數(shù)列極限例題_第1頁
數(shù)列極限例題_第2頁
數(shù)列極限例題_第3頁
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文檔簡介

1、三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時的變化趨勢. 問題: 當(dāng)無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定?通過上面演示實驗的觀察:當(dāng)無限增大時, 無限接近于1. 問題: “無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它. 給定 由 只要時, 有給定只要時, 有給定只要時, 有給定只要時, 有成立. 定義 如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小), 總存在正整數(shù), 使得對于時的一切, 不等式都成立, 那末就稱常數(shù)是數(shù)列的極限, 或者稱數(shù)列收斂于, 記為 或如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. 注意：定義 使時, 恒有其中記號每一個或任給的; 至少有一個或存在. 數(shù)列收斂的幾何解釋:當(dāng)時, 所

2、有的點都落在內(nèi), 只有有限個(至多只有個)落在其外. 注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法. 例1 證明證 注意到 .任給 若要 只要或 所以, 取 則當(dāng)時, 就有.即 重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的給出限制； （2）邏輯“取 則當(dāng)時, 就有”的詳細推理見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理. 由于，所以當(dāng)時一定成立，即得成立. 嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給 不妨取， 若要=e ,只要 所以, 取 則當(dāng)時, 由于，所以當(dāng)時一定成立，即得成立. 也就是成立=.即小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定尋找N, 但不必要求最小的N. 例3證明, 其中. 證 任給

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