高維復(fù)雜系統(tǒng)的非線性動力學(xué)問題研究進展

1、高維復(fù)雜系統(tǒng)的非線性動力學(xué)問題研究進展         摘要：隨著社會經(jīng)濟和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們越來越重視非線性科學(xué)和技術(shù)，而非線性力學(xué)則是其中的一個重要方面。本文主要對于高維復(fù)雜系統(tǒng)的非線性動力學(xué)問題相關(guān)研究內(nèi)容進行分析，對于提高相關(guān)工程技術(shù)應(yīng)用具有一定幫助。 關(guān)鍵詞：高維復(fù)雜系統(tǒng)，非線性動力學(xué)，振動問題 目前，非線性動力學(xué)已從以經(jīng)典的攝動和漸近分析方法為基礎(chǔ)對低維、弱非線性、弱耦合進行研究的階段，進入到用近代的動力系統(tǒng)方法對高維、復(fù)雜系統(tǒng)開展深入研究的階段1。根據(jù)上面所提及的對非線性的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，

2、下面從三個方面展望非線性動力學(xué)在本世紀的動向，探討一下在理論和應(yīng)用研究中面臨的一些新的重大問題。 1、高維非線性系統(tǒng)的組合振動和全局分析 幾十年來，對單自由度簡單振動和低維映射系統(tǒng)的非線性動力學(xué)的研究已取得一系列重要成果，研究的中心問題是分岔和混沌。人們通過對一些典型的非線性范例(例如Lorenz奇怪吸引子、Henon奇怪吸引子、Feigenbaum普適分岔序列、K崩環(huán)面和Arnold擴散等)的深入分析，發(fā)現(xiàn)了極其豐富的非線性現(xiàn)象，提出和發(fā)展了多種研究分岔和混沌的理論和方法，如奇異理論、PoincareBirkhoff范式、Melnikov法和Shilnikov法、Smale馬蹄理論KAM定理

3、等，數(shù)值計算方法和模擬手段有了很大的提高，這些突破性的成就為2l世紀的非線性動力學(xué)蓬勃發(fā)展奠定了雄厚的基礎(chǔ)，并對其它學(xué)科和工程技術(shù)領(lǐng)域產(chǎn)生了十分深刻的影響。 2、非線性隨機振動系統(tǒng)力學(xué) 隨機振動主要研究動力學(xué)系統(tǒng)在非確定性激勵(包括外部激勵和參數(shù)激勵)作用下的相應(yīng)特征。在建模過程中，各種非確定因素由隨即變量或隨即處理過程表示，系統(tǒng)的動力學(xué)特性可用概率密度函數(shù)或統(tǒng)計特征量描述。 隨機振動系統(tǒng)研究是在上個世紀五十年代初根據(jù)航空航天工程的需要而發(fā)展起來的，早期分析方法是從通訊和控制理論移植過來的，頻域法成為線性隨機振動分析的主要手段。六十年代初非線性隨機振動開始受到重視，擴散過程方法和隨機微分方程方

4、法相繼引入隨機振動分析。如今隨機振動理論和方法已得到很大的發(fā)展，廣泛應(yīng)用于航空、航天、運輸、能源、建筑等工程領(lǐng)域，成為可靠性設(shè)計的重要基礎(chǔ)。 如今，在確定常參數(shù)線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)的頻域法和時域法已經(jīng)比較成熟。對于非線性或參數(shù)隨機系統(tǒng)，擴散過程方法至今還是唯一可用來求精確解的方法。它歸結(jié)為求解相應(yīng)的FPK方程的問題。但是，只有對一些特殊的一階非線性系統(tǒng)才能得到FPK方程的精確解，對高階穩(wěn)態(tài)FPK方程在某些特殊的限制條件下也有精確解，此外還有一些關(guān)于FPK方程的近似解法和數(shù)值解法。鑒于非線性隨機系統(tǒng)和參激隨機系統(tǒng)求精確解遇到的嚴重困難，人們發(fā)展了一些近似方法，其中最具代表性的是等效線性化法、統(tǒng)計線

5、性化法、等效非線性系統(tǒng)法、隨機平均法、矩法、泛級數(shù)法等。在處理多自由度非線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)和可靠性問題時，等效線化仍是最為簡單可行的方法。非線性隨機振動系統(tǒng)的另一個重要問題是穩(wěn)定性。目前有關(guān)隨機穩(wěn)定性的定義很多，其中比較常用的是矩穩(wěn)定性、平均穩(wěn)定性、隨機Lyapunov穩(wěn)定性和幾乎必然穩(wěn)定性等。但是在實際應(yīng)用中，不同的隨機穩(wěn)定性有時會得到不同的結(jié)論、其合理性需要商榷。隨機分岔是指由參數(shù)的隨機擾動引起系統(tǒng)的定性性質(zhì)的變化，這是不同于確定性分岔和通常的混沌運動的一種復(fù)雜的非線性現(xiàn)象。目前隨機分岔研究仍存在不同的思路，主要研究的是隨機穩(wěn)定性隨擾度強度所發(fā)生的變化。LArn在隨機動力系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，

6、認為非線性隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性由最大的Lyapunov指數(shù)決定，并將最大Lyapunov指數(shù)為零作為隨機分岔的標志。因此計算最大的Lyapunov指數(shù)成為隨機分岔研究的一個最主要的內(nèi)容。現(xiàn)有的計算方法較多地局限于Khasminskii方法，它已成功地用于二維系統(tǒng)，但是對于高維系統(tǒng)仍有很多困難。當(dāng)擾動強度較小時，還可用隨機平均法和奇異攝動法計算Lyapunov指數(shù)。至今隨機分岔解的計算僅局限于在幾個簡單的分岔系統(tǒng)。 3、非線性動力學(xué)的數(shù)值方法 數(shù)值計算和仿真在非線性動力學(xué)發(fā)展過程當(dāng)中起著十分重要的作用。早期非線性動力學(xué)的關(guān)鍵性現(xiàn)象(特別是混沌、孤立子和分形)幾乎都是通過數(shù)值模擬揭示的，現(xiàn)在的非線性動

7、力學(xué)學(xué)理論和實驗研究更是離不開數(shù)值手段。在分岔研究中，由于非線性問題求解困難，因此數(shù)值研究占有重要地位，特別是解曲線的跟蹤、分岔點的判斷、以及分岔類型和方向的確定等方面。時空混沌、隨機響應(yīng)等的數(shù)值研究就更加復(fù)雜困難。多年來，已經(jīng)出現(xiàn)了一批有效的算法和分析軟件系統(tǒng)，取得了顯著的成果。今后特別要重視多自由度和高余維的分岔、斑圖動力學(xué)、隨機系統(tǒng)動力學(xué)的計算問題。非線性動力學(xué)計算需要在理論指導(dǎo)下進行，對問題的物理本質(zhì)要有深刻的認識，采用精度高、速度快、計算穩(wěn)定性好的計算格式，開發(fā)圖形功能，才能發(fā)揮越來越大的作用。 非線性動力學(xué)的幾十年發(fā)展歷程和突破性進展，充分反映非線性研究的巨大影響和潛力，但這只是認

8、識非線性世界的開端。我們要在這個基礎(chǔ)之上繼續(xù)前進，深入探討新現(xiàn)象，努力發(fā)展新理論和方法，大力加強在工程技術(shù)中的實際應(yīng)用，為在21世紀取得非線性研究的更大成就做出積極貢獻2。 4、經(jīng)典非線性系統(tǒng)常見定量求解方法存在的問題及其改進 縱觀L-P法，多重尺度法及KBM法的解的表達式，對定常解來講，諸法的周期解的角速度 都是常數(shù)，這對于很小時很近似的，當(dāng)s增大時，誤差很大?？梢娦煺追P(guān)于系統(tǒng)運動角速度假設(shè)正好符合這一規(guī)律?？梢哉J為，徐兆法是KBM法的改進。這一本質(zhì)上的改進，使得弱非線性系統(tǒng)的解答的精度大為提高，對強非線性系統(tǒng)得解答也很好。 多自由度非線性系統(tǒng)的求解，是復(fù)雜而困難的。在非線性自治系統(tǒng)中，考

9、慮到阻力的不可避免的存在，高頻振動迅速消失，往往只保留一種頻率振動，于是，長期以來，多自由度的非線性自治系統(tǒng)一直沿用單頻展開法。近二十年來，多自由度非線性振動理論有了很大發(fā)展，可以把KBM法直接推廣到多自由度非線性振動系統(tǒng)，給出一種多自由度非線性的多頻展開法，由于此法需要對多重級數(shù)作多重積分，實際上是很繁瑣且困難的。 對于用時間變換的增量諧波平衡法這種屬于半數(shù)值、半解析法來說，它的優(yōu)點很明顯，包括可以用于單、多自由度；弱、強非線性系統(tǒng)；精度可以任意高。但是，美中不足的是必須預(yù)先知道系統(tǒng)解答的初步信息；而且還不能討論解的穩(wěn)定性。 5、結(jié)語 對于非線性的研究包括：非線性力學(xué)系統(tǒng)的各種運動狀態(tài)的定量和定性規(guī)律，特別是豐富多樣的運動模式和演化過程。這些深刻地揭示了客觀世界的復(fù)雜性和多樣性，不僅對自然科學(xué)發(fā)展做出了重大的貢獻，而且還有十分廣闊的工程技術(shù)應(yīng)用前景。 參考文獻： 1 周翠英, 張樂民. 軟巖與水相互作用的