數(shù)學(xué)建模2統(tǒng)計模型

1、數(shù)學(xué)建模論文題目： 一個醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛劑的療效，設(shè)計了一個藥物試驗，給患有同種疾病的病人使用這種新止痛劑的以下4個劑量中的某一個：2 g，5 g，7 g和10 g，并記錄每個病人病痛明顯減輕的時間（以分鐘計）. 為了解新藥的療效與病人性別和血壓有什么關(guān)系，試驗過程中研究人員把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來進行測試. 通過比較每個病人血壓的歷史數(shù)據(jù)，從低到高分成3組，分別記作0.25，0.50和0.75. 實驗結(jié)束后，公司的記錄結(jié)果見下表（性別以0表示女，1表示男）.請你為該公司建立一個數(shù)學(xué)模型，根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血壓組別，預(yù)測出服藥后病痛明顯減輕的

2、時間.病人序號病痛減輕時間min用藥劑量g性別血壓組別135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.751、 摘要在農(nóng)某醫(yī)藥公司為了掌握一種新止痛藥的療效，設(shè)計了一個藥物實驗，通過觀

3、測病人性別、血壓和用藥劑量與病痛時間的關(guān)系，預(yù)測服藥后病痛明顯減輕的時間。我們運用數(shù)學(xué)統(tǒng)計工具minitab軟件，對用藥劑量，性別和血壓組別與病痛減輕時間之間的數(shù)據(jù)進行深層次地處理并加以討論概率值P（是否<0.05）和擬合度R-Sq的值是否更大（越大，說明模型越好）。首先，假設(shè)用藥劑量、性別和血壓組別與病痛減輕時間之間具有線性關(guān)系，我們建立了模型。對模型用minitab軟件進行回歸分析，結(jié)果偏差較大，說明不是單純的線性關(guān)系，然后對不同性別分開討論，增加血壓和用藥劑量的交叉項，我們在模型的基礎(chǔ)上建立了模型，用minitab軟件進行回歸分析后，用藥劑量對病痛減輕時間不顯著，于是我們有引進了用

4、藥劑量的平方項，改進模型建立了模型，用minitab軟件進行回歸分析后，結(jié)果合理。最終確定了女性病人服藥后病痛減輕時間與用藥劑量、性別和血壓組別的關(guān)系模型：+56.1-9.32+0.26 對模型和模型關(guān)于男性病人用minitab軟件進行回歸分析，結(jié)果偏差依然較大，于是改進模型建立了模型+0.955 關(guān)鍵詞 止痛劑 藥劑量 性別 病痛減輕時間2、 問題的提出 一個醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛劑的療效，設(shè)計了一個藥物實驗，給患有同種病痛的病人使用這種新止痛劑的一下4個劑量中的某一個：2g，5g，7g和10g，并記錄每個病人病痛明顯減輕的時間（以分鐘計）。為了了解新藥的療效與病人性別和血

5、壓有什么關(guān)系，實驗過程中研究人員把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來進行測試。通過比較給個病人血壓的歷史數(shù)據(jù)，從低到高分成三組，分別記作0.25，0.50和0.75.實驗結(jié)束后，公司的記錄結(jié)果附錄1-1表（性別以0表示，1表示男）。 現(xiàn)在為公司建立一個模型，根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血組別，預(yù)測出服藥后病痛明顯減輕的時間。3、 問題的分析 假定每個患該種病的程度相差不大，即病情基本相同，根據(jù)現(xiàn)實，用藥量與病痛減輕時間會有一定的關(guān)系，一般，藥用量越高，病痛減輕時間變得越快；而更一般，男性身體素質(zhì)相對于女性來說比較強壯，病痛減輕的時間也會跟性別有關(guān)系，正常而言，身體素質(zhì)越好，病痛減輕時間越

6、快；另一個，一個人的血壓組別的高地也會影響到他的病痛減輕時間的快慢。對1-1表格中的數(shù)據(jù)進行相關(guān)分析如下：相關(guān)分析: 用藥劑量（g）, 血壓組別，知用藥劑量（g）和 血壓組別 的Pearson相關(guān)系數(shù) = 0.000 P 值 = 1.000；由此，可以看出用藥劑量與血壓組別沒有關(guān)系，如圖1-1所示 1-1圖相關(guān)分析: 用藥劑量（g）, 性別，知用藥劑量（g） 和 性別 的Pearson相關(guān)系數(shù)=0.000 P值 = 1.000；由此可以看出用藥劑量與性別相互獨立。如1-2圖所示 1-2圖根據(jù)所給數(shù)據(jù)可分別作出病痛減輕時間與用藥劑血壓組別的散點圖量，性別及如下：1-3.1圖1-3.2圖 1-3.

7、3圖4、 模型假設(shè)與符號假設(shè)假設(shè)病痛減輕時間只與用藥劑量、性別和血壓組別有關(guān),不受其他因素的影響，由以上散點圖（圖1-3.1-圖1-3.3）可以作出如下模型假設(shè)模型： 符號說明 1、為病痛減輕時間量，單位（min）； 2、表示用藥劑量 單位（g）； 3、表示性別 ； 4、 表示血壓組別； 5、 S 表示標(biāo)準(zhǔn)差； 6、 R-Sq 表示線性擬合度。5、 模型的建立î 下面用minitab軟件對分別對殘差對用藥劑量、殘差對性別和殘差對血壓組別進行繪圖，到出對應(yīng)的1-4.1圖、1-4.2圖和1-4.3圖，并對這些圖進行分析，分別可以看出殘差對用藥劑量是正常的、殘差對性別是正常的、殘差對血壓組

8、別正常的。1-4.1圖1-4.2圖1-4.3圖由1-4.11-4.3圖分析，可以用藥劑量和血壓組別的乘積表示對病痛減輕時間的交互式影響，性別對病疼減輕時間有顯著影響，因此可以對男性和女性分開討論，得到如下模型：模型 （1）對女性的進行分析如下：回歸分析: 病痛減輕時間（min） 與 用藥劑量（g）, 血壓組別, 用藥劑量及血壓組別 回歸方程為病痛減輕時間（min） = 23.1 + 0.040 用藥劑量（g） + 59.4 血壓組 別 - 10.2 用藥劑量及血壓組別交叉項即 Y=23.1+0.040+59.4-10.2自變量 系數(shù) 系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 T P常量 23.096 6.108 3.78

9、0.005用藥劑量（g） 0.0397 0.9767 0.04 0.969血壓組別 59.38 11.84 5.02 0.001用藥劑量及血壓組別 -10.163 2.021 -5.03 0.001S = 3.37051 R-Sq = 96.5% R-Sq（調(diào)整） = 95.2%方差分析來源 自由度 SS MS F P回歸 3 2486.03 828.68 72.94 0.000殘差誤差 8 90.88 11.36合計 11 2576.92來源 自由度 Seq SS用藥劑量（g） 1 2184.16血壓組別 1 14.52用藥劑量及血壓組別 1 287.36異常觀測值 用藥劑 病痛減輕時 擬合

10、值 標(biāo)準(zhǔn)化觀測值 量（g） 間（min） 擬合值 標(biāo)準(zhǔn)誤 殘差 殘差 8 7.0 11.000 17.495 1.081 -6.495 -2.03RR 表示此觀測值含有大的標(biāo)準(zhǔn)化殘差因為用藥劑量p值為0.969，所以對病痛減輕時間影響不顯著， 不妨引進用藥劑量的平方項加以討論，因此模型進一步改進為:模型 回歸分析: 病痛減輕時間（min） 與 用藥劑量（g）, 血壓組別, 用藥劑量及血壓組別, 用藥劑量的平方 回歸方程為：病痛減輕時間（min） = 31.8 - 3.49 用藥劑量（g） + 56.1 血壓組別 - 9.32 用藥劑量及血壓組別 + 0.264 用藥劑 量的平方即 +56.1-

11、9.32+0.26自變量 系數(shù) 系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 T P常量 31.779 5.755 5.52 0.001用藥劑量（g） -3.494 1.558 -2.24 0.060血壓組別 56.122 9.141 6.14 0.000用藥劑量及血壓組別 -9.322 1.579 -5.90 0.001用藥劑量的平方 0.2636 0.1020 2.58 0.036S = 2.57789 R-Sq = 98.2% R-Sq（調(diào)整） = 97.2%方差分析來源 自由度 SS MS F P回歸 4 2530.40 632.60 95.19 0.000殘差誤差 7 46.52 6.65合計 11 2576.92來

12、源 自由度 Seq SS用藥劑量（g） 1 2184.16血壓組別 1 14.52用藥劑量及血壓組別 1 287.36用藥劑量的平方 1 44.36由擬合值R-Sq = 98.2%可以確定，該模型比較合理。（2）、對男性用模型進行分析，分析結(jié)果如下:回歸分析: 病痛減輕時間（min） 與 用藥劑量（g）, 血壓組別, 用藥劑量及血壓組別 回歸方程為：病痛減輕時間（min） = 31.5 + 0.16 用藥劑量（g） + 39.0 血壓組別 - 7.59 用藥劑量及血壓組別即 Y=31.5+0.16+39.0-7.59 系數(shù)標(biāo)自變量 系數(shù) 準(zhǔn)誤 T P常量 31.48 13.71 2.30 0.

13、051用藥劑量（g） 0.157 2.055 0.08 0.941血壓組別 39.03 25.39 1.54 0.163用藥劑量及血壓組別 -7.588 3.806 -1.99 0.081S = 7.84538 R-Sq = 76.6% R-Sq（調(diào)整） = 67.9%方差分析來源 自由度 SS MS F P回歸 3 1615.27 538.42 8.75 0.007殘差誤差 8 492.40 61.55合計 11 2107.67來源 自由度 Seq SS用藥劑量（g） 1 1349.42血壓組別 1 21.13用藥劑量及血壓組別 1 244.72因為用藥劑量p值為0.941，所以對病痛減輕時

14、間影響不顯著， 不妨引進用藥劑量的平方項加以討論，因此可以利用模型進行分析： 回歸分析: 病痛減輕時間（min） 與 用藥劑量（g）, 血壓組別, 用藥劑量及血壓組別, 用藥劑量的平方 回歸方程為：病痛減輕時間（min） = 49.8 - 7.84 用藥劑量（g） + 39.0 血壓組別 - 7.59 用藥劑量及血壓組別 + 0.667 用藥劑量的平方即 +39.0-7.59+0.667自變量 系數(shù) 系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 T P常量 49.81 10.71 4.65 0.002用藥劑量（g） -7.843 2.784 -2.82 0.026血壓組別 39.03 16.96 2.30 0.055用藥劑量及

15、血壓組別 -7.588 2.543 -2.98 0.020用藥劑量的平方 0.6667 0.2018 3.30 0.013S = 5.24268 R-Sq = 90.9% R-Sq（調(diào)整） = 85.7%方差分析來源 自由度 SS MS F P回歸 4 1915.27 478.82 17.42 0.001殘差誤差 7 192.40 27.49合計 11 2107.67來源 自由度 Seq SS用藥劑量（g） 1 1349.42血壓組別 1 21.13用藥劑量及血壓組別 1 244.72用藥劑量的平方 1 300.00由此，可以看出，在男性方面血壓組別的P=0.55，對病痛減輕時間不顯著，不妨取

16、消血壓組別這個單變量，將模型進一步改進。模型 回歸分析: 病痛減輕時間（min） 與 用藥劑量（g）, 性別, 用藥劑量及血壓組別, 用藥劑量的平方 * 性別（實質(zhì)上）是常量 * 性別 已從方程中刪除?；貧w方程為：病痛減輕時間（min） = 32.8 - 4.02 用藥劑量（g） + 0.955 用藥劑量及血壓組別 + 0.00427 用藥劑量的平方 +0.955自變量 系數(shù) 系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 T P常量 32.794 3.437 9.54 0.000用藥劑量（g） -4.0229 0.5371 -7.49 0.000用藥劑量及血壓組別 0.9549 0.8562 1.12 0.297用藥劑量的平方

17、 0.0042660 0.0006143 6.94 0.000S = 3.36837 R-Sq = 95.7% R-Sq（調(diào)整） = 94.1%方差分析來源 自由度 SS MS F P回歸 3 2016.90 672.30 59.25 0.000殘差誤差 8 90.77 11.35合計 11 2107.67來源 自由度 Seq SS用藥劑量（g） 1 1349.42用藥劑量及血壓組別 1 120.36用藥劑量的平方 1 547.12異常觀測值 用藥劑 病痛減輕時 擬合值 標(biāo)準(zhǔn)化觀測值 量（g） 間（min） 擬合值 標(biāo)準(zhǔn)誤 殘差 殘差 12 10.0 5.000 0.793 2.691 4.207 2.08RR 表示此觀測值含有大的標(biāo)準(zhǔn)化殘差* 注 * 列中的所有值相同。 用藥劑量及血壓組別的P= 0.297，但是 R-Sq = 95.7% R-S