平面幾何的定值與最值問題

1、第二十三講 平面幾何的定值與最值問題【趣題引路】 傳說從前有一個(gè)虔誠的信徒,他是集市上的一個(gè)小販.每天他都要從家所在的點(diǎn)A出發(fā),到集市點(diǎn)B,但是,到集市之前他必須先拐彎到圓形古堡朝拜阿波羅神像.古堡是座圣城,阿波羅像供奉在古堡的圓心點(diǎn)O,而周圍上的點(diǎn)都是供信徒朝拜的頂禮地點(diǎn)如圖1.這個(gè)信徒想,我怎樣選擇朝拜點(diǎn),才能使從家到朝拜點(diǎn),然后再到集市的路程最短呢? (1) (2) 解析 在圓周上選一點(diǎn)P,過P作O的切線MN,使得APK=BPK,即=.那么朝圣者沿APB的路線去走,距離最短.證明 如圖2,在圓周上除P點(diǎn)外再任選一點(diǎn)P.連結(jié)BP與切線MN交于R,AR+BR>AP+BP.RP+AP&g

2、t;AR.AP+BP=AP+RP+RB>AR+BP>AP+BP. 不過,用尺規(guī)作圖法求點(diǎn)P的位置至今沒有解決.“古堡朝圣問題”屬于數(shù)學(xué)上“最短路線問題”,解決它的方法是采用“等角原理”.【知識延伸】 平面幾何中的定值問題,是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變,或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題.所謂幾何定值問題就是要求出這個(gè)定值. 在解決這類問題的過程中,可以直接通過計(jì)算來求出定值;也可以先考慮某一個(gè)特殊情形下的該相關(guān)值,然后證明當(dāng)相應(yīng)幾何元素變化時(shí),此值保持不變. 例1 如果ABC的外接圓半徑R一定,求證: 是定值.(S表示ABC的面積)解析 由三角形面積

3、S=absinC和正弦定理=2R,c=2RsinC. =4R是定值.點(diǎn)評 通過正弦定理和三角形面積公式經(jīng)過變形,計(jì)算出結(jié)果是4R,即為定值. 平面幾何中不僅有等量關(guān)系,還有不等關(guān)系,例如在變動一些幾何元素時(shí),某一相關(guān)的值保持不大于(或不小于)某個(gè)定值,如果這個(gè)定值在某個(gè)情形下可以取得,這就是一個(gè)幾何極值.確定幾何極值的問題稱為幾何極值問題,解決這些問題總要證明相關(guān)的幾何不等式,并指明不等式成為等式的情形(或者至少證明不等式可以成為等式).例2 如圖,已知O的半徑R=3,A為O上一點(diǎn),過A作一半徑為r=3的O,問OO何時(shí)最長?最長值是多少?OO何時(shí)最短?最短值是多少?解析 當(dāng)O落在OA的連線段上

4、(即A與線段OA的交點(diǎn)B時(shí))OO最短,且最短長度為3-3 ;當(dāng)O落在OA的延長線上(即O與OA的延長線交點(diǎn)C時(shí))OO最長,且最長的長度為3+3 .點(diǎn)評 O是一個(gè)動圓,滿足條件的O有無數(shù)個(gè),但由于O過A點(diǎn),所以O(shè)的圓心O在以A為圓心半徑為3的A上.【好題妙解】佳題新題品味 例1 如圖,已知P為定角O的角平分線上的定點(diǎn),過O、P兩點(diǎn)任作一圓與角的兩邊分別交于A、B兩點(diǎn).求證:OA+OB是定值. 證明 連結(jié)AP、BP,由于它們?yōu)橛邢嗤瑘A周角的弦,AP=PB,不妨記為r.另記x1=OA,x2=OB.對POA應(yīng)用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cosAOP·x1=r2. 故x1為

5、方程x2-2OP·cosAOB·x+(OP2-r2)=0的根,同理x2亦為其根. 因此x1,x2為此方程的兩根,由韋達(dá)定理,得x1+x2=2OP(AOB)是定值.點(diǎn)評 當(dāng)x1=x2時(shí),x1+x2為此定值,事實(shí)上此時(shí)OP一定是直徑.例2 如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=9,O與外切,且O與AB、BC相切.O與AD、CD相切,設(shè)O的半徑為x,O與O的面積的和為S,求S的最大值和最小值. 解析 設(shè)O的半徑為y,過O與O分別作CD與BC的垂線OH,OF,垂足分別為H,F,OH、OF交于點(diǎn)E,則有:OE=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得: (x+y)2=8

6、-(x+y)2+9-(x+y)2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0, 由題意知1x4,x+y=5,y=-x+5,S=x+y=(2x-10x+25), =2(x-)2+, 故當(dāng)x=時(shí),Smin=; 當(dāng)x=4時(shí),S=17.點(diǎn)評 先由已知求出O的半徑也O的半徑x之間的關(guān)系,然后再根據(jù)面積公式寫出S與x之間的關(guān)系,這個(gè)關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系,再通過函數(shù)的性質(zhì)得解.中考真題欣賞例 (南京市中考題)如圖,O1與O2內(nèi)切于點(diǎn)P,又O1切O2的直徑BE于點(diǎn)C,連結(jié)PC并延長交O2于點(diǎn)A,設(shè)O1,O2的半徑分別為r、R,且R2r.求證:PC·AC是定值.解析 若放大O1,使O1切O2的直徑于

7、點(diǎn)O2(如圖),顯然此時(shí)有PC·AC=PO2·AO2=2r·R(定值).再證明如圖的情況:連結(jié)CO1,PO2,則PO2必過點(diǎn)O1,且O1CBE,得CO2=,從而BC=R+,EC=R-. 所以PC·AC=EC·BC=2Rr,故PC·AC是定值.點(diǎn)評 解答幾何定值問題時(shí),可先在符合題目條件的前提下用運(yùn)動的觀點(diǎn),從特殊位置入手,找出相應(yīng)定值,然后可借助特殊位置為橋梁,完成一般情況的證明.競賽樣題展示 例1 (第十五屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽題)如圖,正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)(可與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合),分別過點(diǎn)B、C、D作射線A

8、P的垂線,垂足分別為點(diǎn)B、C、D.求BB+CC+DD的最大值和最小值.解析 SDPC= SAPC =AP·CC,得S四邊形BCDA= SABP+ SADP+ SDPC = AP(BB+DD+CC),于是BB+CC+DD=.又1AP,故BB+CC+DD2,BB+CC+DD的最小值為,最大值為2.點(diǎn)評 本題涉及垂線可考慮用面積法來求. 例2 (2000年“新世紀(jì)杯”廣西競賽題)已知ABC內(nèi)接于O,D是BC或其延長線上一點(diǎn),AE是ABC外接圓的一條弦,若BAE=CAD.求證:AD.AE為定值.證明 如圖 (1),當(dāng)點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)且BAE=CAD時(shí),連結(jié)BE,則E=C,BAE=CAD,

9、 ABEADC. ,即AD·AE=AB·AC為定值. 如圖 (2),當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí),BAE=CAD.此時(shí),ACD=AEB. AEBACD, 即AD·AE=AB·AC為定值. 綜上所述,當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上或其延長線上時(shí),只要CAD=BAE,總有AD·AE為定值.點(diǎn)評 先探求定值,當(dāng)ADBC,AE為圓的直徑時(shí),滿足BAE=CAD這一條件,不難發(fā)現(xiàn)ACDAEB,所以AD·AE=AB·AC,因?yàn)橐阎狝B,AC均為定值.再就一般情況分點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)D在BC的延長線上兩種情況分別證明.全能訓(xùn)練A級1.已知MN是O的切線,AB是

10、O的直徑.求證:點(diǎn)A、B與MN的距離的和為定值.2.已知:O與O1外切于C,P是O上任一點(diǎn),PT與O1相切于點(diǎn)T.求證:PC:PT是定值.3.O1與O2相交于P、Q兩點(diǎn),過P作任一直線交O1于點(diǎn)E,交O2于點(diǎn)F.求證:EQF為定值.4.以O(shè)為圓心,1為半徑的圓內(nèi)有一定點(diǎn)A,過A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如圖,已知ABC的周長為2p,在AB、AC上分別取點(diǎn)M和N,使MNBC,且MN與ABC的內(nèi)切圓相切.求:MN的最值. B級1.如圖1,已知正方形ABCD的邊長為3,點(diǎn)E在BC上,且BE=2,點(diǎn)P在BD上,則PE+PC的最小值為( ) A.2 B. C. D.15

11、 (1) (2) (3)2.用四條線段a=14,b=13,c=9,d=7.作為四條邊構(gòu)成一個(gè)梯形,則在所構(gòu)成的梯形中,中位線長的最大值是_.3.如圖2,O的半徑為,A、B兩點(diǎn)在O上,切線AQ和BQ相交于Q,P是AB延長線上任一點(diǎn),QSOP于S,則OP·OS=_.4.已知,如圖3,線段AB上有任一點(diǎn)M,分別以AM,BM為邊長作正方形AMFE、MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圓O、O交于M、N兩點(diǎn),則直線MN的情況是( ) A.定直線 B.經(jīng)過定點(diǎn) C.一定不過定點(diǎn) D.以上都有可能5.如圖,已知O的半徑為R,以O(shè)上一點(diǎn)A為圓心,以r為半徑作A,又PQ與A 相切,切點(diǎn)為D,且交O

12、于P、Q.求證:AP·AQ為定值.6.如圖,O1與O2相交于A、B兩點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)B的一直線和兩圓分別相交于點(diǎn)C和D,設(shè)此兩圓的半徑為R1,R2.求證:AC:AD=R1:R2.A級(答案)1.定長為圓的直徑;2.利用特殊位置探求定值(當(dāng)PC構(gòu)成直徑時(shí))定值為(R,r是兩圓的半徑).3.因E,F為定角(大小固定)易得EQF為定值.4.如圖,設(shè)OA=a(定值),過O作OBPQ,OCRS,B、C為垂足,設(shè)OB=x,OC=y,0xa,(0ya),且x2+y2=a2.所以PQ=2PB=2 ,RS=2(+) .所以PQ+RS=2(-).(PQ+RS)2=4(2-a2+2)而x2y2=x2(a2-x2

13、)=-(x2-)2+.當(dāng)x2=時(shí),(x2y2)最大值=.此時(shí)PQ+RS=;當(dāng)x2=0或x2=a2時(shí),(x2y2)最小值=0,此時(shí)(PQ+RS)最小值=2（1+）.5.設(shè)BC=a,BC邊上的高為h,內(nèi)切圓半徑為r.AMNABC, ,MN=a(1-),由SABC=rp,r=,MN=a(1-)=p·(1-)p=,當(dāng)且僅當(dāng)=1-,即a=時(shí),取等號,MN的最大值為.B級(答案)1.B.A、C關(guān)于BD對稱,連結(jié)AE交BD于P,此時(shí)PE+PC=AE最短. (1)當(dāng)上底為7,下底分別為14,13,9時(shí),中位線長分別為10.5,10,8;(2)當(dāng)上底為9和13時(shí),均構(gòu)不成梯形.3.連結(jié)OQ交AB于M,則OQAB.連結(jié)OA,則OAAQ.QMP=QSP=90°,S,P,Q,M四點(diǎn)共圓,故OS·OP=OM·OQ.又OM·OQ=OA2=2,OS·OP=2.4.B.由圖可知直線MN可看作O和O的割線,當(dāng)M在點(diǎn)A時(shí),直線MN變?yōu)镺的切線,當(dāng)M在點(diǎn)B時(shí),直線MN變?yōu)镺的切線.這兩種情況是以AB為直角邊的等腰直角三角形的兩直