信號2005秋試題講解

1、一、填空題（22 分）+¥+¥-2òò-2t× d ¢(t - 2)dt =?-td (t -1) + td (t + 3)d t =1(e+ t)？e+1+¥-2ò(e+ t)d (t -1) + td (t + 3)d t-t解： (1)、+¥-2ò(e+ t)d (t -1)d t = (e-t + t)=-t= e-1+ 1t =1+¥ò-2t×d ¢(t - 2)dt = - (e-2t )¢= 2e-4(2)、et =2+1三角脈沖

2、f (t) 定義在開區(qū)間(-10,7)上, 則 f (-4t + 5) 的取值區(qū)間為。2-10 < -4t + 5 < 7,- 1 < t < 15.24解：1 15(-,) 24 起始狀態(tài)為r(0- ) = -1，r¢(0- ) = 2；初始條3某件為r(0+ ) = 3，r¢(0+ ) = 1，則確定零輸入響應(yīng)齊次解待定系數(shù)的初始條件為rzi (0+ ) =，rz¢i (0+ ) = ； 而確定零狀態(tài)響應(yīng)齊次解待定系數(shù)的初始條件為 rzs (0+ ) = ，rz¢s (0+ ) =。解：rzi (0+ ) = r(0- ) =

3、 -1; rz¢i (0+ ) = r¢(0- ) = 2r(0+ ) = rzi (0+ ) + rzs (0+ ) Þ rzs (0+ ) = r(0+ ) - rzi (0+ ) = 4r¢(0+ ) = rz¢i (0+ ) + rz¢s (0+ ) Þ rz¢s (0+ ) = r¢(0+ ) - rz¢i (0+ ) = -1變換為F (w)，則tf ¢(t)的4已知 f (t)的變換為。解：令g(t) = f ¢(t),G(w) = jwF (w)頻域微分特性：

4、- jtg (t) « G¢(w) = jwF (w)¢tf ¢(t) « -wF (w)¢ = F (w) - wF¢(w)(t) = E(1- 2 t )u(t + t ) - u(t - t )的5已知 f變換為0t)2，則信號2twt4¥Eå 0w) =f (t - nt ) 的2f (t) =F (sa (02n=-¥葉級數(shù)系數(shù)Fn =。= 1 × Et sa2 (wt )解： F = 1 F (w)n0w=nw1TT24w=nw111p F = E sa2 (np )2QT

5、 = t ,w =，t11n226 設(shè)線性濾波網(wǎng)絡(luò)滿足無失真?zhèn)鬏敆l件，其沖激函變換為H ( jw)，若H ( j1000p ) = A × e- jB ，其數(shù)的，則H ( j500p )=。中 A 和 B 為解：無失真?zhèn)鬏敆l件： H ( jw) = Ke- jwt0幅頻特性為，相頻特性與頻率成正比。- j BH ( j500p ) = A × e24若F (s) = s+ 2s3 + 2s 2 + 2s +1，則f (0 ) =7；若某因+ 6s 2 +11s + 6s31果離散時間序列 x(n) 的 Z 變換為 X (z) =x(+¥) =。，則z(z -1)解

6、： F (s)極點為s = 1, s = 2, s = 3，皆位半平面15s2 + 40s + 25F (s) = s - 4 + F (s)， F (s) =11+ 6s2 + 11s + 6s315s3 + 40s2 + 25sf (0 ) =lim(s) =lims + 6s2 + 11s + 6 = 15sF+13s®¥s®¥X (z)的極點位于圓內(nèi)，圓上只有一階極點。x(¥) = lim(z -1) X (z) = lim1 = 1zz ®1z®138某因果信號的拉氏變換為，則對應(yīng)的變s(s + 3)換為。3= 1

7、 -1解：，有極點位于虛軸上s(s + 3)ss + 3 3jw( jw + 3)+ pd (w)葉變換為注：見 p249已知x(n) = 1,2,3,4， y(n) = 5,4,3，起始點均為n = 0，9­­n則2x(2n) - x( ) =，x(n)與y(n)的卷積后得到2的序列為。x(2n) = 1,3,0,0,0,0­解：nx() = 1,0,2,0,3,0,42­2x(2n) - x(n) = 1,6,-2,0,-3,0,-42x(n) * y(n) = 5,14,26,38,25,12­注：對位相乘求和，p3410 x(n) =

8、3- n的 Z 變換為，收斂域為。解： x(n) = 3-n u(n) + 3n u(-n -1)zzX (z) =-z -1/ 3z - 3收斂域：1/ 3 < z < 311因果穩(wěn)定離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)點為：。H(z)的收斂域的特ìa < z £ ¥解：ía < 1î二、選擇題（四選一 18 分）e- t,u(t + 3) ,sin(pn) , cos(4n)分別是信號？其中1n為整數(shù)。能量，功率，周期，抽樣；(B)(A)功率，能量，抽樣，非周期；功率，能量，數(shù)字， 非周期。(C)能量，功率，數(shù)字，數(shù)字；(D)2連

9、續(xù)時間系統(tǒng)的輸入e(t)和輸出r(t)滿足r(t) = e(2t)u(t)，則該系統(tǒng)。(A)因果、時變、線性、穩(wěn)定；(B)因果、時不變、非線性、不穩(wěn)定；(C)非因果、時變、線性、穩(wěn)定；(D)非因果、時不變、線性、穩(wěn)定。3電壓信號為一矩形脈沖，脈沖寬度為2 s，幅值為3V ，則該信號的有效帶寬和為。變換的最大幅值分別6 ´10-6 V×s;(A) 500 kHz,6 V;(B)500 kHz,1MHz, 6 ´10-6 V×s(C) 1MHz,3V ;(D)(t) « EtSa(wt )注： B » 1 ，p116； EGtt24下圖所

10、示的零極點分布圖中，穩(wěn)定的最小相移網(wǎng)絡(luò)、全通網(wǎng)絡(luò)的個數(shù)分別是。(A)1，0；1，1；(B)(D)2，1；2，2。(C)注：(4)穩(wěn)定的最小相移網(wǎng)絡(luò)，(3)穩(wěn)定的全通網(wǎng)絡(luò)5下列因果系統(tǒng)函數(shù)中，穩(wěn)定(不包括臨界穩(wěn)定)的低通網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)和帶通網(wǎng)絡(luò)個數(shù)分別是。絡(luò)、s + 0.12s 2(1)H (s) =(2)H (s) =；+ 2s + 2s 2+ 3s + 2s 2H (s) = 2s +1；2(3)(4)H (s) =；s + 802s 2s + 22s(5)H (s) =(6)H (s) =；- 2s + 2+ 2s + 2s 2s 2+ 9s 22s(7)(8)H (s) =；H (s) =。s

11、+1s 2+ 4s + 5(A)(C)2，3，2；3，3，2；(B)1，3，2；2，2，3。(D)注：(1)帶通，(2)， (3)帶通，(7)，(4) 低通，(8) 非-(5)不穩(wěn)定，(6)6若某連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的特征方程包含一對極點a ± jb，則對應(yīng)的齊次解形式為：。共軛eat ( A t + A ) cos bt + (B t + B ) sin bt；(A)1212(B) teat ( A cos bt + A sin bt)；12(C)A teat cos bt ；1(D) eat( At2 + A t + A ) cosbt + (B t2 + B t + B )sin

12、 bt1231237下面各種命題中正確的是。(1)(2)(3)強迫響應(yīng)屬于零狀態(tài)響應(yīng)的一部分；穩(wěn)定系統(tǒng)的自由響應(yīng)一定是瞬態(tài)響應(yīng)；在正弦信號激勵下穩(wěn)定系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；cos(w0t)u(t)的Sa(w0t)的奈在指數(shù)形式的變換為p d (w + w0 ) + d (w - w0 )； 角頻率為w0；級數(shù)中，負(fù)頻率分量無任何物理算結(jié)果；(4)(5)(6)意義，只是數(shù)(A)(1)(2)(6)；(1)(2)(4)；(B)(D)(1)(2)(5)(6)；(1)(2)(3)(5)(6)。(C)注：Sa(w t) « p u(w + w ) - u(w - w )wcccc8若x(n

13、) 為x(0) ¹ 0的因果序列，則下列結(jié)論中不正確的是。X (z)在z = ¥處無任何極點； X (z)在z = ¥處無任何零點； X (z)在z = 0處無任何極點；X (z)在有限z 平面零極點數(shù)量相等。(A)(B)(C)(D)注： X (z) = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + . + x(k )z-k+ .jm2p n N9序列x(n) = e的周期為。(A)m / N 的整數(shù)部分；N 除以(m , N 的最大公約數(shù))；N / m的整數(shù)部分；N 除以(m , N 的最小公倍數(shù))。(B)(C)(D)注：三、時域分析題（15 分）已知某

14、個系統(tǒng)的微分方程如下，其中e(t)為激勵，r(t)為響應(yīng)： d 2r(t) + 4 d r(t) + 3r(t) = d e(t) + 2e(t)，用時域方法求dt2dtdt解下列各題：1的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)；2若輸入信號e(t) = e-tu(t) ， r(0- ) = 1， r¢(0+ ) = 1，求: (1)r(0+ )和r¢(0- )；(2) 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)；(3) 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解： 系統(tǒng)的特征方程為： a 2 + 4a + 3 = 0 ， 特征根為：a1 = -1,a2 = -31、將h(t)和d (t)帶入微分方程的左端和右端，得：h¢ (t)

15、 + 4h¢(t) + 3h(t) = d ¢(t) + 2d (t) (1)d ¢(t) + 2d (t)。由于方程左端次數(shù)高于右端次數(shù)，自由所以設(shè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：h(t) = (C e-t + C e-3t )u(t)(2)12根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求解系統(tǒng)的h(0+ )和h¢(0+ )，由于方程右端含有d ¢(t)，為使方程左右兩端平衡，故可設(shè)：ìh¢ (t) = ad ¢(t) + bd (t) + cDu(t)ïh¢(t) = ad (t) + bDu(t)íï

16、38;h(t) = aDu(t)代入式(1)得：a = 1, b = -2，故h(0+ ) = 1, h¢(0+ ) = -2。將h(0+ )和h¢(0+ )帶入式(2)，得：ìC1 + C2 = 1Þ ìC1 = 1/ 2í- C - 3C = -2íC= 1/ 2îî122故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：h(t) = 1 (e-t + e-3t )u(t)2根據(jù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的關(guān)系：12ttòòt )dt =(e-t+ e-3t )u(t )dtg(t) =h(-¥-

17、65;12(e+ e-3t )dt = - 1 (- 4 + e-t + 1 e-3t )u(t)tò-t=23302、將e(t) = e-tu(t)帶入方程右端得自由項：d (t) + e-tu(t) 。由目測法求解跳變量：方程右端存在d (t)，可斷定r¢ (t)中必含有d (t)，則r¢(t)在 0 時刻有 1 的跳變，即r¢(0+ ) - r¢(0- ) = 1；r(t)在 0 時刻沒有跳變，即r(0+ ) - r(0- ) = 0。(1)、r(0+ ) = r(0- ) = 1, r¢(0- ) = r¢(0+ )

18、 -1 = 0(2)、系統(tǒng)零輸入響應(yīng)：r (t) = C e-t + C e-3t ，根據(jù)r(0 ) = 1-zi12和r¢(0- ) = 0得出：ìC1 + C2 = 1Þ ìC1 = 3/ 2í- C - 3C = 0íC，= -1/ 2îî122所以，r (t) = 3 e-t- 1 e-3tzi22(2)、在t > 0時微分方程右端自由方程的特征根，故設(shè)系統(tǒng)強迫相應(yīng)re-t ，又由于-1 是特征(t) = Ate-t ，將其帶入p微分方程得A = 1 ，所以r (t) = 1 te-t ；p22+ 1

19、 te-t ，將(t) = C e-t+ C e-3t設(shè)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：rzs122rzs (0+ ) = r(0+ ) - r(0- ) = 0 和 rz¢s (0+ ) = r¢(0+ ) - r¢(0- ) = 1 代入rzs (t)得：ìC1 + C2 = 0C = 1/ 4ïÞ ì1í- C - 3CíC，12= -1/ 4+= 1îïî212所以，r (t) = é1 (e-t - e-3t ) + 1 te-t ùu(t)ê&#

20、235;4úûzs2四、分析題（15 分）一個信號處理系統(tǒng)h(t)由四個子系統(tǒng)互聯(lián)而成，如下圖所示。e(t)e3 (t)e1 (t)e2 (t)r(t)+h2 (t)-h (t) = 3wc Sa(3w t)dwéSa(w t)ù其中h (t) =，cdt êë2púû2pc1c( jw) = e- j 2pw / wc 。h (t) = u(t)， H34H 4 ( jw )h3 (t)h1 (t)e(t) = 2 sin( 2wct) + 2 cos(wct / 2)，求以下各小題：若H1 ( jw)、H 2

21、( jw)和H 3 ( jw)，并畫出H 2 ( jw)和H 3 ( jw)1求的幅度譜；H A ( jw) = H1 ( jw) × H 2 ( jw) × H 3 ( jw)，并指出H A ( jw)的2求作用，求e3 (t)；3求r(t)。解：根據(jù)FSa(w t) = p u(w + w ) - u(w - w )cwcccH jw = jwF éwc Sa(w t)ù = jw u(w + w ) - u(w - w )êë2púû1ccc2H ( jw) = F3wc Sa(3w t) = u(w + 3

22、w ) - u(w - 3w )p2ccc1jwH ( jw) = Fu(t) =+ pd (w)3圖2、HA ( jw) = H1 ( jw) × H 2 ( jw) × H3 ( jw)= jw u(w + w ) - u(w - w )u(w + 3w ) - u(w - 3w ) 1 + pd (w)jwcccc2= jw u(w + w ) - u(w - w ) 1 + pd (w)jwcc2= 1 u(w + w ) - u(w - w ) + jw u(w + w ) - u(w - w )pd (w)cccc22= 1 u(w + w ) - u(w -

23、w )cc2HA ( jw)具有低通濾波器的作用。由e(t) = 2 sin( 2wct) + 2 cos(wct / 2)得：E( jw) = j2pd (w + 2w ) - d (w - 2w ) + 2pd (w + wc ) + d (w - wc )cc22E3 ( jw) = HA ( jw)E( jw)= p d (w + wc ) + d (w - wc )22w te (t) = cos(所以，c)32p2得h (t) = d (t -3、根據(jù)H ( jw) = e- j 2pw / w)c4w4c框圖得：r(t) = e3 (t) - e3 (t) * h4 (t)r(t

24、) = cos(wct ) - cos(wct ) *d (t - 2p )wc22= cos(wct ) - coswc(t - 2p )wct - p )22= cos(wct ) - cos(wc22= 2 cos(wct )2五、拉氏變換分析題（15 分）已知H (s)的零極點分布jw3，j沖激響應(yīng)h(t)的初值h(0+ ) = 2，求以下各題：2s31系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H (s)與應(yīng)h(t)；沖激響- j2的幅頻特性 H ( jw) 和相頻特性j(w)曲線；2畫3t u(t) ，求3若激勵e(t) = sin2-1(1) 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；(2) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：1、根據(jù)零極點圖設(shè)系統(tǒng)

25、函數(shù)為： H (s) =As(s +1)2 + 3/ 4根據(jù)初值定理得：h(0+ ) = lim sH (s) = 2 Þ A = 2s®¥2s(s +1)2 + 3/ 4故H (s) =根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H (s)求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)，將H (s)進(jìn)行整理得：H (s) = 2s +1- (2 /3) ×(3 / 2)(s +1)2 + 3/ 4(s +1)2 + 3/ 4h(t) = 2e-tcos3 t -23 tu(t)sin2322、H ( jw) =2 jw( jw +1)2 + 3/ 4圖3t u(t) 得出： E(s) =3 / 2e(t)

26、 = sin3、+ 3/ 43s222s2R(s) = H (s)E(s) =×+ 3+ 3(s +1)2s2443s - 733s + 33-=48+ 48 + 3+ 3(s +1)2s244(1).系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的拉氏變換為：3s - 73 3s 3-+15 48 2R (s) = -，i+ 3+ 3+ 344 (s +1)2(s +1)2(s +1)2444則瞬態(tài)響應(yīng)為：r (t) = -e-t (3 cos3 t + 5 sin3 t)u(t)i4242(2)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的拉氏變換為：3s + 333 s3 ×3R (s) = 48 = 4+ 42 s+ 3+ 3+ 3s2s2s2444則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：r (t) = (3 cos3 t + 3 sin3 t)u(t)s42423 sin(3 t + 30°)u(t)=22六、Z 變換分析題（15 分）研究一個線性時不變離散系統(tǒng)，其輸入x(n) 和輸出 y(n)滿足y(n) - 1 y(n - 1) - 1 y(n - 2) = x(n - 1)4求以下各題：8框圖（用符號z -1表示向右延時 1 個函數(shù)H (z)，并畫出零極點圖；1畫2）；3. 求所有可能的幾種果性和穩(wěn)定性；4. 在h(n)為穩(wěn)定因果系統(tǒng)條件下，求該系統(tǒng)的頻響特性；樣值響應(yīng)h(n)