中考數學押軸題型-費馬點相關問題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上費馬點及其在中考中的應用 一、費馬點的由來    費馬(Pierre de Fermat，16011665)是法國數學家、物理學家費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業(yè)余愛好 然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵他是解析幾何的發(fā)明者之一；概率論的主要創(chuàng)始人；以及獨承17世紀數論天地的人 一代數學大師費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家 尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年費馬曾提出關于三角形的一個有趣問題：在ABC內求一點P，使&

2、#160;PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個點為“費馬點”     二、探索費馬點    1 當三角形有一個內角大于或等于120°的時候，則費馬點就是這個內角的頂點  下面來驗證這個結論： 如圖1，對三角形內任意一點P，延長BA至點C，使得AC=AC， 作CAP=CAP，并且使得AP=AP 即把APC以A為中心做旋轉變換    則APCAPC，    B

3、AC120°，PAP60°    在等腰三角形PAP中，APPP，  PA+PB+PCPP+PB+ PC>BC=AB+AC 所以A是費馬點 2 如果三個內角都在120°以內，那么，費馬點就是三角形內與三角形三頂點的連線兩兩夾角為 120°的點  如圖2，以B點為中心，將APB旋轉60°到ABP 因為旋轉60°，且PB=PB，所以PPB為正三角形    因此，PA

4、+PB+PC=PA+PP+PC    由此可知當A，P，P，C四點共線時，PA+PB+PC=PA+PP+PC為最小    當A，P，P共線時，BPP=60°，APB=APB=120°    同理，若P，P，C共線時，則BPP=60°， BPC=120°  所以點P為滿足APB=BPC=CPA=120°的點費馬點相關問題等腰直角三角形,已知在直角平分線上的一點P,PA+PB+PC最小值為6+2，求直

5、角邊的長度？解答：如圖將三角形PAC逆時針旋轉60度得三角形DEC，則角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根據兩點之間線段最短，當點E、D、P、B在一條直線上時，DE+PD+PB最小，這時角BPC=120度，角APC=EDC=120。下證這時的點P就在角ACB的平分線上。在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，點P在角ACB的平分線上。所以點P是這樣一個點：它使角APC=BPC=APB=120度（這個點叫三角形

6、的費馬點）。延長CP交AB于F，則CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，設PF=x，則PA=PB=2x ，AF=CF=3*x，PC=(3-1)x，有   2x+2x+(3-1)x=6+2，x=1/36。所以 AF=CF=2，AC=2*CF=2*2=2。向左轉|向右轉求角CBN 90度的方法：1.四邊形內角和等于360度；2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度“費馬點”與中考試題 費爾馬，法國業(yè)余數學家，擁有業(yè)余數學之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一 費馬點就

7、是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點 費爾馬的結論：對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點，對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點 下面簡單說明如何找點P使它到ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最??？這就是所謂的費爾馬問題                      &

8、#160;        解析：如圖1，把APC繞A點逆時針旋轉60°得到APC，連接PP 則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC， 所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC 點C可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉60°而得的定點，BC為定長 ，所以當B、P、P、C 四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小 這時BPA=180°-APP=180°-60°=1

9、20°， APC=A PC=180°-APP=180°-60°=120°， BPC=360°-BPA-APC=360°-120°-120°=120°      因此，當ABC的每一個內角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內的交點就是P點；當有一內角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點 費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點