guān)系。用框圖表示的系統(tǒng)更注重系統(tǒng)的功能，即輸入用框圖表示的系統(tǒng)更注重系統(tǒng)的功能，即輸入輸出的關(guān)系。輸出的關(guān)系。一個框圖可以表示一個具有某種功能的部件，一個框圖可以表示一個具有某種功能的部件，也

30、可表示一個子系統(tǒng)。也可表示一個子系統(tǒng)。表示系統(tǒng)功能的常用基本單元：表示系統(tǒng)功能的常用基本單元：積分器積分器 tf tdxxfty 1f 2f 21ff加法器加法器a f fa數(shù)乘器數(shù)乘器D kf 1 kfky遲延單元遲延單元T tf Ttfty 延時器延時器例例1：某連續(xù)系統(tǒng)框圖如圖示，寫出該系統(tǒng)的微分：某連續(xù)系統(tǒng)框圖如圖示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。方程。 a0a1+ tf ty ty ty 左邊加法器的輸出：左邊加法器的輸出： tftyatyaty 01整理后得：整理后得： tftyatyaty 01例例2：某連續(xù)系統(tǒng)如圖示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。：某連續(xù)系統(tǒng)如圖示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。a0

31、a1 + tf tyb1b2b0+ tx tx tx )()()()(01txatxatftx ) 1 ()()()()(01tftxatxatx )2()()()()() 1 ()()()()(01201txbtxbtxbtytftxatxatx )()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty 例例3：離散系統(tǒng)如圖示，求該系統(tǒng)的差分方程。：離散系統(tǒng)如圖示，求該系統(tǒng)的差分方程。a0a1D+ kf kyb2b0+D kx 1 kx 2 kx)()2() 1()(01kfkxakxakx) 1 ()()2() 1()(01kfkxakxakx)2()2()()() 1 ()(

32、)2() 1()(0201kxbkxbkykfkxakxakx)2()()2() 1()(0201kfbkfbkyakyaky列寫系統(tǒng)微分或差分方程的一般步驟：列寫系統(tǒng)微分或差分方程的一般步驟：(1) 選取中間變量選取中間變量。對連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)其最右端積。對連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)其最右端積分器輸出為分器輸出為x(t)；對離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端遲延；對離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端遲延單元的輸入為單元的輸入為x(k)。(2) 寫出左右加法器輸出信號的方程寫出左右加法器輸出信號的方程；(3) 用輸出信號及其各階導(dǎo)數(shù)（差分）去用輸出信號及其各階導(dǎo)數(shù)（差分）去代替代替左左邊加法器輸出信號方程的邊加法器輸出信號方程的中間變量中

33、間變量和其各階導(dǎo)數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)（差分）；用輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)（差分）去（差分）；用輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)（差分）去代替右邊加法器輸出信號方程的中間變量和其各代替右邊加法器輸出信號方程的中間變量和其各階導(dǎo)數(shù)（差分）。階導(dǎo)數(shù)（差分）。1.6 1.6 系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)連續(xù)或離散的動態(tài)系統(tǒng)，按其基本特性可分為連續(xù)或離散的動態(tài)系統(tǒng)，按其基本特性可分為線性的與非線性的；時變的與非時變的；因果線性的與非線性的；時變的與非時變的；因果的與非因果的等等。本節(jié)將主要討論這三種性的與非因果的等等。本節(jié)將主要討論這三種性質(zhì)。質(zhì)。一、線性一、線性系統(tǒng)的激勵系統(tǒng)的激勵 f()和響應(yīng)和響應(yīng) y()之間的關(guān)系可記為：之間

34、的關(guān)系可記為： fTy其中其中T為算子，表示對激勵為算子，表示對激勵 f 所作的變換；所作的變換；系統(tǒng)的線性包含系統(tǒng)的線性包含齊次性齊次性和和可加性可加性： 齊次性：齊次性： fTfT 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?yf若若 yf 則則 可加性：可加性：若若 11yf 22yf則則 2121yyff如果某系統(tǒng)既滿足齊次性又滿足可加性，則此系如果某系統(tǒng)既滿足齊次性又滿足可加性，則此系統(tǒng)即為一個線性系統(tǒng)?？捎萌缦路椒ㄅ袛啵航y(tǒng)即為一個線性系統(tǒng)?？捎萌缦路椒ㄅ袛啵喝羧?11yf 22112211yyff 22yf有有則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。對于我們所討論的動態(tài)系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的響應(yīng)與對于我們所討論的

35、動態(tài)系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的響應(yīng)與過去的歷史激勵有關(guān)。因此在某一時刻，系統(tǒng)的過去的歷史激勵有關(guān)。因此在某一時刻，系統(tǒng)的輸出不僅取決于當(dāng)前時刻的輸入，而且還取決于輸出不僅取決于當(dāng)前時刻的輸入，而且還取決于該系統(tǒng)的初始狀態(tài)。該系統(tǒng)的初始狀態(tài)。系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)可以用系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)可以用x(0)表示，許多情表示，許多情況下，系統(tǒng)響應(yīng)不止由一個初始狀態(tài)決定。如果況下，系統(tǒng)響應(yīng)不止由一個初始狀態(tài)決定。如果有多個初始狀態(tài)，可記為：有多個初始狀態(tài)，可記為：x1(0),x2(0),xn(0)，簡記為簡記為x(0)。這樣，動態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)就完全由系統(tǒng)的初始狀態(tài)這樣，動態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)就完全由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和當(dāng)前的輸入

36、激勵所決定和當(dāng)前的輸入激勵所決定。如果我們所討論的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，那么可以把如果我們所討論的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，那么可以把系統(tǒng)的初始狀態(tài)與當(dāng)前時刻的輸入看成是兩種激系統(tǒng)的初始狀態(tài)與當(dāng)前時刻的輸入看成是兩種激勵（即把初始狀態(tài)也看成一個激勵），那么根據(jù)勵（即把初始狀態(tài)也看成一個激勵），那么根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：線性系統(tǒng)的可加性：設(shè)當(dāng)輸入激勵為設(shè)當(dāng)輸入激勵為0時，系統(tǒng)僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)：時，系統(tǒng)僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)： xyx 0零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) fytf零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為0時，系統(tǒng)僅由當(dāng)前輸入引起時，系統(tǒng)僅由當(dāng)前輸入引起的響應(yīng)：的響應(yīng)：那么，當(dāng)線性系統(tǒng)的初始狀

37、態(tài)不為零，當(dāng)前又有那么，當(dāng)線性系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，當(dāng)前又有輸入激勵的情況下，其總響應(yīng)就是：輸入激勵的情況下，其總響應(yīng)就是： fxyyy同理，如果一個線性系統(tǒng)有多個初始狀態(tài)，其總的同理，如果一個線性系統(tǒng)有多個初始狀態(tài)，其總的零輸入響應(yīng)應(yīng)為各個初始狀態(tài)對應(yīng)的零輸入響應(yīng)之零輸入響應(yīng)應(yīng)為各個初始狀態(tài)對應(yīng)的零輸入響應(yīng)之和，稱為和，稱為零輸入線性零輸入線性；如果一個線性系統(tǒng)有多個不同的輸入激勵，其總?cè)绻粋€線性系統(tǒng)有多個不同的輸入激勵，其總的零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)為各個激勵對應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)之的零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)為各個激勵對應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)之和，稱為和，稱為零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性。如何證明一個系統(tǒng)是線性的？如何證明一個系統(tǒng)是

38、線性的？再分別計算：再分別計算： tftf2211 (1)當(dāng)輸入激勵為當(dāng)輸入激勵為時，系統(tǒng)的輸出，時，系統(tǒng)的輸出，即即 tftfT2211 (2)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的線性組合，即系統(tǒng)輸出響應(yīng)的線性組合，即 tyty2211 先假設(shè)：先假設(shè)： tytf11 tytf22及及若若(1)=(2)，則該系統(tǒng)是線性的。，則該系統(tǒng)是線性的。例：判斷下列系統(tǒng)是否是線性的？例：判斷下列系統(tǒng)是否是線性的？該系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為兩部分：該系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為兩部分： 0axtyx dfbtytf 0若若yx(t)與與yf(t)是線性的，則是線性的，則y(t)=yx(t)+yf(t)必定是線性系統(tǒng)。必定是線性系統(tǒng)。 df

39、baxtyt 00(1)0 t 0axtyx 是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。要判斷要判斷yx(t)是否是線性系統(tǒng)，可以看該系統(tǒng)是否是否是線性系統(tǒng)，可以看該系統(tǒng)是否滿足零輸入線性。滿足零輸入線性。設(shè)設(shè) tyxx110 tyxx220 002211xx T 002211xxa 又因為：又因為： 0022112211axaxtytyxx (1)(2)(1)=(2)，所以，所以yx(t)滿足零輸入線性。滿足零輸入線性。是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。要判斷要判斷yf(t)是否是線性系統(tǒng)，可以看該系統(tǒng)是否是否是線性系統(tǒng)，可以看該系統(tǒng)是否滿足零狀態(tài)線性。滿足零狀態(tài)線性。設(shè)設(shè) tytff

40、11 tytff 22 tftf2211 T dffbt 02211 dfbdfbtt 022011 tytyff2211 yf(t)滿足零狀態(tài)線性。滿足零狀態(tài)線性。此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 dfbtytf 0 0 t該系統(tǒng)也可分解為兩部分：該系統(tǒng)也可分解為兩部分： 0 xakykx kfbkyf 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) kfbxakyk 00 k(2) 0 xakykx kyxx110 kyxx220 002211xx T 002211xxak 002211xaxakk kykyxx2211 所以所以yx(k)滿足零輸入線性。滿足零輸入線性。判斷零輸入線性：判斷

41、零輸入線性： kfbkyf 0 k kykff 11設(shè)設(shè) kykff 22 kfkf2211 T kfkfb2211 kykyff2211 而而 kfbkfb2211 yf(k)不滿足零狀態(tài)線性。不滿足零狀態(tài)線性。因此，該系統(tǒng)非線性系統(tǒng)。因此，該系統(tǒng)非線性系統(tǒng)。判斷零狀態(tài)線性：判斷零狀態(tài)線性：二、時不變性二、時不變性如果系統(tǒng)中各部件的參數(shù)都為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)如果系統(tǒng)中各部件的參數(shù)都為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。為時不變系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。對于時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)對某個激勵的響應(yīng)不對于時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)對某個激勵的響應(yīng)不會隨該激勵輸入系統(tǒng)的時間而改變。即：會隨該激勵輸入

42、系統(tǒng)的時間而改變。即：若若 tytf有有 00ttyttf 本書只討論時不變的線性系統(tǒng)本書只討論時不變的線性系統(tǒng)。3時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與輸入激勵的關(guān)系不隨輸入激勵作用于系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與輸入激勵的關(guān)系不隨輸入激勵作用于系統(tǒng)的時間起點而改變，就稱為系統(tǒng)的時間起點而改變，就稱為時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)。否則，就稱。否則，就稱為時變系統(tǒng)。為時變系統(tǒng)。認(rèn)識認(rèn)識: :電路分析上看電路分析上看: :元件的參數(shù)值是否隨時間而變元件的參數(shù)值是否隨時間而變 從方程看從方程看: :系數(shù)是否隨時間而變系數(shù)是否隨時間而變從輸入輸出關(guān)系看從輸入輸出關(guān)系看: :時不變特性T 如何判斷一個系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)？

43、如何判斷一個系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)？設(shè)設(shè) tytf判斷判斷 0ttf ？ 0tty 判斷前述兩小題是否為時不變系統(tǒng)？判斷前述兩小題是否為時不變系統(tǒng)？ dfbaxtyt 00(1)0 t對于該系統(tǒng)來說，不管激勵何時加入，零輸入響對于該系統(tǒng)來說，不管激勵何時加入，零輸入響應(yīng)應(yīng)yx(t)=ax(0)不會改變，只要考慮零狀態(tài)響應(yīng)不會改變，只要考慮零狀態(tài)響應(yīng)是否是時不變的。是否是時不變的。即當(dāng)激勵即當(dāng)激勵f(t)延遲時間延遲時間t0接入到系統(tǒng)時，其零狀接入到系統(tǒng)時，其零狀態(tài)響應(yīng)是否為態(tài)響應(yīng)是否為yf(t-t0)。 0ttf T dtfbt 00令令x=-t0， dx=d =0時，時，x=-t0； =t時，時，x=t-t0上式上式 dxxfbttt 00 dxxfbtt 00而而 dfbttyttf 000該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。三、因果性三、因果性因果系統(tǒng)是指響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵之前的系統(tǒng)。即：因果系統(tǒng)是指響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵之前的系統(tǒng)。即：對于系統(tǒng)：對于系統(tǒng)： fyf若若tt0或或kk0時，時，f()=0則則tt0或或kk0時，時，yf()=0以時間為自變量