定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

1、 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院學(xué)年論文題 目 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用 姓 名 鄧花蝶 學(xué) 號 1209403047 專業(yè)年級 2012級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 魏耿平 2015年 9 月 1 日定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用求剛體的轉(zhuǎn)動慣量摘要眾所周知，物理學(xué)是一門綜合性極高的學(xué)科，我們在學(xué)習(xí)的過程中通常都會將課堂理論知識和實(shí)踐活動有機(jī)的結(jié)合在一起，然而，在物理學(xué)中，我們通常都會遇到很多難題，比如解積分困難等。因此當(dāng)前我們在對物理學(xué) 的學(xué)習(xí)中，就要將定積分應(yīng)用到其中。定積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，在物理學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。微元法是將物理問題抽象成定積分非常實(shí)用的方法。本文主要利用微元法的思想求物理學(xué)中幾種常

2、見均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量。關(guān)鍵詞定積分； 物理應(yīng)用； 微元法; 轉(zhuǎn)動慣量；均勻剛體The application of definite integral in physicsFor the moment of inertia of rigid bodyAbstractAs we all know, physics is a comprehensive high discipline, in the learning processWe will usually make the classroom theoretical knowledge and practical activity of o

3、rganicunifies in together, however, in physics, we often encounter some problems, such as thedifficulty of solving integral. So in physics learning, we should apply definite integralto it. The integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential meth

4、od is a practical method that physical problems are abstractedintegral. In this paper, using the ideas of "micro element method" to solve inertia of severalcommon uniform rigid body in physics. Key wordsIntegral; physics application; differential method；rotational inertia ；uniform rigid bo

5、dy 1 引言物理學(xué)中應(yīng)用定積分法去解決實(shí)際問題是非常廣泛而重要的，運(yùn)用“數(shù)學(xué)微元”的思想抽象成定積分去求解物理學(xué)相關(guān)的問題，是大學(xué)物理學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)，不易被學(xué)生理解和掌握。大學(xué)物理學(xué)中，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量要用到定積分去解決問題。轉(zhuǎn)動慣量是剛體力學(xué)中一個較為重要的物理量。剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量 對形狀規(guī)則的常見均勻剛體，在計(jì)算中往往需要記憶它們的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式。同時，這些剛體在形式上又有聯(lián)系，它們的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式是否也有聯(lián)系呢？如果答案是肯定的，那么我們只需記憶一兩個轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式，就可以在應(yīng)用中很方便地推出其他相關(guān)剛體的轉(zhuǎn)動慣量。 2 幾種常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量2.1 圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量

6、例2.1：設(shè)有一個半徑為R質(zhì)量為m的均勻圓環(huán)， （1）求圓環(huán)對通過中心與其垂直的轉(zhuǎn)動慣量； （2）求圓環(huán)對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量.解：（1）如圖1所示，在圓環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量 為（為線密度，）,dl為圓弧元， 圖1該質(zhì)元對中心垂直軸Z的元轉(zhuǎn)動慣量 ，圓環(huán)對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為 （2）如圖2所示，將圓環(huán)分成無數(shù)個質(zhì)點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)到Z軸的距離為a,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為dm,其中所以該圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為 圖2 2.2 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量例2.2： 設(shè)有一個半徑為R質(zhì)量為m的均勻圓盤，（1）求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量； （2）求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：（1）整個圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量可看成許多半徑不同的同

7、心圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，圓盤質(zhì)量面密度為. 圖3在圓盤上取一半徑為x，寬度為dx的細(xì)圓環(huán)，如圖3所示，其圓面積,故該圓環(huán)的質(zhì)量，它對中心垂直軸Z的元轉(zhuǎn)動慣量為，整個圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為 （2）如圖4所示,整個圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量可看成許多平行y軸的細(xì)條對軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，圓盤質(zhì)量面密度為 .對應(yīng)于x,x+dx的平行y軸的細(xì)條，細(xì)條質(zhì)量為， 關(guān)于y軸的元轉(zhuǎn)動慣量為 圖4 ， 故圓盤對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為 （令x=Rsint） 2.3 圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量例2.3：設(shè)有一半徑為R，長度為L,質(zhì)量為m的均勻圓柱體，（1）求轉(zhuǎn)軸沿圓柱體幾何軸的轉(zhuǎn)動慣量；（2）求轉(zhuǎn)軸通過圓柱體中心與幾何軸垂直的轉(zhuǎn)動慣量.解：（1）

8、如圖5所示，在圓柱中取薄圓柱形質(zhì)量元dm,(體密度) 將體密度代入，得。 圖5（2） 如圖6所示，設(shè)圓柱體由與圍成，設(shè)圓柱體的體密度為，選取柱坐標(biāo)，圓柱體中某一點(diǎn)到Z軸的距離為，則轉(zhuǎn)動慣量為 圖6 代入 得 2.4 空心圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量例2.4：設(shè)有一內(nèi)徑為，外徑為 ，長度為L,質(zhì)量為m的空心圓柱體，（1）求轉(zhuǎn)軸沿空心圓柱體幾何軸的轉(zhuǎn)動慣量；（2）求轉(zhuǎn)軸通過空心圓柱體中心與幾何軸垂直的轉(zhuǎn)動慣量.解：（1）如圖7所示，在空心圓柱體中取薄圓柱形質(zhì)量元dm,，（體密度）將體密度代入，得（2）如圖8所示，設(shè)空心圓柱體由，與圍成，設(shè)圓柱體的體密度為， 圖7選取柱坐標(biāo)，圓柱體中某一點(diǎn)到Z軸的距離為,則轉(zhuǎn)動

9、慣量為 圖8代入，得2.5 細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量例2.5：、求質(zhì)量為m，長為L的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直（2）轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直解：（1）如圖9所示,先求轉(zhuǎn)動慣量微元dl,為此考慮細(xì)桿上x,dx一段，它的質(zhì)量為，把這一小段桿設(shè)想為位于x處的一質(zhì)點(diǎn)，它到轉(zhuǎn)動軸距離為，于是得微元為 圖9沿桿從到積分，得整個細(xì)桿轉(zhuǎn)動慣量為 (2)如圖10所示，由于棒上各質(zhì)元對軸的距離x為變量，我們采用微元法計(jì)算。在棒上任取一質(zhì)元，其長度為dx，距轉(zhuǎn)軸O的距離為x，設(shè)細(xì)棒的線密度（即單位長度的質(zhì)量）為，則該質(zhì)元的質(zhì)量為,該質(zhì)元對中心軸的元轉(zhuǎn)動慣量為 圖102.6 球體與球殼的轉(zhuǎn)動慣量例2.6

10、 ：求半徑為R，質(zhì)量為m的均勻球體繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量.解：由轉(zhuǎn)動慣量的定義出發(fā)，通過取質(zhì)量微元的方法進(jìn)行求解。取球體所繞的直徑為z軸，如圖11所示,建立空間直角坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系中在點(diǎn)（x，y，z）處任取一體積微元，該微元可近似看成一小立方體，且可視為質(zhì)點(diǎn)，則該體積元的體積dv=dxdydz，其質(zhì)量。為球的質(zhì)量體密。設(shè)該體積元到z軸的距離為r，則該體積元繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量為，其中，所以整個球體的轉(zhuǎn)動慣量為 圖11 例2.7 ：求半徑為R，質(zhì)量為m的均勻球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量.解：球殼質(zhì)量面密度為球殼可被看作由許多小圓環(huán)構(gòu)成 如圖12所示,選取其中一小圓環(huán)考慮，該小圓環(huán)的質(zhì)量 則該質(zhì)元的轉(zhuǎn)動慣量整個球殼的轉(zhuǎn)動慣量 圖12結(jié)論本文通過定積分法來解決物理學(xué)中常見的棘手問題，進(jìn)而分析了怎樣應(yīng)用定積分的“數(shù)學(xué)微元”思想來解決物理學(xué)問題的新思路。上述是定積分在物理學(xué)轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用中的一些例子，本文借助定積分解決了物理學(xué)中轉(zhuǎn)動慣量的求法，介紹了怎樣用定積分中的微元法思想來解決物理問題。由此可見，人們在物理學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們就可以利用定積分的方法，來對其進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算分析，從而有效的解決人們在物理學(xué)計(jì)算中存在的相關(guān)問題，進(jìn)而得到準(zhǔn)確的數(shù)值。從上列的計(jì)算可以清楚的看到剛體的轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量有關(guān)；即使質(zhì)量相同，繞同一轉(zhuǎn)軸而由于剛體的形狀不同（或質(zhì)量的分布不同）轉(zhuǎn)動慣量也不相同