利用Ecel進(jìn)行主成分分析的具體操作

1、1利用Excel2000進(jìn)行主成分分析舉例如下： 第一步，錄入數(shù)據(jù)，并對(duì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化?！纠恳唤M古生物腕足動(dòng)物貝殼標(biāo)本的兩個(gè)變量：長(zhǎng)度和寬度。ABcDE1祥本編號(hào)長(zhǎng)度釦寬度劭釦標(biāo)準(zhǔn)化蠱噸標(biāo)準(zhǔn)化抹2132-1.786045-1. 80607732410-1.559389-0.1414904365-1.106078-1. 1818575468-1.106078-0. 55763765610-1.106078-0. 141490?&72-0.379423-1. 8Q60778f713-山 8794230. 4827309Sg-0. 65276S-0. 34956310gg5-0.426112-

2、1. 1818571110gS-0. 426112-0. 5576371211g14-0.4261120. 6908041312107-0.199457-0. 7657101413iiL20.0271990. 274657151412100. 253854-0. 14149016IB12110. 2538540, 06658317161360.480509-0. 97378418IT13140. 4305090. 690804191813150. 4805090.898877201913L7Q. 4805091. 31502421201470.707165-0. 765710222115130

3、. 9338200. 482730232217L31.387131Q 48273024Z31717L 3871311. 315024252418191.6137871. 731171262520202.0670971. 93924427均值10. 8S10. S80. 0000000 OOOOOO28力差19.4656023. 0975011Z9標(biāo)推差4.411984. 8060011圖1原始數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)及其均值、方差（取自張超、楊秉庚計(jì)量地理學(xué)基礎(chǔ)）計(jì)算的詳細(xì)過(guò)程如下： 將原始數(shù)據(jù)繪成散點(diǎn)圖（圖2）。主持分分析原則上要求數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢(shì)一如果數(shù)據(jù)之間不相關(guān)（即正交），則沒有必要進(jìn)行主

4、成分分析，因?yàn)橹鞒煞址治龅哪康?就是用正交的變量代替原來(lái)非正交的變量；如果原始數(shù)據(jù)之間為非線性關(guān)系，則有必要對(duì) 數(shù)據(jù)進(jìn)行線性轉(zhuǎn)換，否則效果不佳。從圖2可見，原始數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢(shì)，且測(cè)定系數(shù)氏=0.4979，相應(yīng)地，相關(guān)系數(shù) R=0.7056。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)公式為jXijXj這里假定按列標(biāo)準(zhǔn)化，式中ijj1 nXijXj，n i in 2j(XjXj)i 1.Var(Xj)分別為第j列數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，Xij為第i行（即第i個(gè)樣本）、第j列（即第j個(gè)變標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖y = 0.7056X + 2E-16圖3標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖對(duì)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的具體步驟如下：求出各列數(shù)據(jù)的均值

5、，命令為average，語(yǔ)法為：average（起始單元格：終止單元格）。如圖1所示，在單元格B27中輸入 “ =AVERAGE（B1B26）”，確定或回車，即得第一列數(shù)據(jù)的均值x, 10.88 ;然后抓住單元格B27的右下角（光標(biāo)的十字變細(xì)）右拖至C27,便可自動(dòng)生成第二列數(shù)據(jù)的均值X210.68。 求各列數(shù)據(jù)的方差。命令為varp，語(yǔ)法同均值。如圖1所示，在單元格 B28中輸入“ =VARP（B2:B26）”，確定或回車，可得第一列數(shù)據(jù)的方差Var（x1） 19.4656，右拖至C28生成第二列數(shù)據(jù)的方差 Var（x2）23.0976。 求各列數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。將方差開方便得標(biāo)準(zhǔn)差。也可利用命

6、令stdevp直接生成標(biāo)準(zhǔn)差，語(yǔ)法和操作方法同均值、方差，不贅述。 標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算。如圖1所示，在單元格 D2中輸入“ =（B2-$B$27）/$B$29 ”，回車可得第一列第一個(gè)數(shù)據(jù)“3”的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值-1.786045，然后按住單元格D2的右下角下拖至D26,便會(huì)生成第一列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值；按照單元格D2的右下角右拖至E2,就能生成第二列第一個(gè)數(shù)據(jù)“ 2”的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)-1.806077，抓住單元格 E2的右下角下拖至 E26 便會(huì)生成第二列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值。 作標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（圖 3）?？梢钥闯?，點(diǎn)列的總體趨勢(shì)沒有變換，兩種數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化以前完全相同。但回歸模型的截距近似為0

7、，即有a0，斜率等于相關(guān)系數(shù)，即有b R。求標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣或協(xié)方差矩陣。求相關(guān)系數(shù)矩陣的方法是：沿著“工具（T）” - “數(shù)據(jù)分析（D）”的路徑打開“分析工具（A）”選項(xiàng)框（圖4）,確定，彈出 “相關(guān)系數(shù)”對(duì)話框（圖 5）,在“輸入?yún)^(qū)域”的空白欄中輸入標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)范圍，并以單 元格G1為輸出區(qū)域，具體操作方法類似于回歸分析。確定，即會(huì)在輸出區(qū)域給出相關(guān)數(shù)據(jù)分析分析工ili素復(fù)M>可無(wú)析析 莎素素描迷統(tǒng)計(jì) 指數(shù)平潸F-祓臉眾樣本方差 傅利葉分析 直方圖圖4分析工具選項(xiàng)框圖5相關(guān)系數(shù)對(duì)話框系數(shù)矩陣的下三角即對(duì)角線部分，由于系對(duì)稱矩陣，上三角的數(shù)值與下三角相等，故未給 出（圖6），可以

8、通過(guò)“拷貝一一轉(zhuǎn)置一一粘帖”的方式補(bǔ)充空白部分。GHIJKL 1相關(guān)系數(shù)協(xié)方差列1列2列1列2列11列11m 20.7056031列20. 7056031圖6標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差求協(xié)方差的方法是在“分析工具”選項(xiàng)框中選擇“協(xié)方差”（圖7），彈出“協(xié)方差”選項(xiàng)框（圖8），具體設(shè)置與“相關(guān)系數(shù)”類似，不贅述。結(jié)果見圖 6,可以看出， 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)而言，協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣完全一樣。因此，二者任取其一即可。圖7在分析工具選項(xiàng)框中選擇“協(xié)方差”圖8協(xié)方差選項(xiàng)框計(jì)算特征根。我們已經(jīng)得到相關(guān)系數(shù)矩陣為1C 0.70560.70561 ，而二階單位矩陣為于是根據(jù)公式det（ I1010.705

9、610.7056010.705610.705610 ,我們有C)0按照行列式化為代數(shù)式的規(guī)則可得（1）2根據(jù)一元二次方程的求根公式，當(dāng)0.705622b 4ac20.50210時(shí)，我們有b2 4acR）。這便是求標(biāo)準(zhǔn)正父向量。將1代入矩陣方程（1 C）0 ,得到0.70560.70561 00.70560.70562 0在系數(shù)矩陣I C中，用第一行加第二行,化為0.70560.70561 0002 0由此得12，令11，則有21，于是得基礎(chǔ)解系10.70712a據(jù)此解得1 1.7056，2 0.2944 （對(duì)于本例，顯然1 1 R，2 1相關(guān)系數(shù)矩陣的兩個(gè)特征根。1 '單位化為e10.

10、707111 '單位化為e20.70710.7071單位化的公式為 ei i (i 1,2 ):2 2/ 1 2完全類似，將 2代入矩陣方程（I C)0，得到0.70560.7056100.70560.705620用系數(shù)矩陣的第二行減去第一行，化為0.70560.7056100020于是得到12，取11，則有21，因此得基礎(chǔ)解系為這里e-i、e2便是標(biāo)準(zhǔn)正交向量。求對(duì)角陣。首先建立標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣 P,即有0.70710.7071P 6e20.70710.7071該矩陣的一個(gè)特殊性質(zhì)便是PT P1，即矩陣的轉(zhuǎn)置等于矩陣的逆。根據(jù)DPTCP，可知0.70710.707110.7056 0.7

11、0710.70711.70560D0.70710.70710.705610.70710.707100.2934下面說(shuō)明一下利用 Excel進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算的方法。矩陣乘法的命令為mmult，語(yǔ)法是mmult （矩陣1的單元格范圍，矩陣 2的單元格范圍）。例如，用矩陣PT與矩陣C相 乘，首先選擇一個(gè)輸出區(qū)域如G1:H2,然后輸入“ =mmult（A1:B2,C1:D2） ”，然后按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵（圖 9），即可給出1.206044 1.2060440.20817 -0.20817再用乘得的結(jié)果與 P陣相乘，便得對(duì)角矩陣1.705603000.294397如果希望一步到位

12、也不難，選定輸出區(qū)域如C3:D4，然后輸入“ =mmult（mmult（A1:B2,C1:D2）,E1:F2） ” （圖 10），同時(shí)按下“Ctrl+Shift+Enter ”鍵，立即得到結(jié)果（圖11）。顯然，對(duì)角矩陣對(duì)角線的數(shù)值恰是相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值。SUNTX= =irnRdt (AlbcDEFG|H10. 707107o, vonor; l.oocojo0.7C5503! 0. 7U71OTo. ronor20, 707107-0.707107 ! 0.7056J3l.OOOOOOi 0. 707107-0. TO7107|l圖9矩陣乘法示例SUMX= =imiiult (nnmilt

13、 (Al : B2, Cl; D2), El : F2)ABCDHF |10, 7071070. 7071071.0000000. 7056030.7071070. 707107：20. 707107-0. T0T1070. 7056031.000000:0.707107-0. 70710734MFJULT5678kS11121314Arrayl mnnilt (ALCl : C2)打.20&043T869442EArr4y2|£L FZ3忸 TnriceTeiiMS*=1.70560346031239, :返回兩數(shù)爼楚陣的乘釈,武中 S 的行數(shù)與后廿郵2的列數(shù)相等°

14、;"幕蠶野時(shí)映第卄的腮應(yīng)冷二說(shuō)計(jì)直詰果=1- TO3QO340確定取消 |圖10矩陣連乘的命令與語(yǔ)法10.7056 x11.70560X1X2cccZ1Z2小0.70561X200.2944Z2至此，標(biāo)準(zhǔn)化的原始變量 x與主成分之間z之間可以表作 Sg c T 嶋宋煉1C33=(=I1ULT(IMULTCA1 ：B2f Cl: D2)f El: F2) k |B cE EF10.7071070. 7071071.1)00000d 7056030.707107G 7071072-0, 7071070. 705603L 0000000. 707107-070710731.705&

15、030400.29439T顯然Z-I與z2之間正交。圖11乘法結(jié)果：對(duì)角矩陣 根據(jù)特征根計(jì)算累計(jì)方差貢獻(xiàn)率?，F(xiàn)已求得第一特征根為11.7056，第二特征根為2 0.2944，二者之和剛好就是矩陣的維數(shù)，即有12 m 2，這里m=2為變量數(shù)目(注意前面的n=25為樣本數(shù)目)。比較圖 6或圖10中給出的相關(guān)系數(shù)矩陣 C與圖11 中給出的對(duì)角矩陣 D 可以看出，Tr.(C)=1+1=2，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2 ，即有 Tr.(C)= Tr.(D)，可見將相關(guān)系數(shù)亦即協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為對(duì)角矩陣以后，矩陣的跡(trace，即對(duì)角線元素之和)沒有改變，這意味著將原始變量化為主成分以后，

16、系統(tǒng)的信息量沒有減 少。現(xiàn)在問題是，如果我們只取一個(gè)主成分代表原來(lái)的兩個(gè)變量，能反映原始變量的多少 信息？這個(gè)問題可以借助相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根來(lái)判斷。利用Excel容易算出，第一特征根占特征根總和即矩陣維數(shù)的85.28% (見下表)，即有特征根 累計(jì)值 百分比 累計(jì)百分比1.705603 1.70560385.28%85.28%0.294397214.72%100.00%也就是說(shuō)：,:1.7056 ,/m 1.7056/285.28%2 : 0.2944 ,2 /m 0.2944/m 14.72%12 : 2, ( 12)/m2/2100%這表明，如果僅取第一個(gè)主成分，可以反映原來(lái)數(shù)據(jù)85.2

17、8%的信息一一換言之，舍棄第二個(gè)主成分，原來(lái)數(shù)據(jù)的信息僅僅損失14.72%，但分析變量的自由度卻減少一個(gè)，整個(gè)分析將會(huì)顯得更加簡(jiǎn)明。計(jì)算主成分載荷。根據(jù)公式j(luò) . j ej，容易算出0.70710.92351 1.70560.70710.92350.70710.38372 0.29440.70710.3837計(jì)算公因子方差和方差貢獻(xiàn)。根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果可以比較公因子方差和方差貢獻(xiàn)。再 考慮全部的兩個(gè)主成分的時(shí)候，對(duì)應(yīng)于1和2的公因子方差分別為2 2 2V1ij 0.92352 0.38372 1jV ij20.92352( 0.3837)21j對(duì)應(yīng)于第一主成分Z1和第二主成分Z2的方差貢獻(xiàn)分別為

18、CV1耳 0.923520.923521.7056i2 2CV2ij 0.3837( 0.3837)0.2944i可以看出(圖12)：第一，方差貢獻(xiàn)等于對(duì)應(yīng)主成分的特征根，即有CVj j第二，公因子方差相等或彼此接近，即有V1 V2第一，公因子方差之和等于方差貢獻(xiàn)之和，即有ViCVjm 2ij第一個(gè)規(guī)律是我們決定提取主成分?jǐn)?shù)目的判據(jù)與之一，第二個(gè)規(guī)律是我們判斷提取主成分 數(shù)目是否合適的判據(jù)之一，第三個(gè)規(guī)律是我們判斷提取主成分后是否損失信息的判據(jù)之 一。去掉次要的主成分以后，上述規(guī)律理當(dāng)仍然滿足。這時(shí)如果第二個(gè)規(guī)律不滿足，就意 味著主成分的提取是不合適的。此外，上述規(guī)律也是我們檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正

19、確的判據(jù)之OABCFG1記入全部（兩個(gè)）主成分只考慮第一主成分2第一主成分第二主成分公因子方差第一主成分公因子方差3長(zhǎng)度兀10.9234T2650. 383664251長(zhǎng)度心0. 923472650.8528024寬度X20. 9234比65-0. 38366431寬度廠0. 923472650.8528025方差貢獻(xiàn)1-7056030. 2943972方差貢獻(xiàn)1_ 7056031.7056036特征根人1.7056030.294397特征根h1.705G03圖12公因子方差、方差貢獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果及其與特征根的貢獻(xiàn)計(jì)算主成分得分。根據(jù)主成分與原始變量的關(guān)系，應(yīng)有Z PTX 或者二"UL

20、T確走X PZ對(duì)于本例而言，式中、,XiZZiPe11ei20.70710.7071X，eie2X2Z2e21 e220.70710.7071這里U創(chuàng)ei2 T，e2e21e22T為前面計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量。于是有Zi0.70710.7071x1Z20.70710.7071 x2化為代數(shù)形式便是Zi0.7071X10.7071X2Z20.7071X10.7071X2式中的X均為標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)。對(duì)ZPTX進(jìn)行轉(zhuǎn)置，可得ZT XTP1NMULT2Arr&yl5J = -1.7Sa044&64213JArrty2|EEiF3- 0.7O71OS70119&S<EUMEDEF

21、G5=-2. 5nOD13T05O891LO 返回兩數(shù)霓矩陣的集釈 > 苴中Arvyl的行數(shù)與 Z垃的列勘相等.卄直踣果二-2 540013T05圖13計(jì)算特征向量的公式及語(yǔ)法ABcDEFH |1樣本騙號(hào)斷標(biāo)屯標(biāo)飆h特征向量引持征同量即謂分亞得分231-1.7860447-1. 8060771長(zhǎng)度0. 7071068O'. 7071063-2. 540010. 0141652-1. 5593893-0.1414899寬度0. 7071058-0. 70711-1. 2027-1.0026143-1.1060784-1. 1818569-1, 617310. 05358354-1.

22、1060734-0. 55T636F-1.17642-0. 3878L65-1.1060784-0. 1414899-0. 88216-0 6820T7&-0. 879425-1. 8060771-L 呂9894CL 65524387-0. 8794230. 4827303-0. 2805-0. 9631993-0. 6527676-0. 3495633-0. 70375-0, 2144109-0. 4261122-1. 1318569-1.13701CL 5343921110-0. 4261122-0. 5576367-0. 695620, 0930021211-0. 4261122

23、0. 69030370.187165-0. 73978131412-0.1994S6S-0. 7657101-0. 6324S0. 4QQ402130. 027198650.274656890.213444-0.1749815140. 25385407-0. 14148990.0794530.2795516150. 253854070.066583490.2265840.1324217160. 4SO50948-0. 9737835-0. 34S81.028341S170.480509480. 69030370. 328243-0.148719180.480509480. 8988771097

24、5374-0. 29583201.9j. 430509421. 315023'Jl1. 269634-0.5900921200. 707164-0. 7657101-0. 04141.0414822210. 933820320. 4827303L001653CX 31896923221.307131150. 48273031.3221920, ,95082425231.38713115L315023911.910712605082241.613786571.731170722.365242-0. 08326242. 06709741.939244122.83291127、 > &

25、gt;力差11h差1.T05&0.2944圖14計(jì)算主成分得分根據(jù)這個(gè)式子，利用 Excel計(jì)算主成分得分的步驟如下： 將特征向量復(fù)制到標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的附近； 選中一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)占據(jù)范圍一樣大小的數(shù)值區(qū)域（如G2:H26）; 輸入如下計(jì)算公式“ =mmult（標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的范圍，特征向量的范圍）”，在本例中就是“ =MMULT（B2:C26,E2:F3） ” （圖 13）； 同時(shí)按下“ Ctrl+Shift+Enter”鍵。 計(jì)算主成分得分的均值和方差，可以發(fā)現(xiàn)，均值為 0 （由于誤差之故，約等于 0），方 差等于特征根。 最后，可以對(duì)主成分得分進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。已知主成分得分的均值為0,我們不

26、按總體方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，而按樣本方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。ABCDE1祥本序號(hào)習(xí)得分氐得分標(biāo)準(zhǔn)化星標(biāo)準(zhǔn)化卻21-2. 5400140.01416E-1.9056040. 025579332-1. 202703T. 002606-0.002308-1.81050543-L 6173150.0535S3-1.2137390. 096761J54-1.176424-0.387807-0.882593-0. 70030165-0. 882164-0.682067-0.66182-1. 23167N76-L 8989350.655243-1.4246451.183237687-0. 280504-0.963188-

27、0.210444-1.739323g8-0. 7018755-0.214398-0.531732-0. 387159109-L 137006山 534392-0. 855020. 96500471110-0. 6956160.093002-0.5218740.167942712110.187165-0.7097790.1404176-1. 4261811312-0. 6824760.400402-0.5120170. 7230446140. 2134440.1TU9T90.160133-0. 31597315140. 0794530.2795500.05960870. 5048117lfl15

28、0. 2265840.1324200.16999060. 2391244L7P 16-0. 3487971.02S340工 2&1681. 856975618抹0. 828243-0.1487000.6213762-0, 26352319180. 975374-0.2958310.7317582-0. 534212019L 269634-0.5900910.9525221-1. 065585212D-0. 0413981.041480-0. 0310581.88070282221L 0016530.3189690.75147350. 57599323L 3221920.63950869

29、9195281.15482224笳L 9107120.0509881_43348070. 092073225242. 365242-0.0830031.7744843-0. 8329110,0904062.12534560 163254927樣本方差1.7766700.30666311圖15主成分得分的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果樣本方差的計(jì)算公式為1 n - 2Var(Xj)區(qū)Xj)n 1 i 1相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)差為jv'Var(Xj)；(XjXj) n 1 i 1標(biāo)準(zhǔn)化公式同前面給出的一樣。結(jié)果見表15。注意，這里之所以按樣本方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,主要目的是為了與 SPSS勺計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。分別以Zi、Z2為坐標(biāo)軸，將主成分得分（包括標(biāo)準(zhǔn)化的得分）點(diǎn)列標(biāo)繪于坐標(biāo)圖中， 可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)列分布沒有任何趨勢(shì)：回歸結(jié)果表明，回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)均為零，即有 a 0, b 0, R 0 （圖16,圖