方向?qū)?shù)與梯度

1、第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度要求：了解方向?qū)?shù)與梯度的概念，會計算方向?qū)?shù)與梯度方法。重點：方向?qū)?shù)與梯度的計算。難點：梯度的幾何意義，方向?qū)?shù)與梯度的聯(lián)系。作業(yè)：習題87（）一方向?qū)?shù)問題提出：在許多實際問題中，常常需要知道函數(shù)在點沿任意方向或某個方向的變化率例如預報某地的風向和風力就必須知道氣壓在該處沿著哪個方向的變化率，在數(shù)學上就是多元函數(shù)在一點沿給定方向的方向?qū)?shù)問題1方向?qū)?shù)定義設函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，自點引有向直線，軸正向與直線夾角為，在上任取一點，若沿著趨近于時，即當時，極限 存在則稱此極限值為函數(shù)在點沿著方向的方向?qū)?shù)記作說明（1）規(guī)定逆時針方向旋轉(zhuǎn)生成的角是正角，順時針方向旋

2、轉(zhuǎn)生成的角是負角；2方向?qū)?shù)的計算定理 若函數(shù)在點可微分，那么函數(shù)在點沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且有計算公式 其中為軸到方向的轉(zhuǎn)角，是與同方向的單位向量證明：因為函數(shù)在點可微分，所以有 ，上式兩邊同除以，得 ，則 例1求函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向?qū)?shù)解 這里方向即向量的方向，因此軸到方向的轉(zhuǎn)角,又因為，所以在點處， 于是方向?qū)?shù)為另一方法例2. 設由原點到點的向徑為，軸到的轉(zhuǎn)角為，軸到射線的轉(zhuǎn)角為，求，其中 解 因為，所以，討論：當時，,即沿著向徑本身方向的方向?qū)?shù)為1, 當時，,即沿著與向徑垂直的方向?qū)?shù)為零3三元函數(shù)的方向?qū)?shù)三元函數(shù)在空間一點沿方向(設方向的方向角為)的方向?qū)?shù)，

3、同樣定義為 其中，若函數(shù)在點可微分，則在該點方向?qū)?shù)計算公式為 其中是與同方向的單位向量例3求函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向?qū)?shù)解 因為，所以，而且，于是 ，從而 二梯度1梯度定義設函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點都可確定出一個向量，這個向量稱為函數(shù)在點的梯度，記作 2梯度與方向?qū)?shù)關系設是與同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計算公式得 可見，方向?qū)?shù)就是梯度在方向上的投影當方向與梯度方向一致時，有，從而方向?qū)?shù)有最大值，所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達到最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù)在這點增長最快的方向 結(jié)論：函數(shù)在某點的梯度方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)

4、的最大值，即 3梯度的計算梯度的模為 ，梯度方向為 當時，軸到梯度轉(zhuǎn)角的正切4梯度的幾何意義曲面被平面所截得曲線的方程為 這條曲線在面上的投影是一條平面曲線，它在平面上的直角坐標方程為 對于曲線上一切點，對應的函數(shù)值都是，所以稱曲線為函數(shù)的等高線，等高線上任一點處法線斜率為， 梯度為等高線上點處的法向量梯度與等高線關系：函數(shù)在點的梯度的方向與過點的等高線在該點的法線方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)，這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向5三元函數(shù)的梯度等高線對應等量面例3求解 因為，所以，于是例4設，求解 因為，所以 6.數(shù)量場與向量場 如果對于空間區(qū)域內(nèi)的任一點，都有一個確定的數(shù)量，則稱在這空間區(qū)域內(nèi)確定了一個數(shù)量場，一個數(shù)量場可由一個數(shù)量函數(shù)來確定，如果與點