數(shù)學(xué)建模比賽論文

1、2010年湖南大學(xué)冬季數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了2010年湖南大學(xué)冬季數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。參賽隊(duì)員 (簽名) ：隊(duì)員1：姓名 學(xué)院 專業(yè)年級(jí)隊(duì)員2：姓名 學(xué)院 專業(yè)年級(jí) 湖南大學(xué)數(shù)模指導(dǎo)組湖

2、南大學(xué)數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)2010年湖南大學(xué)冬季數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目： 沿“海上絲綢之路”飛行 摘 要 該題目通過(guò)計(jì)算使用現(xiàn)代的交通工具單程航行所需要的時(shí)間與古代著名的航船路線所需要的時(shí)間相比較，強(qiáng)烈突出了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展以及對(duì)人類生活的重大影響。同時(shí)假設(shè)（1）與假設(shè)（2）分別是兩種情況下的的不同運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)題目類型的多樣化，可以在相同的條件下演變出來(lái)多種數(shù)學(xué)模型，正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的意義所在。同時(shí)，由于本題目是在假設(shè)前提條件下進(jìn)行的模型建立，所以忽略了很多實(shí)際情況下的因素，如風(fēng)速等天氣情況對(duì)飛行速度的影響，比較符合物理方面的實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)，在一些實(shí)際上并不成立的前提條件下進(jìn)行問(wèn)題的解決、假設(shè)（1）主

3、要是假設(shè)地球是一個(gè)平均半徑為定值的球體，這樣相對(duì)于假設(shè)（2）地球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體而言，在分析問(wèn)題及尋求解決問(wèn)題的過(guò)程中簡(jiǎn)化了一些不必要的因素，運(yùn)算的過(guò)程也相對(duì)簡(jiǎn)單一些。因此，對(duì)于假設(shè)（1）我們首先建立一個(gè)球體的模型，將思考問(wèn)題的方向放在了一個(gè)三維的立體空間，正因?yàn)槿S立體的球體是較為熟悉的模型，所以在解決問(wèn)題的過(guò)程中，思維也相對(duì)而言明朗化一些，所以可以利用相關(guān)的信息和工具計(jì)算出在飛行高度固定的前提下所需要的飛行時(shí)間。假設(shè)（2）的解決方法是在假設(shè)（1）的前提下，建立橢球體的模型，將較為復(fù)雜化的空間問(wèn)題簡(jiǎn)化，找到有效地解決方法，從而使用與假設(shè)（1）類似的計(jì)算方法得出飛行時(shí)間。最后，將得出兩種假設(shè)情

4、況下的飛行時(shí)間進(jìn)行比較分析，并通過(guò)改變飛機(jī)飛行的高度，建立簡(jiǎn)單直觀的線性圖表現(xiàn)出飛行時(shí)間與飛行高度的關(guān)系，達(dá)到建立數(shù)學(xué)模型并解決問(wèn)題的目的。關(guān)鍵字：假設(shè) 空間模型 球體 時(shí)間 對(duì)比 經(jīng)度緯度一、 問(wèn)題的提出瑞典是北歐一個(gè)神秘的國(guó)度，它位于斯堪的納維亞半島，西鄰挪威，東北與芬蘭接壤, 瀕臨波羅的海和卡特加特海峽。瑞典人口稀少，國(guó)土大部分為森林和山地。中國(guó)和瑞典的貿(mào)易往來(lái)有著悠久的歷史。例如當(dāng)時(shí)瑞典著名的一艘遠(yuǎn)洋商船 “哥德堡號(hào)” 在1739年1月至1745年9月短短的幾年間就曾三次遠(yuǎn)航中國(guó)廣州，購(gòu)回了大批中國(guó)的茶葉、瓷器、絲綢和藤器等，促進(jìn)了兩國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、文化的接觸和交流?！案绲卤ぬ?hào)” 當(dāng)年的

5、航線為：瑞典哥德堡西班牙加迪斯巴西累西腓南非開(kāi)普敦澳大利亞弗里曼特爾印度尼西亞雅加達(dá)中國(guó)廣州，被人們稱為 “海上絲綢之路”。由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有開(kāi)通蘇伊士運(yùn)河，這條從北歐到中國(guó)的海上航線，必須繞道非洲南部，加上當(dāng)時(shí)的遠(yuǎn)洋商船只能選擇順風(fēng)航行的路線，因此從瑞典到中國(guó)的一次單程就要花費(fèi)2年多的時(shí)間。假如我們現(xiàn)在乘飛機(jī)重走 “海上絲綢之路”，沿“哥德堡號(hào)” 當(dāng)年航線經(jīng)過(guò)的各城市直飛。已知目前的飛機(jī)飛行高度約為10千米，飛行速度約為850千米/小時(shí)。試就下列兩種情形建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算一次單程飛行需要的時(shí)間， (1) 假設(shè)地球是平均半徑為6371千米的一個(gè)球體；(2) 假設(shè)地球是赤道半徑為6378千米、極地半徑

6、為6357千米、扁率約為1/298的一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體。若飛行高度發(fā)生變化，試就上面兩種情形討論飛行時(shí)間和飛行高度的關(guān)系。二、問(wèn)題的分析由根據(jù)題意得出，飛機(jī)是在“哥德堡號(hào)”當(dāng)年經(jīng)過(guò)的各城市間勻速飛行，對(duì)于速度、高度均是已知，同時(shí)同過(guò)選擇使用物理學(xué)中的公式，可計(jì)算并得出路程與時(shí)間及速度的關(guān)系，因此若通過(guò)建立模型得到飛機(jī)飛行的全部路程，問(wèn)題即可解決。在假設(shè)（1）中建立的模型是一個(gè)球體，該球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的三維立體空間直角坐標(biāo)系中，并且建立的這個(gè)三維立體空間直角坐標(biāo)系符合右手螺旋定則。假設(shè)（2）中建立的模型是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體，其三維

7、立體空間直角坐標(biāo)系的建立與假設(shè)（1）中的是相同的，該旋轉(zhuǎn)橢球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的空間直角坐標(biāo)系中，同樣也是符合右手螺旋定則。二、 模型的假設(shè)1、有地球半徑的定義可得是指從地球中心到其表面（平均海平面）的距離，所以假設(shè)平均海平面的位置沒(méi)有受到潮汐等自然或地質(zhì)變化的影響，海平面位置不發(fā)生變化。2、 假設(shè)飛機(jī)飛行過(guò)程中沒(méi)有受到途中經(jīng)過(guò)建筑物或海平面位置變化的影響，飛行高度始終為題目中所提供的定值。3、 忽略飛機(jī)飛行過(guò)程中天氣變化所引起的飛行速度的改變，假設(shè)飛行速度始終為題目中所題目的數(shù)據(jù)。4、 因?yàn)樵凇案绲卤ぬ?hào)”航線中，船航行所經(jīng)

8、過(guò)的每一個(gè)地點(diǎn)都是需要奸細(xì)間歇的，所以飛機(jī)在各個(gè)間歇點(diǎn)起飛、降落的時(shí)間忽略不計(jì)。5、 “哥德堡號(hào)”航線中各個(gè)城市都看做一個(gè)點(diǎn)，忽略其地區(qū)占地面積對(duì)路線計(jì)算帶來(lái)的影響，僅用經(jīng)緯度值表示其位置。6、 假設(shè)（1）中地球是一個(gè)規(guī)則球體，不受運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所發(fā)生變化的影響。7、 假設(shè)(2)中地球是一個(gè)規(guī)則旋轉(zhuǎn)橢球體，同樣不受運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生變化的影響。8、 假設(shè)（2）中相關(guān)數(shù)據(jù)與事實(shí)相符，忽略其他物質(zhì)所引起的變化。四、模型的建立所有數(shù)學(xué)符號(hào)代表的含義：S(A,B):城市A,B之間的飛行距離；T(A,B):飛機(jī)在城市A,B間飛行的時(shí)間；V:飛機(jī)飛行速度；R（1）:地球的平均半徑；R（2）:地球的赤道半徑；R（1

9、）:地球的極地半徑；h:飛機(jī)飛行的高度；X(A):城市A的X坐標(biāo)；Y(A):城市A的Y坐標(biāo)；Z(A):城市A的Z坐標(biāo)；TT:飛行總所需要的總時(shí)間；A(i):第i個(gè)城市(i=1,2,3,6,7),依次代表瑞典歌德堡，西班牙加迪斯，巴西累西腓，南非開(kāi)普敦，澳大利亞福里曼特爾，印度尼西亞雅加達(dá)，中國(guó)廣州；OA*OB:向量OA與向量OB外積；|OA|:向量OA的模；(i,i+1)：第i個(gè)城市與地心的連線和第i+1個(gè)城市與地心的連線的夾角(單位是弧度)；JD(A):城市A的經(jīng)度；WD(A):城市A的緯度；H(A):城市A的高度；F(A,B):城市A,B間飛行路線的函數(shù)關(guān)系；兩種假設(shè)都適合使用的計(jì)算公式：

10、 S=V·T；兩種假設(shè)的解題思路過(guò)程：（1） 通過(guò)各城市的經(jīng)緯度以及高度得出各城市的三維坐標(biāo)；（2） 通過(guò)三維坐標(biāo)計(jì)算出F(A(i),A(i+1)；（3） 通過(guò)F(A(i),A(i+1)求出S (A(i),A(i+1)；注：各城市經(jīng)緯度數(shù)據(jù)如下：附錄：各地點(diǎn)的經(jīng)緯度瑞典哥德堡：西班牙加迪斯：巴西累西腓：南非開(kāi)普敦：澳大利亞弗里曼特爾：印度已西亞雅加達(dá)：中國(guó)廣州：五、模型的解法與結(jié)果1、在假設(shè)（1）中建立的模型是一個(gè)球體，該球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的三維立體空間直角坐標(biāo)系中，并且建立的這個(gè)三維立體空間直角坐標(biāo)系符合右手螺

11、旋定則。城市經(jīng)度、緯度和高度與城市的三維坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：X(i)=(R+h)*cos(WD(i)*cos(JD(i); *(*1)Y(i)=(R+h)* cos(WD(i)*sin(JD(i); *(*2)Z(i)=(R+h)*sin(JD(i); *(*3)三維坐標(biāo)的計(jì)算結(jié)果及計(jì)算機(jī)算法如下：計(jì)算的代碼部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float a,b,c,x,y,z; cin>>a>>b>>c; x=a*cos(b)*cos(c); y

12、=a*cos(b)*sin(c); z=a*sin(b); cout<<" x= "<<x<< " y= "<<y<<" z= "<<z<<endl; system("pause"); return 0; 計(jì)算的三維坐標(biāo)的具體數(shù)據(jù)：瑞典哥德堡： 西班牙加迪斯： 巴西累西腓：南非開(kāi)普敦： 澳大利亞弗里奧特爾： 印度尼西亞雅加達(dá)：中國(guó)廣州：路程、速度和時(shí)間之間的遞推關(guān)系：OA*OB=ijkX(i)Y(i)Z(i)X(i+1)Y(i+1)

13、Z(i+1) *（1）sin(i,i+1)=2|OAOB|OA|OB| *(2)S(i,i+1)=(R+h)* (i,i+1) *(3)T(i,i+1)= S(i,i+1)V *(4)計(jì)算過(guò)程的詳細(xì)步驟： OA*OB=ijkX(i)Y(i)Z(i)X(i+1)Y(i+1)Z(i+1) =( Y(i)Z(i+1)-Y(i+1)Z(i),Z(i)X(i+1)-Z(i+1)X(i),X(i)Y(i+1)-X(i+1)Y(i)*(5)ð |OA*OB| 2YiZi+1Yi+1Zi2+Z(i)X(i+1)Z(i+1)X(i)2+X(i)Y(i+1)X(i+1)Y(i)2 *(6)ð

14、i,i+1=sin12|OAOB|OA|OB| *(7)計(jì)算過(guò)程的代碼部分：瑞典歌德堡到西班牙加迪斯：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(

15、cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"瑞典哥德堡和西班牙加迪斯之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"瑞典哥德堡與地心的連線和西班牙加迪斯與地心的連線

16、的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"瑞典哥德堡和西班牙加迪斯之間時(shí)間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 西班牙加迪斯到巴西累西腓部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; fl

17、oat a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"西班牙加迪斯和巴西累西腓之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(

18、b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"巴西累西腓與地心的連線和西班牙加迪斯與地心的連線的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"西班牙加迪斯和巴西累西腓之間時(shí)間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause&qu

19、ot;); return 0; 巴西累西腓到南非開(kāi)普敦部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1)

20、; a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"巴西累西腓和南非開(kāi)普敦之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"巴西累西腓與地心的連線和南非開(kāi)普敦與地心的連線的夾角是= "<<asi

21、n(hh) <<"°"<<endl; cout<<"巴西累西腓和南非開(kāi)普敦之間時(shí)間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 南非開(kāi)普敦到澳大利亞里弗奧特爾部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2

22、; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"南非開(kāi)普敦到澳大利亞里弗奧特爾之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c

23、1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"南非開(kāi)普敦與地心的連線和澳大利亞弗里曼特爾與地心的連線的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"南非開(kāi)普敦到澳大利亞里弗奧特爾之間時(shí)間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return

24、 0; 澳大利亞弗里曼特爾到印度尼西亞雅加達(dá)部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=

25、aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"澳大利亞弗里曼特爾到印度尼西亞雅加達(dá)之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"澳大利亞弗里曼特爾與地心的連線和印度尼西亞雅加達(dá)與地心的連線的夾角是= "&l

26、t;<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"澳大利亞弗里曼特爾到印度尼西亞雅加達(dá)之間時(shí)間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 印度尼西亞雅加達(dá)到中國(guó)廣州部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,

27、b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"印度尼西亞雅加達(dá)和中國(guó)廣州之間的線段距離是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-

28、b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"印度尼西亞雅加達(dá)與地心的連線和中國(guó)廣州與地心的連線的夾角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"印度尼西亞雅加達(dá)和中國(guó)廣州之間時(shí)間是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause")

29、; return 0; ð TT= 16T(i,i+1)；2、假設(shè)（2）中建立的模型是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體，其三維立體空間直角坐標(biāo)系的建立與假設(shè)（1）中的是相同的，該旋轉(zhuǎn)橢球體是分布在以地心為原點(diǎn)，地軸為Z軸，赤道面為XY平面，0度經(jīng)線的軸為X軸，0度緯線軸為軸的空間直角坐標(biāo)系中，同樣也是符合右手螺旋定則。六、結(jié)果的檢驗(yàn)與分析 將通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算得出的兩種假設(shè)情況下的數(shù)據(jù)對(duì)比，得出飛行時(shí)間與飛行高度之間的關(guān)系誤相似性較大，在允許誤差范圍內(nèi)，可以近似認(rèn)為是符合兩者之間的關(guān)系，所以可以檢驗(yàn)出建立的數(shù)學(xué)模型的正確性，同時(shí)也證明了在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中所使用的方法是正確的，在相似的數(shù)學(xué)模型中可以采用相同的解題思