微分幾何 陳維桓 第四章講稿

1、目 錄第四章曲面的第二基本形式50§ 4.1 第二基本形式50§ 4.2 法曲率52§ 4.3 Weingarten映射和主曲率55一、Gauss映射和Weingarten變換55二、主曲率和主方向55§ 4.4 主方向和主曲率的計算57一、Gauss曲率和平均曲率57二、Weingarten變換在自然基底下的矩陣59三、第三基本形式61§ 4.5 Dupin標(biāo)形和曲面參數(shù)方程在一點的標(biāo)準(zhǔn)展開61§ 4.6 某些特殊曲面64一、Gauss曲率為常數(shù)的旋轉(zhuǎn)曲面65二、旋轉(zhuǎn)極小曲面66第四章 曲面的第二基本形式本章內(nèi)容：第二基本形式，法曲

2、率，Gauss映射和Weingarten變換，主方向與主曲率，Dupin標(biāo)形，某些特殊曲面計劃學(xué)時：12學(xué)時，含習(xí)題課3學(xué)時.難點：主方向與主曲率§4.1 第二基本形式設(shè)為正則曲面，是單位法向量.向量函數(shù)的一階微分為，二階微分為.由于，再微分一次，得.定義二次微分式 (1.6)稱為曲面的第二基本形式(second fundamental form)，其中， (1.4-5)稱為曲面的第二類基本量.第二基本形式的幾何意義：刻劃了曲面偏離切平面的程度，也就是曲面的彎曲程度.圖4.1由微分的形式不變性可知第二基本形式在保持定向的參數(shù)變換下是不變的，而在改變定向的參數(shù)變換下會相差一個符號. 但

3、是，在參數(shù)變換下第二類基本量一般都會改變. 第二基本形式與空間坐標(biāo)系的選取無關(guān). 對曲面作參數(shù)變換 (1.7)在新的參數(shù)下，.因此. (1.10)當(dāng)時，從而；當(dāng)時，從而.在保持定向的參數(shù)變換下，第二類基本量有和第一類基本量相同的變化規(guī)律. 事實上，記參數(shù)變換(1.7)的Jacobi矩陣為.則. (1.14)從而，即有. (1.13)例 求平面和圓柱面的第二基本形式.解. (1)對平面，所以.(2) 對圓柱面，. 因此，.定理1.1正則曲面是平面(或平面的一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牡诙拘问?證明“”平面的單位法向量是常向量，故.“” 由，得. 同理有. 所以是常向量.于是. 故.定理1.2正則曲面

4、是球面(或球面的一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牡诙拘问绞堑谝换拘问降姆橇惚稊?shù)：，其中是非零函數(shù).證明“”不妨設(shè)球心為原點，半徑為. 則，. 從而.“”由條件，(因為是獨立的變量). 所以，.又. 故. (1)同理有. (2)因為是三次以上連續(xù)可微的，. 于是，即有.由于線性無關(guān)，. 故是非零常數(shù).由(1)和(2)得，.所以是常向量. 從而上的點滿足球面方程.課外作業(yè)：習(xí)題1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率設(shè)是曲面上過點的一條正則曲線，是的弧長參數(shù)，為點的曲紋坐標(biāo). 則的單位切向量為. (2.3)根據(jù)Frenet公式，的曲率向量， (2.4)其中是的曲率.設(shè)為的單位法向量

5、，則.定義 函數(shù) (2.6) (2.5)稱為曲面在點沿著切方向(即)的法曲率(normal curvature).注 曲面上所有在點相切的曲線在點有相同的法曲率，并且在點這些曲線的曲率中心位于垂直于切方向的平面(的法平面)內(nèi)的一個直徑為的圓周上：曲率中心為.圖4.2沿著曲線，有. 由于是弧長參數(shù)，因此在點成立.定義2.1在曲面上對應(yīng)于參數(shù)的點處，沿著切方向的法曲率為. (2.8)注 法曲率除了與點有關(guān)，還與切方向即比值有關(guān). 但是與切向量的大小無關(guān). 上面的定義不要求以為切向量的曲線以弧長為參數(shù).定義 曲面上過點的一個切方向與點的法線確定的平面稱為由切方向確定的法截面. 法截面與曲面的交線稱為

6、該點的一條法截線.定理2.1曲面在點，沿切方向的法曲率等于該切方向確定的法截線在相應(yīng)的有向法截面(以為平面的定向)中的相對曲率，即有.證明設(shè)該點是，沿切方向的單位切向量為，在點的單位法向量為.則法截面的定向是，從而法截線的弧長參數(shù)方程為，其中.因為是的切向量，. 從而. 因此是由確定的切方向.由定義，沿切方向的法曲率.另一方面，法截線在該點的相對曲率.所以有.例(1)平面的法曲率.在平面上，. 所以在任意點，沿任意切方向，都有法曲率.(2)圓柱面的法曲率.對圓柱面，由上一節(jié)的例，所以.(3) 球面的法曲率.由定理1.2，. 所以是非零常數(shù).定理2.2 在曲面上任意一點處，法曲率必定在兩個彼此正

7、交的切方向上分別取到最大值和最小值.證明在固定點，都是常數(shù)，法曲率僅與比值有關(guān). 取點鄰近的正交參數(shù)網(wǎng). 則任意單位切向量，可以寫成，其中，即 .沿著切方向的法曲率是上的連續(xù)可微周期函數(shù)，必定在閉區(qū)間上取到最大值和最小值.如果是常值函數(shù)，則在任意兩個彼此正交的切方向上分別取到最大值和最小值.設(shè)不是常值函數(shù)，則它的最大值和最小值不相等.通過對曲面作參數(shù)變換，不妨設(shè)在處取到最大值. 由于，并且，有.所以在處取到最小值.定義2.2在曲面上一個固定點處，法曲率取最大值和最小值的切方向稱為曲面在該點的主方向(principal direction)，相應(yīng)的法曲率稱為在該點的主曲率(principal c

8、urvature).注由上面的推導(dǎo)過程可知，如果在點不是常值函數(shù)，在閉區(qū)間上只有4個零點，所以在點只有兩個主曲率，. 于是有下面的Euler公式：，其中，并且.定義2.3(1) 在曲面上一點，使法曲率為零的切方向稱為該點的一個漸近方向(asymptotic direction).(2) 設(shè)是曲面上的一條曲線. 若上每一點的切向量都是曲面在該點的漸近方向，則稱是曲面上的一條漸近曲線(asymptotic curve).在一點處，漸近方向是二次方程 (2.5)的解.當(dāng)時，有兩個實漸近方向；當(dāng)時，只有一個實漸近方向；當(dāng)時，沒有實漸近方向.讓變動，則(2.5)就是漸近曲線的微分方程. 如果在曲面上每一

9、點，則曲面上存在兩個處處線性無關(guān)的漸近方向向量場. 根據(jù)第三章定理4.1，在曲面上有由漸近曲線構(gòu)成的參數(shù)曲線網(wǎng)，稱為漸近線網(wǎng).定理2.3參數(shù)曲線網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充分必要條件是：.證明 “” 在-曲線上. 由(2.5)得. 同理可得.“” (2.5)現(xiàn)在成為. 因此-曲線和-曲線都是漸近曲線.定理2.4 設(shè)是曲面上的一條曲線. 則是漸近線，當(dāng)且僅當(dāng)是直線，或的密切平面與曲面的切平面重合.證明 由公式可得.課外作業(yè)：習(xí)題1，4，7.§4.3Weingarten映射和主曲率一、Gauss映射和Weingarten變換設(shè)()是一個正則曲面，是它的單位法向量.向量函數(shù)定義了一個映射，其中是中的單

10、位球面. 因為空間中的點與它的位置向量是一一對應(yīng)的，映射誘導(dǎo)了映射. (3.1)這個映射稱為Gauss映射.注意Gauss映射的象不一定是的一個區(qū)域.Gauss映射的切映射是一個線性映射，滿足，即，. (3.2)特別有，. (3.4)因為同時也是的法向量，在點的切平面與在點的切平面是平行的，從而在自由向量的意義下可將與等同.定義 線性映射稱為曲面在點的Weingarten變換(Weingarten transformation).事實上，因為，所以. 由定義可知，. (3.5)圖22二、主曲率和主方向定理3.1 .定理3.2 相對于切空間的內(nèi)積，Weingarten變換是自共軛(對稱)的，即，

11、.證明.根據(jù)線性變換理論，Weingarten變換的2個特征值都是實的(這2個特征值可能相等).設(shè)分別是從屬于它們的特征向量，即，. 當(dāng)時，所確定的切方向和是唯一的，且相互正交. 當(dāng)時，中的任何非零向量都是特征向量.因此仍然有兩個相互正交的特征方向. 定理3.3在曲面上任意一點處，的2個特征值正好是曲面在點的主曲率，對應(yīng)的特征方向是曲面在點的主方向.證明 取的由的特征向量構(gòu)成的單位正交基，使得， (3.12)并設(shè). 對任意一個單位切向量，可設(shè). (3.13)則有. (3.14)于是沿切方向的法曲率為由可知，并且在時取最大值，在時取最小值. 所以就是曲面在點的主曲率，相應(yīng)的切方向就是主方向. 注

12、1 由定理可知沿特征方向的法曲率就是對應(yīng)于特征向量的特征值：.注2 曲面在每一點有2個主曲率. 當(dāng)時，只有2個主方向，它們相互正交.此時可取2個單位特征向量.當(dāng)時，任何方向都是主方向.此時可任取2個正交的單位特征向量.定理3.4(Euler公式)設(shè)是點的2個正交的單位特征向量，對應(yīng)的主曲率為.則對任意單位切向量，沿著方向的法曲率為.(3.15)在曲面上一點處，如果，則由Euler公式可知沿任何切方向，都有， (3.16)即.這樣的點稱為臍點(umbilical point). 此時在該點有.(3.17)當(dāng)時，該點稱為平點(planar point)；當(dāng)時，該點稱為圓點(circle point

13、).定理1.1和定理1.2的推論 曲面是平面(或其一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)上的點都是平點；曲面是球面(或其一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)上的點都是圓點.定義3.1設(shè)是曲面上的一條曲線. 若上每一點的切向量都是曲面在該點的主方向，則稱是曲面上的一條曲率線(curvature line).定理3.5(Rodriques定理)曲面上一條正則曲線是曲率線的充分必要條件是：沿著曲線，即.證明. 由定義，是曲率線，當(dāng)且僅當(dāng)對所有的，是Weingarten變換的特征向量，即，也就是.定理3.6 曲面上一條曲線是曲率線的充分必要條件是：曲面的沿著曲線的法線構(gòu)成可展曲面.證明. 對曲面上任意一條曲線，曲面的沿著曲線的法線構(gòu)成直紋

14、面，其中是的弧長參數(shù).由于和是相互正交的單位向量，從而是線性無關(guān)的.是可展曲面.上式兩邊與作內(nèi)積可得，從而上式等價于，這正好是曲線是曲率線的充分必要條件.例3.1 求旋轉(zhuǎn)面上的曲率線. 解 設(shè)旋轉(zhuǎn)面的方程為. 其中，并且是經(jīng)線的弧長參數(shù)，. 則，. 由于，并且，有，. 所以u-曲線(緯線圓)和v-曲線(經(jīng)線)都是曲率線. 當(dāng)時，這個旋轉(zhuǎn)面是平面，任何曲線都是曲率線. 當(dāng)時，. 如果是常數(shù)，即經(jīng)線是圓弧，則旋轉(zhuǎn)面是球面.此時任何曲線都是曲率線. 例3.2 求可展曲面上的曲率線.解 設(shè)可展曲面方程為. 已經(jīng)知道它的單位法向量與v無關(guān)，沿著v-曲線(直母線)有. 所以v-曲線是它的一族曲率線. 于是

15、v-曲線的正交軌線是它的另一族曲率線. 如果可展曲面是平面，任何曲線都是曲率線. 課外作業(yè)：習(xí)題1，4，5§ 4.4主方向和主曲率的計算一、Gauss曲率和平均曲率設(shè)曲面的參數(shù)方程為，和分別是的第一、第二類基本量.引理設(shè)是點的主曲率，則滿足， (4.4)即是二次方程的根，也就是方程 (4.8)的根，其中，分別稱為曲面的平均曲率(或中曲率) (mean curvature)和Gauss曲率(或總曲率)(Gaussian curvature). 換句話說，. (4.9)證明. 設(shè)是對應(yīng)的主方向. 則有，即.分別用與上式兩邊作內(nèi)積，得，.所以主方向滿足 (4.3)由于不全為零，可得(4.4

16、)式.設(shè)是點的兩個主曲率.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，. (4.6-7)因此，. (4.9)點是臍點的充分必要條件是在點成立.注 方程(4.4)即(4.8)是Weingarten變換的特征方程，在保持定向的參數(shù)變換下保持不變. 事實上，主曲率在保持定向的參數(shù)變換下不變，在反轉(zhuǎn)定向的參數(shù)變換下相差一個符號. 因此平均曲率在保持定向的參數(shù)變換下不變，在反轉(zhuǎn)定向的參數(shù)變換下相差一個符號. 而Gauss曲率在參數(shù)變換下保持不變.定理4.1 假定曲面是次連續(xù)可微的. 則主曲率函數(shù)是連續(xù)的，且在非臍點鄰近是次連續(xù)可微的.在臍點，. 從而由可知，(4.3)中的兩個方程成為恒等式. 此時，任何方向都是主方向.在非臍

17、點，分別用和代入(4.3)，得到相應(yīng)的主方向 (4.10)和. (4.11)將(4.3)改寫成 (4.12)由于不全為零，有， (4.14)即.(4.15)上式可寫成. (4.16)(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲面上曲率線的微分方程.定理4.2 設(shè)是曲面上一個固定點，它的曲紋坐標(biāo)為. 則在該點參數(shù)曲線的切方向是相互正交的主方向，當(dāng)且僅當(dāng)在該點有，. 此時，曲面在該點的兩個主曲率分別為，.證明 必要性. 在點，-曲線和-曲線相互正交，故. (1)又，是的特征向量，故，.分別用與上面兩式作內(nèi)積得，并且，. (4.17)充分性. 由條件，即，相互正交. 又.因此，即，是的特征向量.下

18、面的兩個定理是定理4.2的直接推論. 定理4.3參數(shù)曲線網(wǎng)是正交的曲率線網(wǎng)的充分必要條件是，此時.(4.18)定理4.4在非臍點，定理4.3中的參數(shù)曲線網(wǎng)局部總是存在的.注若曲面上沒有臍點，則可取正交的曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng).事實上，此時由(4.10)和(4.11)可確定兩個相互正交的主方向和. 從而有兩個相互正交的非零向量場和，它們是連續(xù)可微的. 根據(jù)第三章定理4.1，這樣的參數(shù)曲線網(wǎng)是存在的.若曲面上的點都是臍點，則曲面上任意曲線都是曲率線，此時任何正交參數(shù)曲線網(wǎng)都是曲率線網(wǎng). 但是在孤立臍點鄰近，未必有正交的曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng).二、Weingarten變換在自然基底下的矩陣我們知道是

19、切空間的基，稱為的自然基. 在這組基下，設(shè)Weingarten變換的矩陣為，即， (4.19)也就是分別用與上面二式作內(nèi)積得.因此. (4.21)代入(4.19)得. (4.22)我們知道Weingarten變換的特征多項式.其中是單位矩陣.的特征值是特征多項式的根，與基的取法無關(guān)，從而Gauss曲率和平均曲率與參數(shù)取法無關(guān)，是曲面的幾何不變量. Gauss曲率的幾何意義：從(4.19)可得.因此曲面上一個區(qū)域在Gauss映射下的像的面積元素. (4.23)所以的面積.根據(jù)積分中值定理，存在使得.讓區(qū)域收縮到一點，取極限得到.(4.25)這個公式是曲線論中的一個推廣,其中是曲線上一段由到的弧在

20、切線像下的弧長. 三、第三基本形式定義 設(shè)是曲面的單位法向量. 二次微分式 (4.27)稱為曲面的第三基本形式，其中.(4.28)注 利用Gauss映射，第三基本形式，其中是單位球面的第一基本形式.定理4.5曲面上的三個基本形式滿足.證明 因為Weingarten變換的特征多項式為，所以.其中是單位變換. 于是有同理可得，.課外作業(yè)：習(xí)題2，4，6§4.5Dupin標(biāo)形和曲面參數(shù)方程在一點的標(biāo)準(zhǔn)展開設(shè)是曲面上一個固定點，是點的兩個相互正交的單位主向量(即Weingarten變換的特征向量)，對應(yīng)的主曲率為. 對單位切向量 ()，沿該方向的法曲率為. 當(dāng)時，在點的切平面中取一點使得.

21、(5.3)點切平面中這樣的點的軌跡稱為曲面在點的Dupin標(biāo)形(或標(biāo)線indicatrix).在平面中取直角標(biāo)架, 現(xiàn)在來導(dǎo)出Dupin標(biāo)線的方程.設(shè)軌跡上的點在此坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為. 則.因此，. (5.4)由Euler公式得到. (5.5)這就是Dupin標(biāo)線的直角坐標(biāo)方程，它是平面中的二次曲線. 如果在平面中取極坐標(biāo)系，那么Dupin標(biāo)線的極坐標(biāo)方程可由(5.3)立即得到：. (5.5)當(dāng)點的Gauss曲率時，同號，Dupin標(biāo)線(5.5)是一個橢圓. (5.6)當(dāng)時，異號，Dupin標(biāo)線(5.5)是兩對共軛雙曲線. (5.7)它們的公共漸近線的方向正是曲面在點的漸近方向.當(dāng)時，若，不全為

22、零，Dupin標(biāo)線(5.5)是兩條平行直線() 或 (). (5.8)當(dāng)點為平點，即時，Dupin標(biāo)線不存在.圖4.4定義. 設(shè)，若，則稱點為曲面上的橢圓點；若，則稱點為曲面上的雙曲點；若，則稱點為曲面上的拋物點.下面考察曲面在一點鄰近的形狀. 在點鄰近取正交參數(shù)曲線網(wǎng)，使得點對應(yīng)的參數(shù)為，且，是點的兩個單位主向量. 則，且在點有，. (5.9)以標(biāo)架建立的坐標(biāo)系. 根據(jù)Taylor公式，, (5.10)其中. 由于， ， (5.11)(5.10)可化為. (5.12)(5.12)稱為曲面在點的標(biāo)準(zhǔn)展開.當(dāng)充分小時，我們得到的近似曲面，在標(biāo)架下，的參數(shù)方程為，顯式方程為. (5.14)直接計算

23、可知近似曲面與原曲面在點相切(即它們的切平面相同). 并且沿著點切空間的任何相同的切方向，兩者有相同的法曲率，即在點具有公共切方向的法截線有相同的曲率和相同的彎曲方向.在橢圓點，近似曲面是橢圓拋物面.在點是凸的.在雙曲點，是雙曲拋物面.在點不是凸的，且點的切平面與相交成兩條直線，它們是上過點的兩條漸近曲線.在非平點的拋物點，是拋物柱面，點的切平面與相交成一條直線，是上過點的漸近曲線.在平點，是平面. 此時，要考察曲面的近似形狀，需要將Taylor展式(5.10)展開到更高階的項. 見例5.2.用平面去截近似曲面，再投影到點的切平面上，就得到點的Dupin標(biāo)線.圖4.6例5.1考察圓環(huán)面，上各種

24、類型點的分布，其中常數(shù)滿足.解，. ，. 所以兩個主曲率為. Gauss曲率和平均曲率分別為. 當(dāng)時，這些點是拋物點，但不是平點. 它們構(gòu)成圓環(huán)面的上下兩個圓.當(dāng)時，這些點是雙曲點，布滿圓環(huán)面的內(nèi)側(cè).當(dāng)時，這些點是橢圓點，布滿圓環(huán)面的外側(cè).圖4.7例5.2(1) 猴鞍面. (2).課外作業(yè)：習(xí)題3§4.6某些特殊曲面將平面上一條曲線繞著軸旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)曲面. 它的參數(shù)方程為， (6.1)其中.它的母線是平面上的曲線：.則由，.，.可得， (6.2)，. (6.3)因此參數(shù)曲線網(wǎng)是正交的曲率線網(wǎng). 由定理4.2，主曲率為， .于是Gauss曲率和平均曲率分別為，. (6.4)一、Gauss曲率為常數(shù)的旋轉(zhuǎn)曲面如果是常數(shù)，則函數(shù)應(yīng)滿足.(6.5)積分得到， (6.6)其中為積分常數(shù).即有.于是. (6.7)1.若，則，其中，為積