對兩個重要極限的重要性的認(rèn)識

1、對兩個重要極限的重要性的認(rèn)識摘要 ：通過對兩個重要極限重要性的理解和認(rèn)識, 總結(jié)有關(guān)兩個重要極限的論文成果，指出兩個重要極限在微積分的計算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，主張學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識不僅局限于課本，要培養(yǎng)提高探究問題的能力，系統(tǒng)全面的看待問題，深刻細(xì)致的體會微積分思想的嚴(yán)謹(jǐn)性。關(guān)鍵詞 ： 重要極限；重要性；證明；應(yīng)用1. 緒論 兩個重要極限在微積分的計算和整個微積分思想中起著舉足輕重的作用，目前，關(guān)于這方面的分析已經(jīng)很成熟，有關(guān)于它們的來源，證明，應(yīng)用和深入擴(kuò)展，本文系統(tǒng)的總結(jié)了部分具有代表性的成果，從而可以直觀全面的認(rèn)識和體會兩個重要極限的重要性，對剛接觸極限理論，沒有深入認(rèn)識兩個重要極

2、限的學(xué)生來說，具有指導(dǎo)意義。 數(shù)學(xué)分析課程在講述關(guān)于兩個重要極限 和時，著重強(qiáng)調(diào)了它在整個極限計算中有重要地位。 它能將許多復(fù)雜的極限計算迅速簡化, 應(yīng)用非常靈活。因此，這兩個重要的極限可以說是全部微積分學(xué)計算的基礎(chǔ), 其重要性就不難理解了。試想, 若沒有它們, 那么只要遇見微積分相關(guān)的計算題, 必須用最基本的方法，有些還不一定求得出來，更不用說由它們推廣出的更復(fù)雜的應(yīng)用了。2.兩個重要極限的證明 兩個重要極限是極限理論的重要內(nèi)容, 也是解決極限問題的一種有效方法, 在學(xué)生的學(xué)習(xí)中, 起著重要作用，了解它們的證明方法對充分理解和認(rèn)識它們是十分必要的，它的證明過程也是對兩邊夾定理及單調(diào)有界數(shù)列必

3、有極限這一準(zhǔn)則的恰當(dāng)應(yīng)用。2.1第一個重要極限：證明：作單位圓，如圖1：圖1設(shè)為圓心角，并設(shè)見圖不難發(fā)現(xiàn)：，即：，即 ， （因?yàn)椋陨喜坏仁讲桓淖兎较颍?當(dāng)改變符號時，及1的值均不變，故對滿足的一切，有。 又因?yàn)椋?所以 而 ，證畢。2.2第二個重要極限：先考慮取正整數(shù)時的情形：對于，有不等式：，即：， 即：（i）現(xiàn)令，顯然，因?yàn)閷⑵浯耄?，所以為單調(diào)數(shù)列，記作。（ii）又令，所以 ，即對， 又對所以是有界的。由單調(diào)有界定理知 存在，并使用來表示，即3.兩個重要極限在微分學(xué)中的重要性在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們熟悉的基本初等函數(shù)有以下五類：冪函數(shù)(),指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)()，三角函數(shù)y=sin

4、x, y=cos x，y=tan x, y=cot x,反三角函數(shù)y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則混合運(yùn)算與符合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)，微積分中我們經(jīng)常需要計算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分學(xué)的基本概念導(dǎo)數(shù)是建立在極限概念基礎(chǔ)上的。即求一個函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù) ，就是計算極限 （3.1）當(dāng)這一極限存在時，其值就是 。但這僅僅是停留在導(dǎo)數(shù)定義上的，如果求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都要計算極限3.1的話，顯然是非常復(fù)雜和繁瑣的，勢必限制導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，并不都需要計算極限3.1，而只需根據(jù)基本

5、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則就可以很方便地求得任何一個初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，兩個重要極限對于以上六類基本初等函數(shù)的求導(dǎo)起到了至關(guān)重要的作用。 關(guān)于基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，我們可以大致分為三類函數(shù)：第一類是冪函數(shù)，第二類是三角函數(shù)和反三角函數(shù)，第三類是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。對于第一類函數(shù)的求導(dǎo)，要利用二項(xiàng)式定理和導(dǎo)數(shù)定義便求得。對于第二類函數(shù)的求導(dǎo)，需要利用到 這個重要極限。對于第三類函數(shù)的求導(dǎo)，需要利用到 這個極限。下面來看一看基本求導(dǎo)公式是如何得來的。3.1 重要極限在三角函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用以正弦函數(shù)sin x的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)為例.由導(dǎo)數(shù)的定義 其中應(yīng)用了第一個重要極限，即（令）。求得(sin

6、x)=后，其余的三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式就可以利用多個求導(dǎo)法則得到了。3.2 重要極限在指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用其次，再看看對數(shù)函數(shù)logx的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程。由導(dǎo)數(shù)定義其中應(yīng)用了第二個重要極限，即（令）。求得了以后，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的求導(dǎo)公式就容易得出了。 可見，兩個重要極限在導(dǎo)出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的過程中，特別是涉及三角函數(shù)的過程中起到了關(guān)鍵性的作用，沒有這兩個重要極限，兩類函數(shù)的求導(dǎo)公式就不可能得出。兩個重要極限在初等函數(shù)求導(dǎo)過程中起到了重要的紐帶作用，因?yàn)橥频拐液瘮?shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的過程中要用到這兩個極限，而所有的初等函數(shù)都可以從這兩類函數(shù)以及它們的反函數(shù)出發(fā)

7、，經(jīng)過有限的四則運(yùn)算復(fù)合得到。因此，從這兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出發(fā)，利用函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合和反函數(shù)求導(dǎo)法則，就能求得全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。再由于積分是微分的逆運(yùn)算，可以得到基本積分表，依靠他們能算出大量初等函數(shù)的積分?？梢哉f，兩個重要極限可以說是全部微分積分學(xué)的基礎(chǔ)，在微積分的計算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，所以這兩個重要極限極其重要。4.兩個重要極限在計算中的應(yīng)用 4.1兩個重要極限在一元極限中的應(yīng)用 第一個重要極限實(shí)際上是兩個無窮小之比的極限。若分子分母分別求極限便得 這一不定的結(jié)果，因此稱這一類型的極限為 型未定式。類似地，第二個重要極限是屬于型未定式。綜上所述，可以得出這樣的結(jié)論，凡是含有

8、三角函數(shù)的 型未定式和型未定式，我們都可不妨用兩個重要極限來試試，看能否求出它的結(jié)果，以下舉例來說明如何應(yīng)用這兩個重要極限于極限運(yùn)算中的。例1 求 解:=例2 求 解:= =例3 求解:令=t，則x=當(dāng)x®¥時t®0，于是=e 2例4 求解:令=1+u，則x=2當(dāng)x®¥時u®0，于是=e -1例5 求解:設(shè)t=tanx，則cotx當(dāng)x®0時t®0，于是=e4.2兩個重要極限在二元函數(shù)極限中的應(yīng)用4.2.1重要極限的應(yīng)用 極限是一元函數(shù)第一個重要極限的推廣，其中，時，把看作新變量，考慮極限過程。例1 求極限解：極限運(yùn)

9、算過程中第一個等號是一個恒等變形。我們設(shè)，定義域是。再設(shè)定義域顯然有?？梢钥吹?，從函數(shù)到定義域變小了，但，分別在各自的定義域D與內(nèi)，當(dāng)時，可以證明極限都是存在的，證明如下： （1）以下是對在定義域內(nèi)極限的證明。因?yàn)楫?dāng)時，有：所以由夾逼準(zhǔn)則得 =0 (2)對在定義域內(nèi)極限的存在性，由極限的四則運(yùn)算法則容易知道，并且其值易算得為0.既然在定義域內(nèi)極限存在，那么極限必唯一。我們可以在D內(nèi)任找的方式來計算出極限值。由D與的關(guān)系（），知道在中兩函數(shù)相等，所以在求極限找的方式時，我們可以在中找，顯然，兩函數(shù)的極限是相等的。，但是， =是成立的。所以在時，兩函數(shù)的極限是相等的。同理可以計算下面例子。例2 求

10、極限解：。 在一元函數(shù)中由第一個重要極限可以得到幾個常用的等價無窮小，推廣到二元函數(shù)中得到： 同一元函數(shù)一樣，等價無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用。 例3 求極限解：=0例4 求極限解：=4.2.2 重要極限 極限是一元函數(shù)中第二個重要極限的推廣。下面舉例說明它的應(yīng)用。例5 求極限解：= 對于二元函數(shù)極限的運(yùn)算方法除了利用兩個重要極限以外，還有多種方法，比如利用不等式，使用夾逼準(zhǔn)則；利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限的運(yùn)算法則；同時還可以用路徑的方法判斷極限不存在，但是在使用這些方法時往往不是孤立使用的，通常會多種方法綜合使用，來解決二元函數(shù)的極限問題。本文通過舉例主要討論了兩個重要極限在二元函數(shù)極限中的應(yīng)用，并給出了二元函數(shù)極限運(yùn)算中幾個常見的無窮小的等價代換公式及其應(yīng)用，更加深了對兩個重要極限在二元函數(shù)極限運(yùn)算中作用的理解，以便更好的解決二元函數(shù)的極限問題。5.總結(jié)關(guān)于兩個重要極限的公式本身十分簡單， 但由它們上面卻引出許多的話題. 關(guān)于它的證明方法還有很多，本文選取了最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的證法，還談及了它們的一些應(yīng)用，這些話題都反映一個共同思想: 在研究函數(shù)在一點(diǎn)的無窮小領(lǐng)域內(nèi)的變化性態(tài)時, 用某個與自變量增量成比例的量( 即微分) , 替代函數(shù)的增量, 常常是簡化并解決問題的辦法. 這就是微分學(xué)的基本思想, 對于微積分, 只有深入理解和掌握了這一思想, 才