弦長公式證明及應用詳解

1、弦長公式證明及應用詳解公式為： |AB|和：|AB|=作用：應用弦長公式很方便，它所解決的問題是求直線與所有圓錐曲線所交弦的弦長，因為直線的斜率往往是已知的，這樣再知道兩個交點的橫坐標或者縱坐標就可以直接利用公式求出來，如果不知道橫縱坐標也可以直接把直線和圓錐曲線聯立方程組，進而轉化成一元二次方程利用韋達定理不用解方程代入公式直接求出弦長公式證明：證法一：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則 弦長 其實用三角函數來證明也很簡單 方法如下證法二：又因為：所以同理：|AB|=推導方法如下：;又因為：所以：|AB|=特殊的，在如果直線AB經過拋物線的焦點，則|AB|=2P例題1：已知直線與雙曲線交于A、

2、B兩點，求AB的弦長解：設由得得則有 得，練習1：已知橢圓方程為與直線方程相交于A、B兩點，求AB的弦長練習2：設拋物線截直線所得的弦長長為，求的值 分析：聯立直線與拋物線的方程，化簡，根據根與系數的關系，求弦長解：設 聯立方程得則 解: 設聯立方程:得則 例題2：已知拋物線上存在關于直線對稱相異的兩點A、B，求弦長分析：A、B兩點關于直線對稱，則直線的斜率與已知直線斜率的積為（根據直線垂直斜率之積是-1）且的中點在已知直線上解：關于對稱 設直線的方程為 ， 聯立方程 化簡得 中點在直線上 則 小結：在求直線與圓錐曲線相交的弦長時一般采用韋達定理設而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟為：設點

3、聯立方程消元韋達定理弦長公式作業(yè)：（1） 過拋物線的焦點，作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，且，求的值（2） 已知橢圓方程及點，過左焦點與的直線交橢圓于、兩點，為橢圓的右焦點，求的面積。弦長公式的應用 1. 弦長問題 例1. 已知點動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線y=x-2交于D、E兩點，求線段DE的長。 解：設點 ， 根據雙曲線的定義，可知點C的軌跡是雙曲線 故點C的軌跡方程是 因為，所以直線與雙曲線有兩個交點。 設 2. 求曲線的方程 例2. 已知點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，直線與拋物線C交于兩點，若成等比數列，求拋物線C的方程。 解：設拋物

4、線 顯然點A在直線上， ， 所以 由圖1，知圖1 又 故拋物線C的方程為。 例3. 已知F是定點，是定直線，點F到直線的距離為，點M在直線上滑動，動點N在MF延長線上，且滿足，求動點N的軌跡方程。 解：如圖2所示，以點F為原點，過點F垂直于的直線為x軸建立直角坐標系。圖2 設 由于 根據公式，得 平方整理，得點N的軌跡方程為 . 3. 范圍問題 例4. 過橢圓的左焦點F且傾斜角為45°的直線與橢圓及其準線的交點從左至右依次為A、B、C、D，記，求的取值范圍。圖3 解：由條件，知直線， 設 其中，則 練習： 設雙曲線的右頂點為A，P是雙曲線上的一個動點（異于頂點）。從A引雙曲線的兩條漸近線的