二元函數(shù)的極值與最值

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值問題已成為近年考研的重點，現(xiàn)對二元函數(shù)的極值與最值的求法總結(jié)如下：1二元函數(shù)的無條件極值(1) 二元函數(shù)的極值一定在駐點和不可導(dǎo)點取得。對于不可導(dǎo)點，難以判斷是否是極值點；對于駐點可用極值的充分條件判定。(2)二元函數(shù)取得極值的必要條件： 設(shè)在點處可微分且在點處有極值，則，即是駐點。(3) 二元函數(shù)取得極值的充分條件：設(shè)在的某個領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)上二階偏導(dǎo)數(shù)，且，令，則當(dāng)且 A0，f為極小值；時，不是極值點。注意： 當(dāng)B2AC = 0時，函數(shù)z = f (x, y)在點可能有極值，也可能沒有極值，需另行討論例1 求函數(shù)z = x3 +

2、 y2 2xy的極值【分析】可能極值點是兩個一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【解】先求函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)：，, , 再求函數(shù)的駐點令= 0，= 0，得方程組求得駐點(0，0)、利用定理2對駐點進(jìn)行討論：(1)對駐點(0, 0)，由于A = 0, B =2， C = 2，B2AC0,故(0, 0)不是函數(shù)z = f(x, y) 的極值點(2)對駐點，由于A =4, B =2，C = 2,B2AC =40, 且A0,則 為函數(shù)的一個極小值例2：（2004數(shù)學(xué)一）設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值

3、.【分析】 本題把極值問題與隱函數(shù)求導(dǎo)方法相結(jié)合，計算量是比較大的。這體現(xiàn)了考研的基本要求?！窘狻?因為 ，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(9,3)是z(x,y)的極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(-9, -3)是z(x,y)的極大值點，極大值為z(-9, -3)= -3.【評注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關(guān)鍵是求可能極值點時應(yīng)注意x,y,z滿足原方程。2二元函數(shù)的條件極值拉格朗日數(shù)乘法：設(shè)某領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，引入輔助函數(shù)解聯(lián)立方程組得可能是在條件下的極值點例3經(jīng)過點的所有平面中，哪一個平面與

4、坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最小并求此最小體積【分析】條件極值經(jīng)常考應(yīng)用題。這一點大家應(yīng)引起重視?！窘狻吭O(shè)所求平面方程為 因為平面過點，所以該點坐標(biāo)滿足此平面方程，即有 (1)設(shè)所求平面與三個坐標(biāo)平面所圍立體的體積為V， 則 (2)原問題化為求目標(biāo)函數(shù)（2）在約束條件（1）下的最小值作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)L的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：由此方程組和（9）解得a = b = c = 3由于最小體積一定存在又函數(shù)有惟一的駐點故a = b = c = 3為所求即平面x + y + z = 3與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小最小體積為例4 某公司通過電臺及報紙兩種方式做銷售廣告，收入萬元

5、與電視廣告費萬元及報紙廣告費萬元之間的關(guān)系為： 在廣告費用不限的情況下，求最佳廣告策略； 若提供的廣告費用為總額15萬元，求相應(yīng)最佳廣告策略【解】 利潤函數(shù)為，求函數(shù)L的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：解得，則為惟一的駐點又由題意，可導(dǎo)且一定存在最大值，故最大值必在這惟一的駐點處達(dá)到所以最大利潤為萬元因此，當(dāng)電視廣告費與報紙廣告費分別為萬元和萬元時，最大利潤為萬元，此即為最佳廣告策略 求廣告費用為15萬元的條件下的最佳廣告策略，即為在約束條件下， 求的最大值作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：并和條件聯(lián)立解得，這是惟一的駐點，又由題意，一定存在最大值，故萬元為最大值【

6、評注】 本題也可由，解得，代入目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)求解。3二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的最值一定在駐點和不可導(dǎo)點及邊界點取得。例5:（2007數(shù)學(xué)一）求函數(shù)在區(qū)域D上的最大值和最小值，其中： ?！痉治觥?由于D為閉區(qū)域，在開區(qū)域內(nèi)按無條件極值分析，而在邊界上按條件極值討論即可?！驹斀狻?因為 ，解方程： 得開區(qū)域內(nèi)的可能極值點為.其對應(yīng)函數(shù)值為又當(dāng)y=0 時，在上的最大值為4，最小值為0.當(dāng)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 解方程組 得可能極值點：，其對應(yīng)函數(shù)值為 比較函數(shù)值，知f(x, y)在區(qū)域D上的最大值為8，最小值為0.【評注】當(dāng)，代入目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)求解更簡單。例3:（2005數(shù)學(xué)二）已知函數(shù)z=f(x,y