數(shù)值分析論文

1、一、摘要曲線(xiàn)擬合是數(shù)值分析中的一種普遍且重要的方法，求解擬合曲線(xiàn)的方法也有很多，這里主要介紹利用MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱對(duì)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)做你和處理，并與利用最小二乘法求相應(yīng)的擬合曲線(xiàn)的方法做對(duì)比，突出MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱的優(yōu)點(diǎn)，并闡述了其適用的范圍，最后通過(guò)利用MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱對(duì)實(shí)例中離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合來(lái)具體說(shuō)明它的使用方法和優(yōu)點(diǎn)。 關(guān)鍵字：數(shù)值分析；MATLAB；曲線(xiàn)擬合；最小二乘法二、引言 在很多的實(shí)際情況中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系往往很難用具體的表達(dá)式把它表示出來(lái)，通常只能通過(guò)實(shí)際測(cè)量得到一些互不相同的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，需需要利用這些已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)估計(jì)出兩個(gè)變量的關(guān)系或工件的具體輪廓，并

2、要得到任意未知數(shù)據(jù)點(diǎn)的具體數(shù)據(jù)，這個(gè)過(guò)程就需要用到擬合或差值方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，這里主要討論擬合的方法。曲線(xiàn)擬合可以通過(guò)MATLAB編程來(lái)完成，通常為了達(dá)到更好的訥河效果需要做多次重復(fù)修改，對(duì)于非線(xiàn)性曲線(xiàn)擬合還需要編寫(xiě)復(fù)雜的M-文件，運(yùn)用MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱來(lái)實(shí)現(xiàn)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線(xiàn)擬合是一種直觀并且簡(jiǎn)潔的方法。三、曲線(xiàn)擬合的最小二乘法理論假設(shè)給定了一些數(shù)據(jù)點(diǎn)（Xi,Yi），人們總希望找到這樣的近似的函數(shù)，它既能反映所給數(shù)據(jù)的一般趨勢(shì)，又不會(huì)出現(xiàn)較大的偏差，并且要使構(gòu)造的函數(shù)與被逼近函數(shù)在一個(gè)給定區(qū)間上的偏差滿(mǎn)足某種要求。這種思想就是所謂的“曲線(xiàn)擬合”的思想。曲線(xiàn)擬合和差值不同，若要求通過(guò)所有給定的

3、數(shù)據(jù)點(diǎn)是差值問(wèn)題，若不要求曲線(xiàn)通過(guò)所有給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而只要求反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)， 擬合問(wèn)題，曲線(xiàn)擬合問(wèn)題最常用的解決方法是線(xiàn)性最小二乘法1,步驟如下： 第一步：先選定一組函數(shù)r1(x),r2(x),rm(x),m<n,令： F（x）=a1 r1(x)+a2r2(x)+amrm(x) 其中a1，a2，am為待定系數(shù)。 第二步：確定的準(zhǔn)則（最小二乘法準(zhǔn)則）：使n個(gè)點(diǎn)（xi,yi）與曲線(xiàn)y=f（x）的距離i的平方和最小。記 J（a1,a2,，am）=i=1ni2=i=1nf(xi)-yi2=i=1nakrkxi-yi2 問(wèn)題歸結(jié)為，求a1,a2，am使J（a1,a2,，am）最小。最小二乘

4、法中如何選擇數(shù)學(xué)模型很重要，用MATLAB解法曲線(xiàn)擬合問(wèn)題通常有兩種方法線(xiàn)性最小二乘法擬合和非線(xiàn)性最小二乘法擬合，對(duì)于兩種方法的選擇，要根據(jù)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)位置關(guān)系來(lái)確定即首先將數(shù)據(jù)（Xi，Yi），i=1,2，n作圖，通過(guò)直觀判斷確定。線(xiàn)性最小二乘法通常是做多項(xiàng)式f（x）=a0+a1x1+amxm擬合。可利用已有的得程序a=ployval(x,y,m),其中m代表擬合多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式在x出y的值可用命令y=ployval(a,x)計(jì)算，做非線(xiàn)性最小二乘擬合時(shí)，應(yīng)首先選擇好適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，如y=aebx,其中a,b為待定系數(shù)，此時(shí)可以把它轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性模型來(lái)計(jì)算，兩邊取對(duì)數(shù)得ln y=ln a +bx

5、 ,令Y=ln y ,記A=ln a ,于是有Y=A+bx ,求這個(gè)線(xiàn)性模型的最小二乘法問(wèn)題。另外一種方法就是直接采用非線(xiàn)性擬合問(wèn)題函數(shù)lsqcurvefit 和lsqnonlin來(lái)計(jì)算，兩個(gè)命令都要先建立M-文件fun.m ,在其中定義函數(shù)f（x）, 但兩者定義M-文件的方式有所不同。這些問(wèn)題同樣可以用MATLAB擬合工具箱2來(lái)實(shí)現(xiàn)，并且操作比較簡(jiǎn)單，誤差等參數(shù)也能一目了然的觀察到。四、MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱 MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱界面3是一個(gè)可視化的圖形界面，具有強(qiáng)大的圖形你和功能，其中包括：（1）可視化的展開(kāi)一個(gè)或者多個(gè)數(shù)據(jù)集，并可用三點(diǎn)圖來(lái)表示；（2）用殘差和置信區(qū)間可視化的估

6、計(jì)擬合結(jié)果的好壞；（3）通過(guò)其他界面還可以實(shí)現(xiàn)許多其他功能：比如輸出、查看和平滑數(shù)據(jù)：擬合數(shù)據(jù)，比較擬合曲線(xiàn)和數(shù)據(jù)集：從擬合曲線(xiàn)中排除特殊的數(shù)據(jù)點(diǎn)：選定區(qū)間后可以顯示擬合曲線(xiàn)和數(shù)據(jù)集。它把計(jì)算，可視化和程序設(shè)計(jì)融合到一個(gè)交互的環(huán)境，在此環(huán)境中，利用強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和圖形功能，可高效求解一些復(fù)雜的工程問(wèn)題及實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的可視化。 用MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，可使用MATLAB內(nèi)部的庫(kù)函數(shù)或用戶(hù)自定義的方程對(duì)參數(shù)變量進(jìn)行多項(xiàng)式、指數(shù)、有理數(shù)等形式的數(shù)據(jù)擬合。五、MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱的應(yīng)用舉例在實(shí)際中，產(chǎn)品和工件的輪廓形狀很難找到一個(gè)具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)

7、計(jì)算得到一些離散點(diǎn)及其上的數(shù)值點(diǎn)，此時(shí)就需要選擇合適的數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，做出它的擬合曲線(xiàn)，從而估計(jì)出它的實(shí)際形狀。下面通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明一下用MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱對(duì)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，并與一般的方法作比較。例1， 已知機(jī)翼下輪廓上的數(shù)據(jù)如下表所示：表1 機(jī)翼下輪廓數(shù)據(jù)機(jī)翼長(zhǎng)（x）035791112131415機(jī)翼寬（y）01.21.72.02.12.01.81.21.41.6 用這些數(shù)據(jù)擬合輪廓形狀。（1） 用多項(xiàng)式最小二乘法編程方法：（分別用3次和4次進(jìn)行擬合）。>> x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15;>> y=0,1.2,1.7,

8、2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.4,1.6;>> A=polyfit(x,y,3)A =0.0013 -0.0523 0.5913 -0.0483>> z=polyval(A,x);>> plot(x,y,'k+',x,z,'r') 同樣的方法可以得到4次多項(xiàng)式擬合曲線(xiàn)，3次和4次得擬合的圖像分別為：圖1 三次擬合曲線(xiàn) 圖2 四次擬合曲線(xiàn) 擬合得到的多項(xiàng)式分別為：f（x）=0.0013x3-0.0523x2 F(x)=0.0004x4-0.0099x3+0.0544x2+0.2767x+0.0214（2） 用MAT

9、LAB曲線(xiàn)擬合工具箱計(jì)算：>> x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15;>> y=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.4,1.6；>>cftool進(jìn)入擬合工具箱界面，然后點(diǎn)擊Data按鈕，在數(shù)據(jù)欄選擇x和y界面分別為： 圖3 曲線(xiàn)擬合工具箱界面 圖4 “Data”對(duì)話(huà)框單擊Create data set 按鈕，然后單擊Close 返回?cái)M合工具箱界面，再單擊Fiting 按鈕，先選擇3次擬合方法，即在Type of fit 中選擇Ploynomial,然后在下面的選項(xiàng)中選擇cubicploynomial(圖5)，單擊p

10、ply 進(jìn)行擬合得到圖像（圖6）；以及結(jié)果：Linear model Poly3:f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95% confidence bounds p1 = 0.00128 (-0.0008073, 0.003367) p2 = -0.05227 (-0.1001, -0.004396) p3 = 0.5913 (0.2892, 0.8934) p4 = -0.0483 (-0.5768, 0.4802)Goodness of fit:SSE: 0.2948 R-square: 0.9143Adjusted R-s

11、quare: 0.8714 RMSE: 0.2217圖5 “Fiting”對(duì)話(huà)框 圖6 3次擬合曲線(xiàn) 從結(jié)果中可以看出，擬合得到的多項(xiàng)式 f（x）=0.0128x3-0.05227x2+0.5913x-0.0483,以及它的誤差平方和SSE為0.2948，相關(guān)系數(shù)平方和R-square為0.9143，根的均方差RMSE為0.2217.若需要進(jìn)行4次擬合，只需要Fiting中的New fit中選擇4次多項(xiàng)式擬合就可以得到4次擬合圖像和結(jié)果：所得擬合多項(xiàng)式為：F(x)=0.0003661x4-0.009906x3+0.05438x2+0.2767x+0.02141.誤差平方和為0.1801.用這兩

12、種方法所得的結(jié)果基本相同，顯然4次比三次的擬合效果要好，并且用擬合工具箱求解更為方便直觀。 圖7 3次和4次多項(xiàng)式擬合下面在舉一個(gè)非線(xiàn)性擬合的例子。 例2 用非線(xiàn)性擬合6的方法對(duì)下列一組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合： 快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.989.327.455.243.01 根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選卻數(shù)學(xué)模型：c(t)=ae-bt,其中，a、b是待定系數(shù)。 編寫(xiě)-文件：function f=curvefunl(x,tdata) F=x(1)*exp(-x(2)*tdata輸入程序：tdata=0.25,0.5,

13、1,1.5,2,3,4,6,8;<<cdata=19.21,18.15,15.36,14.10,12.89,9.32,7.45,5.24,3.01;<<x0=20,0.1;<<x0=0.2,0.05,0.05;X=lsqcurvefit(curvefunl,x0,tdata,cdata)f=curvefunl(x,tdata)x=20.2413 0.2420f=19.0532 17.93.48 15.8911 14.0802 12.4757 9.7945 7.6894 4.7394 2.9211即c(t)=20.2413e-0.2420t（2），用擬合工具箱

14、計(jì)算：輸入程序：>> tdata=0.25,0.5,1,1.5,2,3,4,6,8;>> cdata=19.21,18.15,15.36,14.10,12.89,9.32,7.45,5.24,3.01;>> cftool(tdata,cdata) 打開(kāi)擬合工具箱，在數(shù)據(jù)欄里選擇數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布，選擇Custom Equations ,然后在Custom Equations 中設(shè)置函數(shù)c(t)=ae-bt后進(jìn)行擬合，所得圖像為： 圖8 非線(xiàn)性擬合擬合結(jié)果為：C(t)=20.24e-0.242t,與lsqucuevefit()函數(shù)方法結(jié)果相同。由此看出擬合工具箱首先可以畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖，便于選擇模型；其次操作簡(jiǎn)便，省去了復(fù)雜的編程工作，再次，結(jié)果以圖像的和數(shù)據(jù)兩種方式給出，直觀形象，并且結(jié)果中還給出了判斷擬合好壞的參數(shù)。六、結(jié)論本文給出了求離散數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合曲線(xiàn)的MATLAB曲線(xiàn)擬合工具箱的方法，并與通常使用的利用擬合函數(shù)編程方法相比較，發(fā)現(xiàn)利用曲線(xiàn)擬合工具箱擬合曲線(xiàn)更加簡(jiǎn)捷和直觀，并且可視性效果很好。參考文獻(xiàn)1 李慶揚(yáng)，關(guān)治，白峰山。數(shù)值計(jì)算原理M.北京：清華大學(xué)出版社，2000:56-58.2 蘇金