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文檔簡介
1、第六章 熱力學第二定律5-1 設(shè)每小時能造冰m克,則m克25的水變成 18的水要放出的熱量為 25m+80m+0.5×18m=114m有熱平衡方程得 4.18×114m=3600×2922
2、; m=2.2×104克=22千克 5-2試證明:任意循環(huán)過程的效率,不可能大于工作于它所經(jīng)歷的最高熱源溫度與最低熱溫源溫度之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。(提示:先討論任一可逆循環(huán)過程,并以一連串微小的可逆卡諾循環(huán)過程。如以Tm和Tn分別代表這任一可循環(huán)所經(jīng)歷的最高熱源溫度和最低熱源溫度。試分析每一微小卡諾循環(huán)效率與 的關(guān)系) 證:(1)d當任意循環(huán)可逆時。用圖中封閉曲線R表示,而R可用圖中一連串微笑的可逆卡諾循環(huán)來代替,這是由于考慮到:任兩相鄰的微小可逆卡諾循環(huán)有一總,環(huán)段絕熱線是共同的,但進行方向相反從而效果互相
3、抵消,因而這一連串微小可逆卡諾循環(huán)的總效果就和圖中鋸齒形路徑所表示的循環(huán)相同;當每個微小可逆卡諾循環(huán)無限小而趨于數(shù)總無限多時,其極限就趨于可逆循環(huán)R。考慮任一微小可逆卡諾循環(huán),如圖中陰影部分所示,系統(tǒng)從高溫熱源Ti吸熱Qi,向低溫熱源Ti放熱,對外做功,則效率 任意可逆循環(huán)R的效率為
4、A為循環(huán)R中對外作的總功 (1)又,Tm和Tn是任意循環(huán)所經(jīng)歷的最高溫熱源和最低溫熱源的溫度 對任一微小可逆卡諾循,必有: TiTm, TiTn或 或
5、60; 令 表示熱源Tm和Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率,上式為 將(2)式代入(1)式:或 或 (188完)即任意循環(huán)可逆時,其效率不大于它所機靈的最高溫熱源Tm和最低溫度熱源Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。(2)任意循環(huán)不可逆
6、時,可用一連串微小的不可逆卡諾循環(huán)來代替,由于諾定理知,任一微小的不可逆卡諾循環(huán)的效率必小于可逆時的效率,即 (3)對任一微小的不可逆卡諾循環(huán),也有
7、60;(4)將(3)式代入(4)式可得: 即任意不可逆循環(huán)的效率必小于它所經(jīng)歷的最高溫熱源Tm和最低溫熱源Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。綜之,必 即任意循環(huán)的效率不可能大于它所經(jīng)歷的最高溫熱源和最低溫熱源之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。5-3 若準靜態(tài)卡循環(huán)中的工作物質(zhì)不是理想氣體而是服從狀態(tài)方程p(v-b)=RT。式證明這可逆卡諾循環(huán)的效率公式任為 證:此物種的可逆卡諾循環(huán)如圖。等溫膨脹過程中,該物質(zhì)從高溫熱源T1吸熱為等溫壓縮過程
8、中,該物質(zhì)向低溫熱源放熱為 (189完)由第五章習題13知,該物質(zhì)的絕熱過程方程為
9、0; 利用 可得其絕熱方程的另一表達式子 由絕熱線23及14得 兩式相比得 該物質(zhì)卡
10、諾循環(huán)的效率為 可見,工作于熱源T1和T2之間的可逆機的效率總為1 ,與工作物質(zhì)無關(guān),這正是卡諾定理所指出的。 5-4接上題,證明范德瓦耳斯氣體準靜態(tài)絕熱過程方程又可寫為 證:有一摩爾范氏氣體的狀態(tài)方程得 代入上題結(jié)果
11、0; 由于R是常量,所以上式可寫作 5-5證明:范德瓦耳斯氣體進行準靜態(tài)絕熱過程時,氣體對外做功為 CV(T1T2)a( )設(shè)Cv為常數(shù)證:習題9給出,對摩爾范氏氣體有 當范氏氣體有狀態(tài)(T1、v1)變到狀態(tài)(T2、v2)。內(nèi)能由u1變到u2,而Cv為常數(shù)時,上式為 u2u1=Cv(T2T1)a( )絕熱過程中,Q=0,有熱力學第一定
12、律得氣體對外作的功 A=u2u1=Cv(T2T1)a( ) 5-6證明:對一摩爾服從范德瓦耳斯方程的氣體有下列關(guān)系: (提示:)要利用范德瓦耳斯氣體的如下關(guān)系: 證:習題9已證得,一摩爾范氏氣體有
13、160; 視V為T、P的函數(shù),有 所以,1摩爾范氏氣體在無窮小等壓(=0)過程中,熱力學第一定律可寫為:
14、 dQ = CpdT = dupdv = CvdT dv( )dv 或 又 由 (p )(vb) =RT 可得 代入上式即得 5-7
15、0; 接上題,從上題作圖來看,T0 = 具有什么意義?(稱T0為上轉(zhuǎn)溫度)。若已知氮氣 a=1.35×100 atm6·mol-2, b= 39.6 cm6·mol-1, 氦氣 a= 0.033×106 atm·cm6·mol-2, b = 23.4·mol-1,試求氮氣 5-8 設(shè)有一摩爾的過冷水蒸氣,其溫度和壓強分別為24和1bar,當它轉(zhuǎn)化為 24下的飽和水時,熵的變化是多少?計算時假定可把水蒸氣看作理
16、想氣體,并可利用上題數(shù)據(jù)。 (提示:設(shè)計一個從初態(tài)到終態(tài)的可逆過程進行計算,如圖6-21) 解:由提示,將實際過程的初、始態(tài),看作通過兩個可逆過程得到,并設(shè)中間狀態(tài)為2,初始狀態(tài)分別為1、3。 先設(shè)計一個理想氣體可逆等溫膨脹降壓過程,計算S1:
17、160; = ×8.31 ln =1.62KJ·k1·1 再設(shè)計一個可逆等溫等壓相變過程,計算 S2,這已在上題算出:
18、160; S2=Cp ln Cp ln (1)式為 S=Cpln Cp ln Cv ln =Cpln Rln 與(2)式相同 得證5-9 在一絕熱容器中,質(zhì)量為m,溫度為T1的液體和相同質(zhì)量的但溫度為T2的液體,在一定壓強下混合后達到新的平衡態(tài),求系統(tǒng)從初態(tài)到終態(tài)熵的變化,并說明熵增加,設(shè)已知液體定壓比熱為常數(shù)CP。 解:兩種不同溫度液體的混合,是不可逆過程,它的熵變可以用兩個可逆過程熵變之和
19、求得。設(shè)T1>T2,(也可設(shè)T1<T2,結(jié)果與此無關(guān)),混合后平衡溫度T滿足下式 mCp(T1T)=mCp(TT1) T = (T1T2)溫度為T1的液體準靜態(tài)等壓降溫至T,熵變?yōu)?#160; 溫度為T2的液體準靜態(tài)等壓升溫至T熵變?yōu)橛伸氐目杉有?,總熵變?yōu)椋?#160;S=SS=mCp(ln ln ) =mCpln =mCpln 因 (T1T2)2>0 即T122T1T2T22>0 T122T1T2T224T1T2>0由此得(T1T2)2>
20、4T1T2所以,S>0 由于液體的混合是在絕熱容器內(nèi),由熵增加原理可見,此過程是不可逆。5-10 由第五章 習題15的數(shù)據(jù),計算一摩爾的銅在一大氣壓下,溫度由300K升到1200K時熵的變化。 解:借助給定初、終態(tài)間的可逆等壓吸熱過程,計算熵的變化,并將第五章習題15的數(shù)據(jù)代入,有 =a ln b(1200300) =37213J5-11 如圖626,一摩爾理想氣體氫(=1.4)在狀態(tài)1的參量為V1
21、=20L,T1=300K。圖中13為等溫線,14為絕熱線,12和43均為等壓線,23為等容線,試分別用三條路徑計算S3S1: (1)123 (2)13 (3)143 解:由可逆路徑123求S3S1 Cp ln Cv ln
22、160; =R ln =R ln =8.31 ln =5.76 J·K1(2)由路徑13求S3S1 =5.76 J·K1由于14為可逆絕熱過程,有熵增原理知S4S1=0從等壓線43
23、 = = 從絕熱線14 T1v11或則 即 故
24、; =5.76 J·K1計算結(jié)果表明,沿三條不同路徑所求的熵變均相同,這反映了一切態(tài)函數(shù)之差與過程無關(guān),僅決定處、終態(tài)。5-12 一實際制冷機工作于兩恒溫
25、熱源之間, 熱源溫度分別為T1=400K,T2=200K。設(shè)工作物質(zhì)在沒一循環(huán)中,從低溫熱源吸收熱量為200cal,向高溫熱源放熱600cal。(1) 在工作物質(zhì)進行的每一循環(huán)中,外界對制冷機作了多少功?(2) 制冷機經(jīng)過一循環(huán)后,熱源和工作物質(zhì)熵的總變化 (Sb)(3)
26、160; 如設(shè)上述制冷機為可逆機,經(jīng)過一循環(huán)后,熱源和工作物質(zhì)熵的總變化應(yīng)是多少?(4) 若(3)中的餓可逆制冷機在一循環(huán)中從低溫熱源吸收熱量仍為200cal,試用(3)中結(jié)果求該可逆制冷機的工作物質(zhì) 向高溫熱源放出的熱量以及外界對它所作的功。 解:(1) 由熱力學第一定律,外界對制冷機作的功為 &
27、#160; A=Q1-Q2=600-200=400cal=1672J (2)經(jīng)一循環(huán),工作物質(zhì)又回到初態(tài),熵變?yōu)榱?,熱源熵變是高溫熱源熵?S1與低溫熱源熵變S2之和。所以,經(jīng)一循環(huán)后,熱源和工作物質(zhì)的熵的總變化為 Sb= (3)視工資與熱源為一絕熱系,若為可逆機,由熵增加原理知,整個
28、系統(tǒng)的總熵變?yōu)榱?。?#160; S0=0 (4)由(3)知,對于可逆機即工質(zhì)想高溫熱源放出的熱量。而外界對它的功為 A=Q1'-Q2=400-200=200cal=836J 計算結(jié)果表明,當熱源相同,從低溫熱源取相等的熱量時,可逆制冷機比實際制冷機所需的外功少.5-13 接上題,(1)式由計算數(shù)值證明:實際制冷機比可逆制冷機外需要的外功值恰好等于T1Sb (
29、T1、Sb見上題). (2)實際制冷機額外多需的外界功最后轉(zhuǎn)化為高溫熱源的內(nèi)能.設(shè)想利用在這同樣的兩恒熱源之間工作的一可逆熱機,把這內(nèi)能中的一部分再變?yōu)橛杏玫墓?問能產(chǎn)生多少有用的功. 解:(1)實際制冷機所需之功為 A1=Q1-Q2 '可逆制冷機所需之功為 A2=Q1'-Q2
30、60; 實際制冷機比可逆機所需的額外功為 A=A1-A2=(Q1-Q2) -(Q1'-Q2 )
31、60;
32、60;
33、160;
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