微分幾何陳維桓

1、習(xí)題答案1p.41 習(xí)題2.3 1. 求下列曲線的曲率：(2) ；(4).解. (2)，, , , .(4)，,， ，().4. 求曲線在處的曲率和密切平面方程. 解. 設(shè)曲線的弧長參數(shù)方程為, ，. 則滿足題給的方程組，所以有.對(duì)上式求導(dǎo)得. (1)再求導(dǎo)，得. (2)在處，由(1)解出，. 不妨設(shè). 所以.代入(2)得.所以，.于是.所以在處，曲率為，密切平面方程為，即.7. 證明：若一條正則曲線在各點(diǎn)的切線都經(jīng)過一個(gè)固定點(diǎn)，則它必定是一條直線. 證明. 設(shè)曲線的弧長參數(shù)方程為，它的Frenet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為. 再設(shè)定點(diǎn)為(常向量). 由條件，和都在的過點(diǎn)的切線上，所以. 故可設(shè)

2、.對(duì)上式求導(dǎo)，利用Frenet公式可得.所以，是直線. p. 47 習(xí)題2.4 1. 計(jì)算習(xí)題2.3第1題中各曲線的撓率. (2) ；(4) .解. (2) ，, ，. (4)，,， ，, (). 4. 假定是正則弧長參數(shù)曲線，它的撓率，曲率不是常數(shù)，并且， (1)其中為常數(shù). 證明該曲線落在一個(gè)球面上. 證明. 由條件(1)，求導(dǎo)得.因?yàn)椴皇浅?shù)，上式說明. (2)設(shè)它的Frenet標(biāo)架為. 考慮向量函數(shù). (3)對(duì)上式求導(dǎo)，利用Frenet公式和(2)式，得.所以是常向量. 代入(3)得到，.這說明在以為中心，以為半徑的球面上. 10. 設(shè)是單位球面上經(jīng)度為，緯度為的點(diǎn)的軌跡. 求它的參數(shù)

3、方程，并計(jì)算它的曲率和撓率. 解. 單位球面的參數(shù)方程為，.其中為經(jīng)度，為緯度. 將代入，得曲線的參數(shù)方程.于是，.，.,.所以，.p. 55 習(xí)題2.51，6. 設(shè)正則曲線的曲率處處不為零. 則下述命題是等價(jià)的：(a)是一般螺線(即的切向量與固定方向成定角)；(b)的主法線與固定平面平行；(c)的撓率與曲率之比是常數(shù). 證明. 設(shè)曲線的弧長參數(shù)方程為，它的Frenet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為.(a)(b). 設(shè)固定方向的單位向量為. 則是常數(shù). 因?yàn)椋髮?dǎo)得到，即主法線方向與固定方向垂直. 所以主法線與以為法向量的一個(gè)固定平面垂直. (b)(c). 設(shè)固定平面的單位法向量為. 則. 于是.

4、這說明是常數(shù)，其中. 因?yàn)?，可設(shè).用與等式兩邊作內(nèi)積，得是常數(shù). 再由是單位向量可知也是常數(shù). 不妨設(shè)，則上式成為求導(dǎo)得到.所以是常數(shù). (c)(a). 設(shè)是常數(shù). 令.則.所以是常向量，從而切方向與固定方向成定角. 4. 證明：曲線和曲線可以通過剛體運(yùn)動(dòng)彼此重合. 證明. 對(duì)曲線作參數(shù)變換，可知是圓柱螺線：. ()它的曲率和撓率分別為，. 因此只要證明曲線的曲率，撓率，從而根據(jù)曲線論基本定理，它們可以通過剛體運(yùn)動(dòng)彼此重合. 直接計(jì)算可得，.，. 注. 此類證明題，一般是由等式確定一個(gè)函數(shù)，然后證明. p. 63 習(xí)題2.62. 作正則參數(shù)曲線關(guān)于一張平面的對(duì)稱曲線. 證明：曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的曲

5、率相同，撓率的絕對(duì)值相同而符號(hào)相反. 證明. 設(shè)曲線的弧長參數(shù)方程為，它的Frenet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為. 再設(shè)是過定點(diǎn)，以為單位法向量的平面.由上圖可見在方向的投影向量，從而在平面上的投影向量.同理，在方向的投影向量. 用表示關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn). 由于是和的中點(diǎn)，所以求導(dǎo)得，.所以也是的弧長參數(shù). 設(shè)的Frenet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為和. 則.再求導(dǎo)，得.于是，.由此得. 所以有，. 3. 如果正則參數(shù)曲線的向徑關(guān)于弧長的階導(dǎo)數(shù)是，求它的階導(dǎo)數(shù). 解. 由Frenet公式可得p. 69 習(xí)題2.74. 假定曲線和曲線的曲率處處不為零，且它們之間存在一一對(duì)應(yīng)，使得曲線在每一點(diǎn)的主法線是

6、曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的次法線. 證明：曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為常數(shù)，并且曲線的曲率和撓率滿足關(guān)系式.證明. 設(shè)曲線和的弧長參數(shù)方程分別為和，它們之間的一一對(duì)應(yīng)由函數(shù)關(guān)系給出. 再設(shè)它們的Frenet標(biāo)架分別為和，曲率和撓率分別為和.由條件，可設(shè)， (1)， (2)其中. 對(duì)(1)式兩邊求導(dǎo)，得. (3)再用(2)兩邊分別與(1)兩邊作內(nèi)積，得，所以為常值函數(shù). 這說明和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為常數(shù).將(3)重寫為. (4)上式再求導(dǎo)，得.用(2)兩邊分別與上式兩邊作內(nèi)積，得. 因?yàn)椋?，即?8. 證明：圓柱螺線的漸伸線是落在與其軸線垂直的平面內(nèi)的一條曲線，并且它也是圓柱螺線所在圓柱面與該平面的交線的

7、漸伸線. 證明. 1.以圓柱螺線的軸線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 它的參數(shù)方程為. 因?yàn)?，從開始計(jì)算的弧長為. 由于單位切向量為，根據(jù)定理7.3，漸伸線方程為，其中是任意一個(gè)取定的常數(shù). 記. 則漸伸線方程可以寫成. (1)它是落在與其軸線(軸)垂直的平面內(nèi)的一條曲線. 2. 圓柱螺線所在圓柱面與該平面的交線是平面內(nèi)的一個(gè)圓.它的弧長為. 單位切向量為.所以它的一般的漸伸線方程為. (2)在(2)中取，就得到上面的漸伸線(1).注. 在工業(yè)上，圓的漸伸線一般被用來作為齒輪的齒廓線. p.75 習(xí)題2.8 1. 求下列平面曲線的相對(duì)曲率. (2) 雙曲線：，.(4) 擺線：，.(6) 曳物線：，.解.(2)，.(4)，.(6)，.2. 設(shè)平面曲線在極坐標(biāo)系下的方程是，其中是極距，是極角. 求曲線的相對(duì)曲率的