勾股定理講義

1、勾股定理一、知識梳理1勾股定理(1) 勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平 方如果直角三角形的兩條直角邊長分別是 a, b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.(2) 勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中(3) 勾股定理公式 a2+b2=c2 的變形有：a2=c2 - b2, b2= c 2- a2及 c2=a2+b2.(4) 由于a2+b2=c2a2，所以c a，同理c b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中 的每一條直角邊.2. 直角三角形的性質(zhì)( 1)有一個角為 90的三角形,叫做直角三角形.( 2)直角三角形是一種特殊的三角形,它除了具有一般三角

2、形的性質(zhì)外,具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì) 1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理).性質(zhì) 2：在直角三角形中,兩個銳角互余.性質(zhì) 3：在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊的中點)性質(zhì) 4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì) 5： 在直角三角形中,如果有一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中,如果有一條直角邊等于斜邊的一半,那么 這條直角邊所對的銳角等于 30.3. 勾股定理的應(yīng)用( 1 )在不規(guī)則的幾何圖形中,通常添加輔助線得到直角三角形.(2) 在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是

3、解決實際問題常用的方法, 關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型,畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思 想的應(yīng)用.(3) 常見的類型： 勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度. 由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形, 以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和. 勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問 題.勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成 直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊.4 .平面展開-最短路徑問題(1) 平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖

4、形展開成平面圖形后，再確定兩點之 間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決 問題.(2) 關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在 解決有關(guān)結(jié)合問題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.二、經(jīng)典例題+基礎(chǔ)練習(xí)1. 勾股定理.【例1】已知 ABC中，AB=17, AC=10 BC邊上的高AD=8則邊BC的長為()A 21 B . 15C. 6D.以上答案都不對.練1.在厶ABC中，AB=15 AC=13 BC上的高 AD長為12,則厶ABC的面積為()A. 84B . 24 C. 24 或 84D . 42 或 84練 2.

5、如圖所示， AB=BC=CD=DE=1AB丄 BC AC丄 CD AD丄 DE 貝U AE=()A. 1B.二C .；D. 22. 等腰直角三角形.【例2】已知 ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜邊AC為直角邊，畫第 二個等腰Rt ACD再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 Rt ADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的面積是()C . 2nD.2n+1練3將一等腰直角三角形紙片對折后再對折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余部分展開后的平面圖形是（）D.3. 等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理.【例3】以邊長為2厘米的正三角形的高為邊長作第二個正三角形，以

6、第二個正三角形的高為邊長作第三個正三角形，以此類推，則第十個正三角形的邊長是（）A.2X (工_：) 10厘米 B . 2X(_) 9厘米2 2C. 2X （二 10厘米 D. 2X（2 2練4.等邊三角形 ABC的邊長是4，以AB邊所在的直線為x軸，AB邊的中點為原點，建立 直角坐標(biāo)系，則頂點 C的坐標(biāo)為 .4. 勾股定理的應(yīng)用.【例4】工人師傅從一根長 90cm的鋼條上截取一段后恰好與兩根長分別為60cm 100cm的鋼條一起焊接成一個直角三角形鋼架，則截取下來的鋼條長應(yīng)為（）A. 80cmB .IlC . 80cm 或.|T i D . 60cm練5.現(xiàn)有兩根鐵棒，它們的長分別為2米和3

7、米，如果想焊一個直角三角形鐵架，那么第三根鐵棒的長為（）A.|米B. 米C.*米或米D . - I*米5. 平面展開-最短路徑問題.【例5】如圖A, 圓柱體的底面周長為24cm,高BD為4cm, BC是直徑，一只螞蟻從點 D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程大約是（A 6cmB . 12cmC. 13cmD. 16cm5|CFiJcdA練6.如圖是一個長4m寬3m,高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的 A處（長的四等分）有一B只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（）A 4.8三、課堂練習(xí)1. 已知兩邊的長分別為8, 15,若要組成一個直角三角形，則第三邊應(yīng)該為（）A.不

8、能確定B .卜市C . 17D. 17或.一2.在厶ABC中，/A / B、/ C的對邊分別是 a、b、c,若/ A:/ B:/ C=1: 2: 3.則a: b: c=( )A . 1:；: 2B.:；: 1: 2C . 1 : 1 : 2D . 1: 2: 33直角三角形的兩邊長分別為3厘米，4厘米，則這個直角三角形的周長為（）A. 12厘米B . 15厘米C . 12或15厘米 D . 12或（7+. 7）厘米4. 有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹 米之外才是安全的.5. 如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3m處折斷

9、倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為 m.6. 在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且大于 AD,木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點 A處,到達(dá)C處需要走的最短路程是 米.（精確到0.01米）四、能力提升1若一個直角三角形的三邊長分別為3，4，x，則滿足此三角形的x值為（A. 52 已知直角三角形有兩條邊的長分別是3cm, 4cm那么第三條邊的長是（A. 5cmB .計-cm3.已知 Rt ABC中的三邊長為 a、b、.5cm 或-；：cm c，若 a=8,D .；cmb=15，那么c2等于（A. 161B

10、. 289.225.161 或 2894. 一個等腰三角形的腰長為5,底邊上的高為4,這個等腰三角形的周長是A. 12B . 13C . 16.185. 長方體的長、寬、高分別為8cm,4cm, 5cm . 一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是cm.D .沒有6. 如圖所示一棱長為 3cm的正方體，把所有的面均分成3X 3個小正方形.其邊長都為1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下底面點 A沿表面爬行至側(cè)面的 B點，最少要用秒鐘.7. 如圖，一個長方體盒子，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子的表面上爬到點C,已知AB=5cm BC=3cm CG=4cm,則這只螞蟻爬行

11、的最短路程是 cm.&如圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是 米.5X 6X 10 （單位：cm）,在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm,小孔到圖中邊AB距離為1cm,到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的管長為hem,則h的最小值大約為 9如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為cm.（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：.x 1.4 ,1.7 ,口 2.2 ）.吸管mm,計算10如圖是一個外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位:兩圓孔中心A和B的距離為mm勾股定理的逆定理一、知識點梳理

12、1勾股定理的逆定理(1) 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a, b, c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就 是直角三角形說明： 勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等 勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形必須 滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷(2) 運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角然后進(jìn)一步結(jié)合 其他已知條件來解決問題.注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小 的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形； 否則不是.2. 勾股定理的應(yīng)用(1 )在不規(guī)則的

13、幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.(2) 在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法， 關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.(3) 常見的類型： 勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度. 由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和. 勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題. 勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是 兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊.3 .平

14、面展開-最短路徑問題(1) 平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之 間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決 問題.(2) 關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在 解決有關(guān)結(jié)合問題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.4. 方向角(1) 方位角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向.(2) 用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.(注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南

15、，西北，西南.)(3 )畫方位角以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.5三角形的面積(1 )三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即Sa = - X底X高.2(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.6. 作圖一復(fù)雜作圖復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本 作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.7坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、 點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：到x軸的距離與 縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)

16、可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?2、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補”法 去解決問題.二、經(jīng)典例題+基礎(chǔ)練習(xí)1. 勾股定理的逆定理.)C . a=2, b=4, c=5)5, 9, 12D. 3, 4, 6【例1】下列四組線段中，能組成直角三角形的是(A a=1, b=2, c=3 B . a=2, b=3, c=4D. a=3, b=4, c=5練1.下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是(A 30, 40, 50 B . 7,

17、 12, 13 C練2.下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A.二，匚 B. 1, ，； C. 6, 7, 8 D. 2，3，42. 勾股定理的應(yīng)用.【例2】如圖，有兩顆樹，一顆高 10米，另一顆高4米，兩樹相距8米一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A 8 米 B. 10 米 C. 12 米 D. 14 米 練3.如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為（）B. 13mA. 12mC. 16mD. 17m3. 平面展

18、開-最短路徑冋題.【例3】如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部 3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且 離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A. 13cmB . 2cmC. cmD . 2回 cm練4.如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點 A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B,如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為4 勾股定理的應(yīng)用：方向角.【例4】已知A,B,C三地位置如圖所示，/C=90,A,C兩地的距離是 4km,B, C兩地的距離是3km,貝U A, B兩地的距離是 km；若A地在C地的

19、正東方向，則 B地在C地的 方向.練5.如圖，小明從 A地沿北偏東60方向走2千米到B地，再從B地正南方向走3千米 到C地，此時小明距離 A地_千米（結(jié)果可保留根號）.5. 坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理的逆定理.【例5】在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A （- 2, 2）, B （ 3, 2）, C是坐標(biāo)軸上的一點，若ABC是直角三角形，則滿足條件的點共有（）A. 1個B. 2個C. 4個D. 6個練6.在平面直角坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)為（1 , 1）,點B的坐標(biāo)為（11, 1）,點C到直線AB的距離為4，且 ABC是直角三角形，則滿足條件的點C有個.三、課堂練習(xí)1如圖，有兩棵樹，一棵高 12米，另一棵高

20、6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，問小鳥至少飛行 米.2.如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距3 一米,小聰身高 AB為1.7米，則這棵樹的高度=米.C3如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，/ MAD=45，/ MBC=30，則警示牌的高 CD為米（結(jié)果精確到0.1 米，參考數(shù)據(jù)：1.41 ,1.73 ）.C第羹遷盟、一P 、郭巧M 且B4在底面直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為 cm.（結(jié)果保

21、留n）B5 .如圖，點 E是正方形 ABCD內(nèi)的一點，連接 AE BE、CE將厶ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90 到厶 CBE 的位置.若 AE=1, BE=2, CE=3 則/ BE C 度.四、能力提升1下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A. 4, 5, 6B . 1.5 , 2, 2.5 C . 2, 3, 4D . 1 ,:, 32若a、b、c為三角形三邊，則下列各項中不能構(gòu)成直角三角形的是（）A. a=7, b=24, c=25 B . a=5, b=13, c=12C. a=1, b=2, c=3 D . a=30, b=40, c=503以下各組數(shù)為邊長的三角形中，能組成直角三

22、角形的是（）A. 3、4、6B . 9、12、15 C . 5、12、14 D . 10、16、254. 工人師傅從一根長 90cm的鋼條上截取一段后恰好與兩根長分別為60cm 100cm的鋼條一起焊接成一個直角三角形鋼架，則截取下來的鋼條長應(yīng)為（）A. 80cmB I C . 80cm 或.J. i. j. ii D. 60cm5. 現(xiàn)有兩根鐵棒，它們的長分別為2米和3米，如果想焊一個直角三角形鐵架，那么第三根鐵棒的長為（）A.T米B . . -米C .以米或仃米D .：；米6. 現(xiàn)有兩根木棒的長度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個直角三角形框架，那么所需木棒的長一定為（）A. 30厘米

23、B . 40厘米C . 50厘米 D.以上都不對7. 如圖A 一圓柱體的底面周長為24cm,高BD為4cm, BC是直徑，一只螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程大約是（）A . 6cmB . 12cmC13cmD . 16cm&如圖所示，是一個圓柱體，ABCD是它的一個橫截面， AB=, BC=3 一只螞蟻，要從 A7T點爬行到C點，那么，最近的路程長為（）A. 7B.C八.D.5V兀9 有一長、寬、高分別是5cm 4cm, 3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點B處，則需要爬行的最短路徑長為( )A. 5 一 ：cmB cm

24、 C 4 口cmD . 3. icm10.在平面直角坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)為（1 , 1）,點B的坐標(biāo)為（11, 1），點C到直線AB的距離為4，且 ABC是直角三角形，則滿足條件的點C有個.11 設(shè)ab,如果a+b, a - b是三角形較小的兩條邊，當(dāng)?shù)谌叺扔?時，這個三角形為直角三角形.12. 有一棵9米高的大樹，樹下有一個 1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹 米之外才是安全的.13. 如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為 m.1J Am *114. “為了安全，請勿超速” 如圖，一條公

25、路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點 C,從觀測點C測得一小車從點A到達(dá)點B行駛了 5秒鐘，已知/ CAN=45，/ CBN=60 , BC=200米，此車超速15校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組進(jìn)行了測試汽車速度的實驗，如圖，先在筆直的公路I旁選取一點A,在公路I上確定點B、C,使得ACL I，/ BAC=60，再在 AC上確定點 D,使得/BDC=75，測得AD=40米，已知本路段對校車限速是50千米/時，若測得某校車從 B到C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理

26、由(參考數(shù)據(jù):=1.41 ,. ：=1.73 )的傾斜角(/ ABO為60.當(dāng)木棒A端沿墻下滑至點 A時，B端沿地面向右滑行至點B.(1 )求 0B的長;(2)當(dāng)AA =1米時，求BB的長.勾股定理中的折疊問題、經(jīng)典例題例1如圖，在矩形 ABCD中，AB= 6, BC= &將矩形ABCD沿CE折疊后，使點D恰好落在 對角線AC上的點F處。（1）求EF的長；（2）求梯形ABCE勺面積。例2.如圖，在？ABC中，AB=20, AC=12, BC=1Q把？ABC折疊，使 AB落在直線AC上，求重疊部分（陰影部分）的面積.例3.如圖，矩形紙片 ABCD勺長AD=9 cm,寬AB=3 cm,將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后 DE的長是多少？例4如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6 BC=8將三角形ABC折疊,使AB落在斜邊AC上得到線段AB ,折痕為AD,求BD的長為.例5.如圖，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等）的一邊AD,點D落在BC邊的點F處，已知 AB=8cm BC=10cm求EC的長.、課堂練習(xí)1. 如圖，將邊長為 8 cm正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC中點E處,點A落在點F處，折痕為MN求線段CN的長.FDD3.把一張矩形紙片(矩形ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合,