提高例題相交線與平行線培優(yōu)1

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)：相交線與平行線一、知識(shí)要點(diǎn)：1.平面上兩條不重合的直線，位置關(guān)系只有兩種：相交和平行。2.兩條不同的直線，若它們只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)。3.垂直是相交的特殊情況。有關(guān)兩直線垂直，有兩個(gè)重要的結(jié)論：（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。4兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個(gè)角，在那些沒有公共頂點(diǎn)的角中，如果兩個(gè)角分別在兩條直線的同一方，并且都在第三條直線的同側(cè)，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做_ ；如果兩個(gè)角都在兩直線之間，并且分別在第三條直線的兩側(cè)，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做_ ；如果兩個(gè)角都在兩

2、直線之間，但它們?cè)诘谌龡l直線的同一旁，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做_.5平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線_.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么_.6平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成：_.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成：_.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成：_.7在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線_ .8平行線的性質(zhì)：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成： .兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)

3、單說成：_.兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成：_。.方法指導(dǎo)：平行線中要理解平行公理，能熟練地找出“三線八角”圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并會(huì)運(yùn)用與“三線八角”有關(guān)的平行線的判定定理和性質(zhì)定理，利用平行公理及其推論證明或求解。二、例題精講例1如圖(1)，直線a與b平行，1(3x+70)°,2=(5x+22)°,求3的度數(shù)。解：ab，34（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）1+32+4180°(平角的定義)12 (等式性質(zhì))則3x+705x+22解得x=24 即1142°3180°-138° 圖(1)評(píng)注：建立角度之間的

4、關(guān)系，即建立方程（組），是幾何計(jì)算常用的方法。例2已知：如圖(2)， ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D =192°，B-D=24°，求GEF的度數(shù)。解：ABEFCD B=BEF，DEF=D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） B+BED+D =192°（已知） 即B+BEF+DEF+D=192°2（B+D）=192°（等量代換）則B+D=96°（等式性質(zhì)）B-D=24°（已知） 圖(2)B=60°（等式性質(zhì)） 即BEF=60°（等量代換） EG平分BEF（已知）GEF=BEF=30°（角平分線

5、定義）例3如圖（3），已知ABCD，且B=40°，D=70°，求DEB的度數(shù)。解：過E作EFABABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40° DEF=D=70°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DEB=DEF-BEF DEB =D-B=30° 評(píng)注：證明或解有關(guān)直線平行的問題時(shí)，如果不構(gòu)成“三線八角”，則應(yīng)添出輔助線。圖（3）例4已知銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，而ha，hb，hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高線長(zhǎng)，求證：ha+hb+hca+b+c分析：對(duì)應(yīng)邊上的高看作垂線段，而鄰邊看作斜線段證明：由垂線段最短知，hac ，hba，hcb以上三式

6、相加得ha+hb+hca+b+c研究垂直關(guān)系應(yīng)掌握好垂線的性質(zhì)。1 以過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線。2 垂線段最短。例5如圖（4），直線AB與CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H，求證EF與GH必相交。分析：欲證EF與GH相交，直接證很困難，可考慮用反證法。證明：假設(shè)EF與GH不相交。EF、GH是兩條不同的直線EFGHEFABGHAB又因GHCD故ABCD (垂直于同一直線的兩直線平行)圖（4）這與已知AB和CD相交矛盾。所以EF與GH不平行，即EF與GH必相交評(píng)注：本題應(yīng)用結(jié)論：(1) 垂直于同一條直線的兩直線平行。(2) 兩條平行線中的一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也

7、平行于第三條直線；例6平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點(diǎn)，有多少個(gè)不同交點(diǎn)？解：2條直線產(chǎn)生1個(gè)交點(diǎn)，第3條直線與前面2條均相交，增加2個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上3條直線共有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；第4條直線與前面3條均相交，增加3個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上4條直線共有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；則n條直線共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)評(píng)注：此題是平面上n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情形，需要仔細(xì)觀察，由簡(jiǎn)及繁，深入思考，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例76個(gè)不同的點(diǎn)，其中只有3點(diǎn)在同一條直線上，2點(diǎn)確定一條直線，問能確定多少條直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點(diǎn)中

8、重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點(diǎn)所在的直線外的3點(diǎn)間最多能確定3條直線，這3點(diǎn)與直線上的3點(diǎn)最多有3×3=9條直線，加上3點(diǎn)所在的直線共有：3+9+1=13條評(píng)注：一般地，平面上n個(gè)點(diǎn)最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例810條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？解：2條直線最多將平面分成2+2=4個(gè)不同區(qū)域；3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個(gè)交點(diǎn)，此直線被這兩點(diǎn)分成3段，每一段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3個(gè)，即最多分成2+2+3=7個(gè)不同區(qū)域；同理：4條直線最多分成2+2+3+4=11個(gè)不同

9、區(qū)域； 10條直線最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個(gè)不同區(qū)域推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)塊不同的區(qū)域思考：平面內(nèi)n個(gè)圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？例9平面上n條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個(gè)角不大于證明：平面上n條直線兩兩相交最多得對(duì)頂角×2n(n-1)對(duì)，即2n(n-1)個(gè)角平面上任取一點(diǎn)O，將這n條直線均平行移動(dòng)過點(diǎn)O，成為交于一點(diǎn)O的n條直線，這n條直線將以O(shè)為頂點(diǎn)的圓周角分為2n個(gè)（共n對(duì)）互不重疊的角：a1、a2、a3、a2n由平行線的性質(zhì)知，這2n個(gè)角中每一個(gè)都和

10、原來n條直線中的某兩條直線的交角中的一個(gè)角相等，即這2n個(gè)角均是原2n(n-1)個(gè)角中的角。若這2n個(gè)角均大于，則a1+a2+a3+a2n 2n×=360°,而 a1+a2+a3+a2n =360°,產(chǎn)生矛盾故a1、a2、a3、a2n中至少有一個(gè)小于，即原來的2n(n-1) 中至少有一個(gè)角不小于評(píng)注：通過平移，可以把原來分散的直線集中交于同一點(diǎn)，從而解決問題。例10（a）請(qǐng)你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，并簡(jiǎn)單說明畫法。（b）能否在平面上畫出7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，如

11、果能請(qǐng)畫出一例，如果不能請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。解：（a）在平面上任取一點(diǎn)A。過A作兩直線m1與n1。在n1 上取兩點(diǎn)B，C，在m1上取兩點(diǎn)D，G。過B作m2m1，過C作m3m1，過D作n2n1，過G作n3n1，這時(shí)m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四點(diǎn)，如圖所示。由于彼此平行的直線不相交，所以，圖中每條直線都恰與另3條直線相交。（b）在平面上不能畫出沒有3線共點(diǎn)的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外3條直線相交。理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，又沒有3條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3個(gè)不同的交點(diǎn)。根據(jù)直線去計(jì)數(shù)這些交點(diǎn)

12、，共有3×721個(gè)交點(diǎn)，但每個(gè)交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計(jì)數(shù)一次，所以這7條直線交點(diǎn)總數(shù)為10.5個(gè)，因?yàn)榻稽c(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)為整數(shù)，矛盾。所以，滿足題設(shè)條件的7條直線是畫不出來的。三、鞏固練習(xí)1平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中僅有3點(diǎn)在同一直線上，過每2點(diǎn)作一條直線，一共可以作直線（）條A6B 7C8D92平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A3B1或3C1或2或3D不一定是1，2，33平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點(diǎn)，則截得不重疊線段共有（）A36條B33條C24條D21條4已知平面中有個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，四個(gè)點(diǎn)也在一條直線上，除些之外，再?zèng)]有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這個(gè)點(diǎn)作一條直線，那

13、么一共可以畫出38條不同的直線，這時(shí)等于（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直線AB、CD與相交直線EF、GH相交成如圖示的圖形，則共得同旁內(nèi)角（）A4對(duì)B8對(duì)C12對(duì)D16對(duì)6如圖，已知FDBE，則1+2-3=( )A90°B135°C150°D180° 第7題 7如圖，已知ABCD，1=2，則E與F的大小關(guān)系 ；8平面上有5個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)都連一條直線，問除了原有的5點(diǎn)之外這些直線最多還有 交點(diǎn)9平面上3條直線最多可分平面為 個(gè)部分。10如圖，已知ABCDEF，PSGH于P，F(xiàn)RG=110°，則PSQ 。11已知A、B是

14、直線L外的兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 。12平面內(nèi)有4條直線，無論其關(guān)系如何，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不會(huì)超過 個(gè)。13已知：如圖，DECB ，求證：AED=A+B14已知：如圖，ABCD，求證：B+D+F=E+G第13題 第14題15如圖，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD =90°，求證：DAAB16平面上兩個(gè)圓三條直線，最多有多少不同的交點(diǎn)？17平面上5個(gè)圓兩兩相交，最多有多少個(gè)不同的交點(diǎn)？最多將平面分成多少塊區(qū)域？18一直線上5點(diǎn)與直線外3點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)確定一條直線，最多確定多少條不同直線？19平面上有8條直線兩兩相交，試證明在所有的交角中至少

15、有一個(gè)角小于23°。20平面上有10條直線，無任何三條交于一點(diǎn)，欲使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，怎樣安排才能辦到？畫出圖形。答案1 5個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可以作4+3+2+110條直線，在一直線上的3個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可作2+13條，共可作10-3+18（條）故選C2平面上3條直線可能平行或重合。故選D3對(duì)于3條共點(diǎn)的直線，每條直線上有4個(gè)交點(diǎn)，截得3條不重疊的線段，3條直線共有9條不重疊的線段對(duì)于3條不共點(diǎn)的直線，每條直線上有5個(gè)交點(diǎn)，截得4條不重疊的線段，3條直線共有12條不重疊的線段。故共有21條不重疊的線段。故選D4由個(gè)點(diǎn)中每次選取兩個(gè)點(diǎn)連直線，可以畫出條直線，若三點(diǎn)不在一條直線上，可以畫

16、出3條直線，若四點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出6條直線， 整理得 n+90 選B。5直線EF、GH分別“截”平行直線AB、CD，各得2對(duì)同旁內(nèi)角，共4對(duì)；直線AB、CD分別“截”相交直線EF、GH，各得6對(duì)同旁內(nèi)角，共12對(duì)。因此圖中共有同旁內(nèi)角4+616對(duì)6FDBE2=AGFAGC=1-31+2-3=AGC+AGF=180° 選B7解：ABCD （已知） BAD=CDA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 1=2（已知）BAD+1=CDA+2（等式性質(zhì)） 即EAD=FDA AEFD EF8解：每?jī)牲c(diǎn)可確定一條直線，這5點(diǎn)最多可組成10條直線，又每?jī)蓷l直線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為9+8+7

17、+6+5+4+3+2+145（個(gè)）又因平面上這5個(gè)點(diǎn)與其余4個(gè)點(diǎn)均有4條連線，這四條直線共有3+2+16個(gè)交點(diǎn)與平面上這一點(diǎn)重合應(yīng)去掉，共應(yīng)去掉5×6=30個(gè)交點(diǎn)，所以有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)為45-3015個(gè)9可分7個(gè)部分10解 ABCDEFAPQDQG=FRG=110°同理PSQ=APSPSQ=APQ-SPQ=DQG-SPQ=110°-90°=20°11 0個(gè)、1個(gè)或無數(shù)個(gè)1）若線段AB的垂直平分線就是L，則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是無數(shù)個(gè)；2）若ABL，但L不是AB的垂直平分線，則此時(shí)AB的垂直平分線與L是平行的關(guān)系，所以它們沒有公共點(diǎn)，即公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)；

18、3）若AB與L不垂直，那么AB的垂直平分線與直線L一定相交，所以此時(shí)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)124條直線兩兩相交最多有1+2+36個(gè)交點(diǎn)13證明：過E作EFBA2=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DECB，EFBA 1=B（兩個(gè)角的兩邊分別平行，這兩個(gè)角相等） 1+2=B+A（等式性質(zhì)）即AED=A+B 14證明：分別過點(diǎn)E、F、G作AB的平行線EH、PF、GQ，則ABEHPFGQ（平行公理）ABEH ABEBEH（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDCABE+EFP+PFG+GDCBEH+HEF+FGQ+QGD（等式性質(zhì)）即B+D+EFG=BEF+GFD15證明：DE平分C

19、DA CE平分BCDEDC=ADE ECD =BCE(角平分線定義)CDA +BCD=EDC+ADE+ECD+BCE=2（EDC+ECD）180°DACB又CBABDAAB16兩個(gè)圓最多有兩個(gè)交點(diǎn)，每條直線與兩個(gè)圓最多有4個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+4×3+3=1717（1）2個(gè)圓相交有交點(diǎn)2×11個(gè)，第3個(gè)圓與前兩個(gè)圓相交最多增加2×24個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+2×26個(gè)第4個(gè)圓與前3個(gè)圓相交最多增加2×36個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+2×2+2×312個(gè)第5個(gè)圓與前4個(gè)圓相交最多增加2×48個(gè)交點(diǎn)5個(gè)圓兩兩相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+2×2+2×3+2×420（2）2個(gè)圓相交將平面分成2個(gè)區(qū)域3個(gè)圓相看作第3個(gè)圓與前2個(gè)圓相交，最多有2×24個(gè)不同的交點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)將第3個(gè)圓分成4段弧，每一段弧將它所在的區(qū)域一分為二，故增加2×24塊區(qū)域，這時(shí)平面共有區(qū)域：2+2×26塊4個(gè)圓相看作第4個(gè)圓與前3個(gè)圓相交，最多有2