數(shù)學(xué)建模小實(shí)例

1、1、司乘人員配備問題某晝夜服務(wù)的公交路線每天各時間區(qū)段內(nèi)需司機(jī)和乘務(wù)人員如下： 班次時間最少需要人數(shù)16:0010:0060210:0014:0070314:0018:0060418:0022:0050522:002:002062:006:0030設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時間區(qū)段一開始上班，并連續(xù)工作八小時，問該公交線路至少配備多少名司機(jī)和乘務(wù)人員？ 解: 設(shè)為第班應(yīng)報到的人員，建立線性模型如下：LINGO程序如下：MODEL: min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x

2、5>=20; x5+x6>=30;END得到的解為:x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;配備的司機(jī)和乘務(wù)人員最少為150人。2、鋪瓷磚問題要用40塊方形瓷磚鋪下圖所示形狀的地面，但當(dāng)時市場上只有長方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面，結(jié)果無法鋪好。試問是這人的功夫不到家還是這個問題根本無解呢？ 解答: 01010010101010101010101010101010101010103、 棋子顏色問題在任意拿出黑白兩種顏色的棋子共n個，隨機(jī)排成一個圓圈。然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顆顏色不同的棋子中

3、間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子，再重復(fù)以上的過程，這樣放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，問這樣重復(fù)進(jìn)行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢？分析與求解：由于在兩顆同色棋子中放一顆黑色棋子，兩顆不同色的棋子中間放一顆白色棋子，故可將黑色棋子用1表示，白色棋子用-1表示。這是因?yàn)?1×(-1)=1，1×1=1，這代表兩顆同色棋子中放一顆黑色棋子；1×(-1)= -1，這代表兩顆不同色的棋子中間放一顆白色棋子。 設(shè)棋子數(shù)為，為初始狀態(tài)。當(dāng)n=3時步數(shù) 狀態(tài)(舍掉偶次項(xiàng)) 0 1 2 3 4 說明當(dāng)n=3時，經(jīng)過3步進(jìn)入初始狀態(tài)。 當(dāng)n=4時步數(shù) 狀態(tài)(舍掉偶次項(xiàng)) 0

4、 1 2 3 4 說明當(dāng)n=4時，經(jīng)過4步全變?yōu)楹谏遄?。既不循環(huán)也不全為黑子結(jié)論：當(dāng)棋子數(shù)為時，至多經(jīng)過次操作，就可以全部變?yōu)楹谧?，?dāng)棋子數(shù)不為時則一般不能全變?yōu)楹谧?。Matlab程序:進(jìn)行實(shí)驗(yàn)%棋子顏色問題演示% 1-黑子,-1 -白子 n=4; %定義棋子數(shù) times=6;%定義迭代次數(shù) x0=zeros(1,n); x1=zeros(1,n); %定義數(shù)組 for i=1:n k=rand(1,1); if(k>0.5) x0(i)=1; else x0(i)=-1; end end; % 賦初值 x0 for i=1:times i for k=1:n-1 x1(k)=x0(

5、k)*x0(k+1); end x1(n)=x0(n)*x0(1); x1 %顯示各次結(jié)果 x0=x1;end 程序語句解釋：1.zeros(m,n),產(chǎn)生一個m×n的0矩陣，通常用于定義一個指定大小的矩陣.zeros(1,n)則產(chǎn)生一個全部為0的行向量。2.rand(m,n),產(chǎn)生一個m×n的隨機(jī)矩陣，每個元素都服從0,1上的均勻分布.rand(1,1)則產(chǎn)生一個服從0,1上的均勻分布的數(shù)字。4. 選修課策略問題某學(xué)校規(guī)定，運(yùn)籌學(xué)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)時必須至少學(xué)習(xí)過兩門數(shù)學(xué)課、三門運(yùn)籌學(xué)課和兩門計算機(jī)課。這些課程的編號、名稱、學(xué)分、所屬類別和先修課要求如表1所示。那么，畢業(yè)時學(xué)

6、生最少可以學(xué)習(xí)這些課程中哪些課程。如果某個學(xué)生既希望選修課程的數(shù)量少，又希望所獲得的學(xué)分多，他可以選修哪些課程？表1 課程情況 課程編號課程名稱學(xué)分所屬類別先修課要求 1微積分5數(shù)學(xué) 2線性代數(shù)4數(shù)學(xué) 3最優(yōu)化方法4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù) 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學(xué)；計算機(jī)計算機(jī)編程 5應(yīng)用統(tǒng)計4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù) 6計算機(jī)模擬3計算機(jī)；運(yùn)籌學(xué)計算機(jī)編程 7計算機(jī)編程2計算機(jī) 8預(yù)測理論2運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計 9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3運(yùn)籌學(xué)；計算機(jī)微積分；線性代數(shù)模型的建立1不考慮學(xué)分情形：記i=1，2，9表示9門課程的編號。設(shè)表示第i門課程選修，表示第i門課程不選。問題的目標(biāo)為選修的課程總數(shù)最少，即 約

7、束條件包括兩個方面：第一方面是課程數(shù)量的約束：每個人最少要學(xué)習(xí)2門數(shù)學(xué)課，則 每個人最少要學(xué)習(xí)3門運(yùn)籌學(xué)課 ，則 每個人最少要學(xué)習(xí)2門計算機(jī)課，則有： 第二方面是先修課程的關(guān)系約束： 如“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”的先修課程是“計算機(jī)編程”，這意味著如果，必須，這個條件可以表示為（注意當(dāng)時對沒有限制）。這樣，所有課程的先修課要求可表為如下的約束“最優(yōu)化方法”的先修課是“微積分”和“線性代數(shù)”，有：“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”的先修課程是“計算機(jī)編程”，有： “應(yīng)用統(tǒng)計”的先修課是“微積分”和“線性代數(shù)”，有： “計算機(jī)模擬”的先修課程是“計算機(jī)編程”，有： “預(yù)測理論”的先修課程是“應(yīng)用統(tǒng)計”，有： “數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是“微積分”

8、和“線性代數(shù)”，有： 這樣一來，總的0-1規(guī)劃模型為：解得：。即選修課程為：微積分,線性代數(shù).最優(yōu)化方法,計算機(jī)模擬,計算機(jī)編程,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。LINGO程序?yàn)椋簃odel:sets:item/1.9/:c,x;endsetsdata:c=5,4,4,3,4,3,2,2,3;enddatamin=sum(item(i):x(i);!課程最少;x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2;x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3;x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2;x(3)<=x(1);x(3)<=x(2);x(4)<=x(7);

9、x(5)<=x(1);x(5)<=x(2);x(6)<=x(7);x(8)<=x(5);x(9)<=x(1);x(9)<=x(2);for(item(i):bin(x(i);end2 考慮學(xué)分情形：當(dāng)要求學(xué)分最多時，設(shè)各門課程學(xué)分為，則增加學(xué)分最大的目標(biāo)函數(shù)為：這樣總的雙目標(biāo)0-1規(guī)劃模型為：當(dāng)把選修課程指定為6門時，對學(xué)分最大求最優(yōu)，解得：。最大學(xué)分為z=22。即選修課程為：微積分,線性代數(shù).最優(yōu)化方法, 應(yīng)用統(tǒng)計,計算機(jī)編程,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。學(xué)分達(dá)到22分。LINGO程序?yàn)椋簃odel:sets:item/1.9/:c,x;endsetsdata:c=5,4,4,3,4,3,2,2,3;enddatamax=sum(item(i):c(i)*x(i);sum(item(i):x(i)=6; !課程為6門;x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2;x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3;x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2;