新人民教育出版版數(shù)學(xué)必修二1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程示范教案

1、第四章 圓與方程本章教材分析 上一章,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與方程,知道在直角坐標(biāo)系中,直線可以用方程表示,通過方程,可以研究直線間的位置關(guān)系、直線與直線的交點坐標(biāo)、點到直線的距離等問題,對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了初步體驗.本章將在上章學(xué)習(xí)了直線與方程的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程,運用代數(shù)方法研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,了解空間直角坐標(biāo)系,以便為今后的坐標(biāo)法研究空間的幾何對象奠定基礎(chǔ),這些知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線方程、導(dǎo)數(shù)和微積分的基礎(chǔ),在這個過程中進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力. 通過方程,研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的重點內(nèi)容之

2、一,坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法,而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法,通過坐標(biāo)系把點和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來,實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一,因此在教學(xué)過程中,要始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想,不怕反復(fù).用坐標(biāo)法解決幾何問題時,先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點、直線、圓;然后對坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)運算;最后把運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是坐標(biāo)法解決幾何問題的三步曲.坐標(biāo)法還可以與平面幾何中的綜合方法、向量方法建立聯(lián)系,同時可以推廣到空間,解決立體幾何問題.本章教學(xué)時間約需9課時,具體分配如下(僅供參考):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1課時圓的一般方程1課時直線與圓的位置關(guān)系2課時圓與圓的位置關(guān)系2

3、課時空間直角坐標(biāo)系1課時空間兩點間的距離公式1課時本章復(fù)習(xí)1課時4.1 圓的方程 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程整體設(shè)計教學(xué)分析 在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識,本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步運用解析法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用.同時,由于圓也是特殊的圓錐曲線,因此,學(xué)習(xí)了圓的方程,就為后面學(xué)習(xí)其他圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說,本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用,具有重要的地位,在許多實際問題中也有著廣泛的應(yīng)用.由于“圓的方程”一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性,對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學(xué)生的主體意識,教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造,同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

4、,本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”型教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,所謂“引導(dǎo)探究”是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為若干問題,從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究的課堂教學(xué)模式,教師在教學(xué)過程中,主要著眼于“引”,啟發(fā)學(xué)生“探”,把“引”和“探”有機的結(jié)合起來.教師的每項教學(xué)措施,都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境,一種動腦、動手、動口并主動參與的學(xué)習(xí)機會,激發(fā)學(xué)生的求知欲,促使學(xué)生解決問題.三維目標(biāo)1.使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心、半徑,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想,注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.2.會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通

5、過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問題的學(xué)習(xí),形成代數(shù)方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣,培養(yǎng)學(xué)生分析、概括的思維能力.3.理解掌握圓的切線的求法.包括已知切點求切線,從圓外一點引切線,已知切線斜率求切線等.把握運動變化原則,培養(yǎng)學(xué)生樹立相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點,欣賞和體驗圓的對稱性,感受數(shù)學(xué)美.重點難點教學(xué)重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點的明確.教學(xué)難點:會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.課前準(zhǔn)備：(用淀粉在一張白紙上畫上海和山)說明:在白紙上要表演的是一個小魔術(shù),名稱是日出,所以還缺少一個太陽,請學(xué)

6、生幫助在白紙上畫出太陽.要求其他學(xué)生在自己的腦海里也構(gòu)畫出自己的太陽.課堂估計：一種是非尺規(guī)作圖(指出數(shù)學(xué)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性)；一種作出后有同學(xué)覺得不夠美(點評:其實每個人心中都有一個自己的太陽,每個人都有自己的審美觀點).然后上升到數(shù)學(xué)層次：不同的圓心和半徑對應(yīng)著不同的圓,進(jìn)而對應(yīng)著不同的圓的方程.從用圓規(guī)作圖復(fù)習(xí)初中所學(xué)圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡.那么在給定圓心和半徑的基礎(chǔ)上,結(jié)合我們前面所學(xué)的直線方程的求解,應(yīng)該如何建立圓的方程？教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思路2.同學(xué)們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容

7、,教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.推進(jìn)新課新知探究提出問題已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離?具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？圖1我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么?如果已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程?圓的方程形式有什么特點？當(dāng)圓心在原點時,圓的方程是什么？討論結(jié)果：根據(jù)兩點之間的距離公式,得|AB|=,|CD|=.平面內(nèi)與一定點距離等于定

8、長的點的軌跡稱為圓,定點是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓).圓心C是定點,圓周上的點M是動點,它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小.確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了.確定圓的基本條件是圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r0).設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點,那么點M滿足的條件是(引導(dǎo)學(xué)生自己列出)P=M|MA|=r,由兩點間的距離公式讓學(xué)生寫出點M適合的條件=r.將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若點M(x,y

9、)在圓上,由上述討論可知,點M的坐標(biāo)滿足方程,反之若點M的坐標(biāo)滿足方程,這就說明點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這是二元二次方程,展開后沒有xy項,括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑.當(dāng)圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2.提出問題根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說明確定圓的方程的條件是什么?確定圓的方程的方法和步驟是什么?坐標(biāo)平面內(nèi)的點與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷?討論結(jié)果：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r0,

10、這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需三個獨立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件.確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為：1°根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2=r2；2°根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組；3°解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程.點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系的判斷方法：當(dāng)點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標(biāo)滿足方程(

11、x-a)2+(y-b)2=r2.當(dāng)點M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標(biāo)不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為:1°點到圓心的距離大于半徑,點在圓外(x0-a)2+(y0-b)2r2,點在圓外;2°點到圓心的距離等于半徑,點在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上;3°點到圓心的距離小于半徑,點在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2r2,點在圓內(nèi).應(yīng)用示例思路1例1 寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心在原點,半徑是3；圓心在點C(3,4),半徑是;(3)經(jīng)過點P(5,1),圓心

12、在點C(8,-3)；(4)圓心在點C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圓心在原點,半徑是3,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.(2)由于圓心在點C(3,4),半徑是5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圓的半徑r=|CP|=5,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因為圓經(jīng)過點P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=

13、25. 這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定.(4)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=.點評：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上.解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把點M1(5,-7),M2(-,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2

14、=25,則M1的坐標(biāo)滿足方程,M1在圓上.M2的坐標(biāo)不滿足方程,M2不在圓上.點評:本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后給一個點,判斷該點與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想,根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看在不在圓上從代數(shù)到幾何.例3 ABC的三個頂點的坐標(biāo)是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法.解法一:設(shè)所

15、求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上,它們的坐標(biāo)都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解此方程組得所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:線段AB的中點坐標(biāo)為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6). 同理線段AC的中點坐標(biāo)為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5). 解由組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=5,所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=2

16、5.點評:ABC外接圓的圓心是ABC的外心,它是ABC三邊的垂直平分線的交點,它到三頂點的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路.思路2例1 圖2是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長度(精確到0.01 m).圖2解:建立坐標(biāo)系如圖,圓心在y軸上,由題意得P(0,4),B(10,0).設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=r2,因為點P(0,4)和B(10,0)在圓上,所以解得所以這個圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.設(shè)點P2(-2,y0),由題意y00,代入圓方程得(-2)2+

17、(y0+10.5)2=14.52,解得y0=-10.514.36-10.5=3.86(m).答：支柱A2P2的長度約為3.86 m.例2 求與圓x2+y2-2x=0外切,且與直線x+y=0相切于點(3,-)的圓的方程.活動:學(xué)生審題,注意題目的特點,教師引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)知識和初中學(xué)過的幾何知識解題.首先利用配方法,把已知圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組,求出參數(shù),得到所求的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1.因為兩圓外切,所以圓心距等于兩圓半徑之和,即=r+1, 由圓與直線x+y=0相切

18、于點(3,-),得解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.點評:一般情況下,如果已知圓心(或易于求出)或圓心到某一直線的距離(或易于求出),可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解,用待定系數(shù)法,求出圓心坐標(biāo)和半徑.變式訓(xùn)練 一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程.解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+2).則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2.因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上,所以解得所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.解法二：由題意：圓的弦OP的斜率

19、為3,中點坐標(biāo)為(,),所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0.因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上,所以由解得,即圓心坐標(biāo)為C(-,).又因為圓的半徑r=|OC|=,所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.點評:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有a、b、r三個量,要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法.(2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用.例3 求下列圓的方程:(1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1).(2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22.解:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a

20、),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑r=.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=2.(2)設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d=.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4.點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān),故都利用了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解,此外平面幾何的性質(zhì)的應(yīng)用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決.知

21、能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2.拓展提升1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程.活動:學(xué)生思考交流,教師提示引導(dǎo),求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法.解:首先兩平行線的距離d=2,所以半徑為r=1.方法一：設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.方法二：解方程組因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.點評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系,把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理.