江蘇省南通市2017屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)含答案

1、南通市2017屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 本試卷共4頁，包含填空題（共14題）、解答題（共6題），滿分為160分，考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后，請將答題卡交回。2 答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的毫米簽字筆填寫在答題卡上。3 作答試題必須用書寫黑色字跡的毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。參考公式：樣本數(shù)據(jù)，的方差，其中 棱錐的體積公式：，其中為棱錐的底面積，為高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在

2、答題卡相應(yīng)位置上1 函數(shù)的最小正周期為 輸出n結(jié)束（第5題）2 設(shè)集合，則 3 復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的實部為 4 口袋中有若干紅球、黃球和藍球，從中摸出一只球已知摸出8，則摸出藍球的概率為 5 如圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值為 6 若實數(shù)x，y滿足 則z3x2y的最大值為 7 抽樣統(tǒng)計甲、乙兩名學(xué)生的5次訓(xùn)練成績（單位：分），結(jié)果如下：學(xué)生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏粚W(xué)生成績的方差為 ABCDA1B1C1D1（第8題）8 如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，則三棱錐D1A1BD的體積為 9 在平面直

3、角坐標系中，直線為雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為 10九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為 升11在ABC中，若，則的值為 12已知兩曲線，相交于點P若兩曲線在點P處的切線互相垂直，則實數(shù)的值為 13已知函數(shù)，則不等式的解集用區(qū)間表示為 14在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓上兩點，點，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐

4、標系xOy中，以x軸正半軸為始邊作銳角，其終邊及單位圓交于點A以O(shè)A為始邊作銳角，其終邊及單位圓交于點B，AB=xyA1B（第15題）O（1）求cos的值；（2）若點A的橫坐標為，求點B的坐標16（本小題滿分14分）（第16題）ABCODPE如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP=OC，PAPD求證：（1）直線PA平面BDE； （2）平面BDE平面PCD17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，焦點到xyQOP（第17題）相應(yīng)準線的距離為1（1）求橢圓的標準方程；（2）若P為橢圓上的一點，過點O作

5、OP的垂線交直線于點Q，求的值18（本小題滿分16分）如圖，某機械廠要將長6 m，寬2 m的長方形鐵皮ABCD進行裁剪已知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處（點C，D分別落在直線BC下方點M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點P），再沿直線PE裁剪（1）當EFP=時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；（2）若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由ABCDFEPMN（第18題）19（本小題滿分16分）已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若，證明：函數(shù)有且只有一個零點；（3）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍20（本小題

6、滿分16分）已知等差數(shù)列的公差不為0，且，()成等比數(shù)列，公比為（1）若，求的值；（2）當為何值時，數(shù)列為等比數(shù)列；（3）若數(shù)列為等比數(shù)列，且對于任意，不等式恒成立，求的取值 范圍南通市2017屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)（附加題）注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共2頁，均為非選擇題（第2123題）。本卷滿分為40分，考試時間為30分鐘。 考試結(jié)束后，請將答題卡交回。2答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在 答題卡上，并用2B鉛筆正確填涂考試號。3作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位

7、置 作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟OABEDC（第21-A題）A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）已知圓O的直徑，C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE=2CD，求OCE的面積B選修4-2：矩陣及變換（本小題滿分10分）已知向量是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量在平面直角坐標系xOy中，點在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?，求矩陣AC選修4-4：坐標系及參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，

8、求直線被曲線所截得的弦長D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）求函數(shù)的最大值【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出 文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）BADC1（第22題）A1D1B1CQP如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且（1）若，求AP及AQ所成角的余弦值；（2）若直線AA1及平面APQ所成的角為45°， 求實數(shù)的值23（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線上的點到焦點F的距離為2（1）求拋物線的方程；（2）如圖，點E是拋物線上

9、異于原點的點，拋物線在點E處的切線及x軸相交于點P，直（第23題）yOxFABPE 線PF及拋物線相交于A，B兩點，求EAB面積的最小值南通市2017屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評分建議一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分1 函數(shù)的最小正周期為 【答案】2 設(shè)集合，則 【答案】輸出n結(jié)束（第5題）3 復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的實部為 【答案】4 口袋中有若干紅球、黃球和藍球，從中摸出一只球摸出紅球8，則摸出藍球的概率為【答案】0.175 如圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值為 【答案】56 若實數(shù)x，y滿足 則z3x2y的最大值為 【答案】77 抽樣統(tǒng)計甲、乙兩名學(xué)生

10、的5次訓(xùn)練成績（單位：分），結(jié)果如下：學(xué)生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070則成績較為穩(wěn)定（方差較小）的那位學(xué)生成績的方差為 【答案】20ABCDA1B1C1D1（第8題）8 如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，則三棱錐D1A1BD的體積為 【答案】9 在平面直角坐標系中，直線為雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為 【答案】10九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為 升【答案】11在ABC中，若，則的值為 【答案】12已知兩曲線，相交

11、于點P若兩曲線在點P處的切線互相垂直，則實數(shù)的值為 【答案】13已知函數(shù)，則不等式的解集用區(qū)間表示為 【答案】14在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓上兩點，點，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍為 【答案】二、解答題：本大題共6小題，共計90分15（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸正半軸為始邊作銳角，其終邊及單位圓交于點A以O(shè)A為始邊作銳角，其終邊及單位圓交于點B，AB=xyA1B（第15題）O（1）求cos的值；（2）若點A的橫坐標為，求點B的坐標【解】（1）在AOB中，由余弦定理得，所以 2分即 6分（2）因為，所以 8分因為點的橫坐標為，由三角函數(shù)定義可得

12、，因為為銳角，所以 10分所以，12分所以點 14分16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP=OC，PAPD（第16題）ABCODPE求證：（1）直線PA平面BDE； （2）平面BDE平面PCD【證明】（1）連結(jié)，因為為平行四邊形對角線的交點，所以為中點又因為為的中點，所以 4分又因為平面，平面，所以直線平面 6分（2）因為，所以 8分因為，為的中點，所以 10分又因為平面，平面，所以平面 12分又因為平面，所以平面平面 14分17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，焦點到

13、xyQOP（第17題）相應(yīng)準線的距離為1（1）求橢圓的標準方程；（2）若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線于點Q，求的值【解】（1）由題意得， 2分解得，所以橢圓的方程為 4分（2）由題意知的斜率存在當?shù)男甭蕿?時，所以 6分當?shù)男甭什粸?時，設(shè)直線方程為由得，解得，所以，所以 9分因為，所以直線的方程為由得，所以 12分所以綜上，可知 14分18（本小題滿分16分）如圖，某機械廠要將長6 m，寬2 m的長方形鐵皮ABCD進行裁剪已知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處（點C，D分別落在直線BC下方點M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點P），再沿直

14、線PE裁剪（1）當EFP=時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；（2）若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由ABCDFEPMN（第18題）【解】（1）當EFP=時，由條件得EFP=EFD=FEP=所以FPE=所以FNBC，四邊形MNPE為矩形 3分所以四邊形MNPE的面積=2 m2 5分（2）解法一：設(shè)，由條件，知EFP=EFD=FEP=所以， 8分由得所以四邊形MNPE面積為 12分 當且僅當，即時取“=”14分此時，成立答：當時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為 m2 16分解法二：設(shè) m，則因為EFP=EFD=FEP，所以PE=PF，即所以

15、， 8分由得所以四邊形MNPE面積為 12分 當且僅當，即時取“=” 14分此時，成立答：當點E距B點 m時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為 m2 16分19（本小題滿分16分）已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若，證明：函數(shù)有且只有一個零點；（3）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍【解】（1）當時，所以，（x>0） 2分令，得，當時，；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 所以當時，有最小值4分（2）由，得所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)在上最多有一個零點6分因為當時，所以當時，函數(shù)在上有零點綜上，當時，函數(shù)有且只有一個零點 8分（3）解法一

16、：由（2）知，當時，函數(shù)在上最多有一個零點因為函數(shù)有兩個零點，所以 9分由，得，令因為，所以函數(shù)在上只有一個零點，設(shè)為當時，；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增要使得函數(shù)在上有兩個零點，只需要函數(shù)的極小值，即又因為，所以，又因為函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以，得 又由，得，所以 13分以下驗證當時，函數(shù)有兩個零點當時，所以 因為，且所以函數(shù)在上有一個零點 又因為（因為），且所以函數(shù)在上有一個零點所以當時，函數(shù)在內(nèi)有兩個零點 綜上，實數(shù)a的取值范圍為 16分下面證明： 設(shè)，所以，（x>0）令，得當時，；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當時，有最小值所以，得成立 解法二：由（2

17、）知，當時，函數(shù)在上最多有一個零點因為函數(shù)有兩個零點，所以 9分由，得關(guān)于x的方程，（x>0）有兩個不等的實數(shù)解又因為，所以，（x>0）因為x>0時，所以又當時，即關(guān)于x的方程有且只有一個實數(shù)解所以 13分（以下解法同解法1）20（本小題滿分16分）已知等差數(shù)列的公差不為0，且，()成等比數(shù)列，公比為（1）若，求的值；（2）當為何值時，數(shù)列為等比數(shù)列；（3）若數(shù)列為等比數(shù)列，且對于任意，不等式恒成立，求的取值 范圍【解】（1）由已知可得：，成等比數(shù)列，所以， 2分整理可得：因為，所以 4分（2）設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，則又因為，成等比數(shù)列，所以整理，得因為，所以因為，所以，即6分當

18、時，所以又因為，所以所以，數(shù)列為等比數(shù)列綜上，當時，數(shù)列為等比數(shù)列8分（3）因為數(shù)列為等比數(shù)列，由（2）知，因為對于任意，不等式恒成立所以不等式， 即，恒成立10分下面證明：對于任意的正實數(shù)，總存在正整數(shù)，使得要證，即證因為，則，解不等式，即，可得，所以不妨取，則當時，原式得證所以，所以，即得的取值范圍是 16分21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）已知圓O的直徑，C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE=2CD，求OCE的面積OABE

19、DC（第21-A題）H【解】設(shè)，則因為，由相交弦定理，得，所以，所以2分取中點，則因為，所以6分又因為，所以O(shè)CE的面積 10分B選修4-2：矩陣及變換（本小題滿分10分）已知向量是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量在平面直角坐標系xOy中，點在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?，求矩陣A【解】設(shè)，因為向量是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量，所以所以 4分因為點在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋运?8分解得，所以10分C選修4-4：坐標系及參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，求直線被曲線所截得的弦長【解】解法一：在中，令，得，即= 10分解法二：以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系直線的直角坐標方程為， 3分曲線的直角坐標方程為 6分由得或 8分所以，所以直線被曲線所截得的弦長= 10分D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）求函數(shù)的最大值【解】 2分由柯西不等式得，8分所以，此時所以函數(shù)的最大值為