微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用教案

1、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)目的：1、理解微分的幾何意義 2、掌握微分在近似計(jì)算的應(yīng)用 3、掌握微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：1、微分在近似計(jì)算的應(yīng)用 2、微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：1、微分在近似計(jì)算的應(yīng)用 2、微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程：1、回顧函數(shù)微分內(nèi)容，微分的概念，定義，以及微分的運(yùn)算 2、導(dǎo)入新課 3、講授新課 （1）1、理解微分的幾何意義 （2）微分在近似計(jì)算的應(yīng)用 （3）微分在誤差估算的應(yīng)用 4、例題分析 5、課堂小結(jié) 6、布置作業(yè)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用在工程問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式，如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)算是很費(fèi)力的，利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計(jì)算公式改用簡(jiǎn)

2、單的近似公式來(lái)代替。1函數(shù)增量的近似計(jì)算如果在點(diǎn)可微,則函數(shù)的增量 ,當(dāng)很小時(shí),有 例1 半徑10厘米的金屬原片加熱后半徑伸長(zhǎng)了0.05厘米，問(wèn)面積增大了多少？解：設(shè)，厘米，厘米，則（）例2 有一批半徑為1cm的球, 為了提高球面的光潔度, 要鍍上一層銅, 厚度定為0.01cm，估計(jì)一下每只球需用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出鍍層的體積，再求相應(yīng)的質(zhì)量。因?yàn)殄儗拥捏w積等于兩個(gè)球體體積之差，所以它就是球體體積 當(dāng)自取得增量時(shí)的增量，我們求對(duì)的導(dǎo)數(shù):將帶入上式，得 于是鍍每只球需用的銅約為2函數(shù)值的近似計(jì)算由，得,令, 有 （用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算公式）.若，則 說(shuō)明：（1）要計(jì)

3、算在點(diǎn)的數(shù)值，直接計(jì)算比較困難，而在點(diǎn)附近一點(diǎn)處的函數(shù)值和它的導(dǎo)數(shù)卻都比較容易求出,于是可以利用作為的近似值, 與越接近越精確。（2）常用的近似公式（假定|x|是較小的數(shù)值）: ; , ( x用弧度作單位來(lái)表達(dá)); ( x用弧度作單位來(lái)表達(dá)); 證明： 取, 則，, 代入，便得 . 取，則，代入，便得 如：（1）（直接開(kāi)方的結(jié)果是.）（2）（3）（4）（5）例3 計(jì)算的近似值。解：設(shè),則，由，取，得.例4 計(jì)算的近似值。解：令，3誤差估計(jì) 在生產(chǎn)實(shí)踐中, 經(jīng)常要測(cè)量各種數(shù)據(jù)，但是有的數(shù)據(jù)不易直接測(cè)量, 這時(shí)我們就通過(guò)測(cè)量其它有關(guān)數(shù)據(jù)后, 根據(jù)某種公式算出所要的數(shù)據(jù)。由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條

4、件和測(cè)量的方法等各種因素的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差，我們把它叫做間接測(cè)量誤差。 下面就討論怎樣用微分來(lái)估計(jì)間接測(cè)量誤差。（1）絕對(duì)誤差：如果某個(gè)量的精確值為，它的近似值為,那么叫做的絕對(duì)誤差。（2）相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與的比值叫做的相對(duì)誤差。 在實(shí)際工作中，某個(gè)量的精確值往往是無(wú)法知道的，于是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差也就無(wú)法求得。但是根據(jù)測(cè)量?jī)x器的精度等因素，有時(shí)能確定誤差在某一個(gè)范圍內(nèi)。如果某個(gè)量的精確值為，測(cè)得它的近似值為,又知道它的誤差不超過(guò)，則（3）絕對(duì)誤差限:若，則稱(chēng)為測(cè)量的絕對(duì)誤差限。（4）相對(duì)誤差限: 為測(cè)量的相對(duì)誤差限。一般地，根據(jù)直接

5、測(cè)量的值按公式計(jì)算值時(shí)，如果已知測(cè)量的絕對(duì)誤差限是，即，則當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)誤差即的絕對(duì)誤差限約為，的相對(duì)誤差限約為.以后常把絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限簡(jiǎn)稱(chēng)為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。例如.要求得圓的面積S,只能測(cè)出其直徑d,后由Sf(d)算出面積S.由于測(cè)量得到的直徑d有絕對(duì)誤差,于是由此計(jì)算出面積S也相應(yīng)地有絕對(duì)誤差.在近似計(jì)算中知道,當(dāng)很小時(shí),（=）.于是可用算出S的絕對(duì)誤差,對(duì)于圓面積Sf(d)有,所以有（絕對(duì)誤差）； （相對(duì)誤差）進(jìn)一步,若已知時(shí),則得絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限分布為：；一般地,若x是由測(cè)量得到的,量y是由函數(shù)yf(x)計(jì)算得到的,在測(cè)量時(shí),x的近似值為,.若已知測(cè)量值的誤差限為,即,當(dāng)很小時(shí),；1.要給一個(gè)半徑為的球表面涂上油漆,油漆的厚度為,試計(jì)算這層油漆的體積。解：2.設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑，測(cè)量的絕對(duì)誤差限欲用公式計(jì)算圓鋼截面積，試估計(jì)面積的誤差。解：的絕對(duì)誤差限約為的相對(duì)誤差限約為3.設(shè)測(cè)得一球體的直徑為42cm，測(cè)量工具的精度為0.05 cm，試求以此直徑計(jì)算球體體積時(shí)所引起的誤差。解：由直徑計(jì)算球體體積的函數(shù)式是 .取,求得，則球體體積的絕對(duì)誤差限為 相對(duì)誤差限為.4.設(shè)鐘擺的周期是1 s，在冬季擺長(zhǎng)至多縮短0.01 cm，試問(wèn)此鐘每天至多快幾秒？解：由物理學(xué)知道，單擺周期