平面幾何中的向量方法

1、2.5 平面向量應(yīng)用舉例2.5.1 平面幾何中的向量方法教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”.2.明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.教學(xué)重點(diǎn):用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法;向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”.教學(xué)難點(diǎn):如何將幾何等實(shí)際問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課前言：向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景,當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后,向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法.新知探究提出問(wèn)題

2、平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系嗎？你能利用所學(xué)知識(shí)證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法?圖3你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題的基本思路嗎？圖2圖1 證明:方法一:如圖2.作CEAB于E,DFAB于F,則RtADFRtBCE.AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+

3、DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;(2)通過(guò)向量運(yùn)算,

4、研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.應(yīng)用示例例1 如圖4, ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn),BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn),你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎?圖4解:如圖4,設(shè)=a,=b,=r,=t,則=a+b.由于與共線,所以我們?cè)O(shè)r=n(a+b),nR.又因?yàn)?-=a-b,與共線,所以我們?cè)O(shè)=m=m(a-b).因?yàn)?所以r=b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0,必須解得n=m=.所以=,同理=.于是=.所以AR=RT=TC.變式訓(xùn)練圖5 如圖

5、5,AD、BE、CF是ABC的三條高.求證:AD、BE、CF相交于一點(diǎn). 證明:設(shè)BE、CF相交于H,并設(shè)=b,=c,=h, 則=h-b,=h-c,=c-b.因?yàn)?所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,即(h-b)·c=(h-c)·b.化簡(jiǎn)得h·(c-b)=0.所以.所以AH與AD共線,即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.課堂小結(jié)：用向量解決平面問(wèn)題的三步曲：課后作業(yè)：1.有一邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,設(shè)=a,=b,=c,則|a-b+c|=_.2.已知|a|=2,|b|=,a與b的夾角為45°,則使b-a與a垂直的=_.3.在等邊ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,則a·b+b·c+c·a=_.4.已知四邊形