數(shù)值分析大作業(yè)

1、課 程 設(shè) 計課程名稱： 高等數(shù)值計算 設(shè)計題目： 數(shù)值計算B課程設(shè)計 學 號： 姓 名： 完成時間： 2014年10月20日 題目一：非線性方程求根用Newton法計算下列方程 （1） ，初值分別為，； （2） 其三個根分別為。當選擇初值時給出結(jié)果并分析現(xiàn)象,當，迭代停止。一、摘要非線性方程的解析解通常很難給出，因此非線性方程的數(shù)值解就尤為重要。本實驗通過使用常用的求解方法二分法和Newton法及改進的Newton法處理幾個題目，分析并總結(jié)不同方法處理問題的優(yōu)缺點。觀察迭代次數(shù)，收斂速度及初值選取對迭代的影響。二、數(shù)學原理構(gòu)造迭代函數(shù)的一條很重要的途徑是，用近似方程來代替原方程去求根。因此，

2、如果能將非線性方程用線性方程來代替的話，求近似根問題就很容易解決，而且十分方便。Newton法就是把非線性方程線性化的一種方法。在求解非線性方程時，它的困難在于是非線性函數(shù)，為克服這一困難，考慮它的線性展開。設(shè)當前點為，在處的Taylor展開式為令，可以得到上式的近似方程設(shè)，解其方程得到這就是牛頓迭代公式。用牛頓迭代公式求方程根的方法稱為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義為，不斷用切線來近似曲線得到方程的根，我們知道方程的實根是函數(shù)的圖形與橫坐標的交點，是函數(shù)在點處的切線與軸的交點，此時就是用切線的零點代替曲線的零點，因此，牛頓迭代法又稱為切線法。三、程序設(shè)計 基于MATLAB軟件編寫程序，先定

3、義一個用Newton法求解的功能函數(shù)，然后調(diào)用函數(shù)用于計算不同的方程。各變量定義見程序。 1、選取初值。 2、利用公式求解 3、計算所得是否滿足精度要求 4、如不滿足繼續(xù)迭代運算，如滿足則輸出所求結(jié)果四、結(jié)果分析和討論1、第一題計算結(jié)果：首先得到函數(shù)在區(qū)間-2.5，2.5的圖像，即可知函數(shù)與軸有交點，也就是說有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。(1)、取初值時得到根值r=1.3247，迭代次數(shù)t=4次 (2)、取初值時得到根值r=1.3247，迭代次數(shù)t=42次(3)、取初值時得到根值r=1.3247，迭代次數(shù)t=8次根據(jù)結(jié)果可以分析得到，當使用牛頓迭代法時，所選初始值對迭代速度（迭代次數(shù)

4、）有較大影響。當初始值充分接近方程的單根時，可保證迭代序列快速收斂，當初值選擇不當時會造成迭代次數(shù)大幅增加或不一定收斂。2、第二題計算結(jié)果：初值時，得到根值r=-98，迭代次數(shù)為1次。根據(jù)結(jié)果可以得到，給出的迭代初值不一定會收斂于離它最近的實根，收斂速度也不一定會慢。初值不同所得到的收斂值也不同。例如，在本題中更改初值為時，所得到的根是3，迭代次數(shù)為4次。五、完成題目的體會與收獲 通過自己編程實現(xiàn)牛頓迭代法，不僅讓我對牛頓迭代法有了更深刻的了解，同時也鍛煉了我編程解決數(shù)學問題的能力。原本上課時不清晰的思路被理清了，觀察計算結(jié)果之后，還對牛頓迭代法的規(guī)律和用法更加明了。希望以后能多有這樣的實踐作

5、業(yè)。六、附錄function root,t= NewtonRoot2( f,a)%f是非線性函數(shù)%a為初值%eps為根的精度%root為求出的函數(shù)零點%t為迭代次數(shù)eps=5.0e-6;t=0;f1=subs(sym(f),findsym(sym(f),a);fun=diff(sym(f);fa=subs(sym(f),findsym(sym(f),a);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),a);root=a-fa/dfa;tol=abs(root-a); while(toleps) t=t+1; r1=root; fx=subs(sym(f),findsym

6、(sym(f),r1); dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),r1); root=r1-fx/dfx; tol=abs(root-r1); endend 題目二：線性方程組求解有一平面機構(gòu)如圖所示，該機構(gòu)共有13條梁（圖中標號的線段）由8個鉸接點（圖中標號的圈）聯(lián)結(jié)在一起。上述結(jié)構(gòu)的1號鉸接點完全固定，8號鉸接點豎立方向固定，并在2號、5號和6號鉸接點，分別有如圖所示的10噸、15噸和20噸的負載，在靜平衡的條件下，任何一個鉸接點上水平和豎立方向受力都是平衡的，以此計算每個梁的受力情況。7865434813579111221261013101520令，假設(shè)為各

7、個梁上的受力，例如對2號鉸接點有：、對3號鉸接點有：、對4號鉸接點有：、對5號鉸接點有：、對6號鉸接點有：、對7號鉸接點有：、對8號鉸接點有：一、摘要對于實際的工程問題，很多問題歸結(jié)為線性方程組的求解。本實驗通過實際題目掌握求解線性方程組的數(shù)值解法，這里采用雅克比迭代法，如不收斂，再采用高斯列主元消去法。二、數(shù)學原理1、雅克比迭代法設(shè)有一個n元線性方程組它的矩陣形式為，如果非奇異，且。由上式可以得到而其相應(yīng)的迭代公式為把上式迭代公式稱為Jacobi(雅克比)迭代。由于迭代存在收斂性，所以把分量形式的迭代公式改寫成矩陣形式。記則.方程組改寫成與其相應(yīng)的矩陣形式的迭代公式為也可以簡單地記為式中，；

8、，上兩式也稱為Jacobi迭代。同時稱為Jacobi迭代矩陣。2、高斯列主元消去法在消元過程進行到第步時，寫出其相應(yīng)的增廣矩陣，可以發(fā)現(xiàn)，此時第個方程與后面的個方程的地位并沒有區(qū)別，因此選擇第列的元素中絕對值最大的元素作為主元，即令如果這時候，那么矩陣就奇異不可逆，方程的解也不確定，只有停止計算；否則，當，則其增廣矩陣中交換第行和第行，即使成為主元，然后再按高斯消去法進行消元運算。上述這種消去法稱為高斯列主元消去法。三、程序設(shè)計把方程組整理為矩陣形式：本題我先采用了雅克比迭代法進行計算，所得結(jié)果發(fā)散，因此采用高斯列主元消去法計算。1、輸入數(shù)據(jù)A和b，置det=1。2、對于作，按列選主元、交換兩

9、行、消元計算。3、置。4、輸出線性方程組的解。四、結(jié)果分析和討論得到結(jié)果，各個梁的受力情況分別為：-28.2843、20.0000、10.0000、-30.0000、 14.1421、20.0000、0、-30.0000 、7.0711、25.0000、20.0000、-35.3553、25.0000（單位：噸）由結(jié)果分析，高斯列主消元法能準確的計算出該線性方程組的解。五、完成題目的體會與收獲 在解決本道題目的時候，我受到了重重困難。剛開始我并未考慮使用迭代法的收斂條件，便使用雅克比迭代法進行計算，但在經(jīng)過多次嘗試后，才發(fā)現(xiàn)該方法不收斂，改用高斯列主消元法來計算。這讓我吸取了深深的教訓。在今后

10、的學習中，注意每種方法的使用限制條件，收斂條件等，真正學而會用，才能徹底掌握知識。六、附錄高斯列主消元法：function x= Gauss(A,b)n,m=size(A);det=1;x=zeros(n,1);for k=1:n-1 max1=0; for i=k:n if abs(A(i,k)max1 max1=abs(A(i,k);r=i; end end if rk z=A(k,:);A(k,:)=A(r,:);A(r,:)=z; z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det; end for i=k+1:n m=A(i,k)/A(k,k); for j=k+1:n A(i,j)= A(i,j)-m* A(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*A(k,k);end det=det*A(n,n); for k=n:-1:1 for j=k+1:n b(k)=b(k)-A(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/A(k,k); end x(k)=b(k)/A(k,k);end雅克比迭代法：function x,n = jacobi