定積分思想的理論延拓及應(yīng)用

1、本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題目： 定積分思想的理論延拓及應(yīng)用學(xué) 院 專 業(yè) 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 指導(dǎo)教師 山東財(cái)政學(xué)院教務(wù)處制二一一年 五月 定積分思想的理論延拓及應(yīng)用 xxx 一直以來(lái)定積分問(wèn)題就是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是研究生入學(xué)考試重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，所以本文對(duì)定積分的起源、發(fā)展以及它在數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用做了重點(diǎn)研究。幷利用一些例題對(duì)這些問(wèn)題做除了詳細(xì)解析。一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分記為： 其中成為被積函

2、數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是（2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功 1.2定積分的幾何意義 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積說(shuō)明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào) 分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值考察和式不妨設(shè)于是和式即為陰影用類似求圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積,

3、常見的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,解此類題常用的方法是我們將此物體劃分成許多基本的小塊,每塊的厚度為,假設(shè)每一個(gè)基本的小塊橫截面積為A（x）,則此小塊的體積是A(x),將所有的小塊加起來(lái)，另，我們可以得到其體積v=lim其中 a和 b分別為計(jì)算體積的起始值和終了值. 下面來(lái)看幾個(gè)例題例1 求橢圓面所圍立體的體積解：以平面)截橢球面,得橢圓在YOZ平面上的正投影所以截面面積函數(shù)為 于是求得橢球體積顯然當(dāng)=r 時(shí),就等于球的體積1.4.2定積分在初等數(shù)學(xué)里的應(yīng)用近些年來(lái)，定積分還越來(lái)越多的被廣泛應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題上來(lái)，下面來(lái)討論一下定積分在證明不等式，等式和一

4、些數(shù)列的極限的方面的應(yīng)用一、 證明不等式運(yùn)用積分來(lái)證明不等式，一般要利用到積分的如下性質(zhì)：設(shè)與都在上可積且；則特別的當(dāng)時(shí)，有例2 證明貝努利不等式 已知且且求證：證明：若或且時(shí)， 。因此 即為。若或且時(shí)因此 由此可得。綜合以上可得：當(dāng)時(shí)，且 且 時(shí)有由上面的證明我們可以推廣，去掉條件時(shí)，結(jié)論仍然成立所以，我們可以得到一個(gè)一般的結(jié)論設(shè) 則若時(shí)，有若或時(shí)，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩式中的等號(hào)成立例3已知是實(shí)數(shù)，并且，其中是自然對(duì)數(shù)的底，證明證明：當(dāng)時(shí)，要證明，只要證明 既要證明 時(shí)，因?yàn)?從而所以當(dāng)時(shí)， 于是得到求和：根據(jù)微分與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系,先對(duì)和式積分,利用已知數(shù)列的和式得到積分和,再求導(dǎo)即可.二

5、、定積分在幾何中的應(yīng)用2.1微元法微元法（或元素法）可加性可加性，所求量所求量所求量直角坐標(biāo)情形根據(jù)定積分的幾何意義，由區(qū)間連續(xù)曲線、及直線所圍成的平面圖形的面積A，由定積分的性質(zhì)，此式可寫為 (利用微元法求解可得同樣的結(jié)果)其中d就是面積元素2.2.2極坐標(biāo)情形 圖 5-17某些平面圖形，用極坐標(biāo)計(jì)算它們的面積比較方便用微元法計(jì)算：由極坐標(biāo)方程所表示的曲線與射線所圍成的曲邊扇形面積（圖5-17）以極角為積分變量，積分區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，與它相應(yīng)的小曲邊扇形面積近似于以為圓心角為半徑的圓扇形面積，從而得到面積元素于是所求面積為例4 計(jì)算心形線所圍成的平面圖形的面積（圖5-18）解：由于圖

6、形對(duì)稱于極軸，只需算出極軸以上部分面積，再2倍即得所求面積A對(duì)于極軸以上部分圖形，的變化區(qū)間為相應(yīng)于上任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積近似于半徑為、圓心角為的圓扇形的面積從而得到面積元素圖 5-18，得 = = =所以，所求面積為2.3用定積分求解圖形體積2.3.1旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)一旋轉(zhuǎn)體是由曲線與直線、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成（圖5-19）現(xiàn)用微元法求它的體積在區(qū)間上任取，對(duì)應(yīng)于該小區(qū)間的小薄片體積近似于以為半徑，以為高的薄片圓柱體體積，從而得到體積元素為 圖 5-19 從a到b積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為 類似地，若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線與直線及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，則其體積為例5 求

7、橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（圖5-20）圖 5-20解 將橢圓方程化為體積元素為所求體積為 =當(dāng)a=b=R時(shí)，得球體積V=2.3.2平行截面面積為已知的立體的體積從計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的過(guò)程中可以看出：如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么，這個(gè)立體的體積也可以用定積分計(jì)算 圖5-22如圖5-22所示，取上述定軸為x軸，并設(shè)該立體在過(guò)點(diǎn)x=a、x=b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間，以A(x)表示過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積A(x)為x的已知的連續(xù)函數(shù)取x為積分變量，它的變化區(qū)間為立體中相應(yīng)于上任一小區(qū)間的薄片的體積，近似于底面積為A(x)、高為dx的扁柱體的體積

8、，即體積元素于是所求立體的體積為例6 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角（圖5-23）計(jì)算這個(gè)平面截圓柱所得立體的體積解： 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸，以過(guò)底圓中心且垂直x軸的直線為y軸此時(shí)，底圓的方程為立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是直角三角形它的兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為，即于是截面面積為圖 5-23因此所求立體體積為=三定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用3.1常見的經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)3.1.1需求函數(shù)需求量是指在特定時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者打算并能夠購(gòu)買的某種商品的數(shù)量，用Q 表示，它與商品價(jià)格P 密切相關(guān)，通常降低商品價(jià)格使需求量增加；提高商品價(jià)格會(huì)使需求量減少.如果不考慮其它因素的影響（

9、或其它因素不變），則Q 是P 的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作Q = f (P)它通常是一個(gè)單調(diào)減少函數(shù).常見的需求函數(shù)有以下幾種類型：1. 線性需求函數(shù)Q = a + bP (a > 0,b > 0)2. 二次需求函數(shù)Q = a bP (a > 0,b > 0,c > 0)3. 指數(shù)需求函數(shù) (a > 0,b > 0)有時(shí)也把Q = f (P)的反函數(shù)P = f 1 (Q)也稱為需求函數(shù).3.1.2供給函數(shù)供給量是指在特定時(shí)間內(nèi)，廠商愿意并能夠出售的某種商品的數(shù)量，用S 表示，假設(shè)除了商品的價(jià)格P 外影響供給的其它因素均不變，則S 是P 的函數(shù)S = g(

10、P)它通常是一個(gè)單調(diào)增函數(shù).常見的供給函數(shù)有以下幾種類型：1. 線性供給函數(shù)S = a + bP (a > 0,b > 0)2. 指數(shù)供給函數(shù)S = (a > 0,b > 0)當(dāng) Q=S 時(shí)，市場(chǎng)的供需處于平衡狀態(tài)，此時(shí)的價(jià)格稱為均衡價(jià)格，需求（或供給）量稱為均衡數(shù)量.當(dāng)商品由某廠商獨(dú)家生產(chǎn)時(shí)，廠商是價(jià)格的制定者，它自然會(huì)考慮消費(fèi)者對(duì)價(jià)格的反應(yīng)并依需求規(guī)律組織生產(chǎn)，其產(chǎn)量即需求量，價(jià)格與產(chǎn)量（需求量）的關(guān)系由需求函數(shù)確定，稱該商品市場(chǎng)為完全壟斷市場(chǎng)；當(dāng)商品由眾多互不占優(yōu)勢(shì)的廠商共同生產(chǎn)時(shí)，各廠商之間、消費(fèi)者之間展開競(jìng)爭(zhēng)并最終使市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)，此時(shí)商品價(jià)格即為均衡價(jià)格,

11、單一廠商或消費(fèi)者的行為（改變產(chǎn)量或需求量）不再影響市場(chǎng)均衡，稱該商品市場(chǎng)為完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng).3.1.3總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)在生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，如果投入的各要素價(jià)格不變，則成本C 是產(chǎn)量開銷售量Q 的函數(shù)C = C(Q)，稱為總成本函數(shù).一般地總成本函數(shù)由兩部分組成C(Q)= 其中 為固定成本，它與產(chǎn)量無(wú)關(guān)，如廠房、設(shè)備的折舊費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)等; 為可變成本，它隨產(chǎn)量的增加而增加，如原材料、動(dòng)力、工人的工資等.常見的成本函數(shù)是線性函數(shù).C(Q)= +aQ (a.>0) 以總成本除以產(chǎn)量，得平均成本函數(shù)其中與分別稱為平均固定成本與平均可變成本.廠商銷售Q 單位的商品所提收入為R = R(

12、Q)，稱為總收入（益）函數(shù).設(shè)商品的價(jià)格為P，則總收入函數(shù)為R(Q)=PQ總利潤(rùn)L 等于總收入與總成本的差，于是總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(Q) = R(Q) C(Q)3.1.4生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)是指指產(chǎn)量Q 與各種投入要素之間的函數(shù)關(guān)系其中 為n 種要素的投入量.如果只考慮兩種投入要素：資本K 和勞動(dòng)L,則生產(chǎn)函數(shù)為Q = f (K, L)常見的生產(chǎn)函數(shù)有1. 線性生產(chǎn)函數(shù)Q = aK + bL (a,b > 0)2. Cobb-Douglas 生產(chǎn)函數(shù) (A, , > 0)上兩個(gè)生產(chǎn)函數(shù)都滿足f (K,L) = f (K, L) ,這稱為規(guī)模報(bào)酬不變.3.2定積分在邊際函數(shù)中的應(yīng)用積分是微分

13、的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù).設(shè)總量函數(shù)P(x)在區(qū)間I 上可導(dǎo)，其邊際函數(shù)為P(x)，a, x I ，則總有函數(shù)當(dāng) x 從a 變到b 時(shí)，P(x)的改變量為將 x 改為產(chǎn)量Q，且a=0 時(shí)，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤(rùn)L(Q)，可得其中即為固定成本，為可變成本 （ 因?yàn)椋?已知某公司獨(dú)家生產(chǎn)某產(chǎn)品，銷售Q 單位商品時(shí)，邊際收入函數(shù)為（元/單位）（a>0,b>0,c>0）求：(1)公司的總收入函數(shù)；(2)該產(chǎn)品的需求函數(shù).解 ：(1)總收入函數(shù)為=(2)設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格為P，則，得需求函數(shù)為 某企業(yè)想購(gòu)買一臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備成本為50

14、00 元T 年后該設(shè)備的報(bào)廢價(jià)值為S(t)=5000-400t 元，使用該設(shè)備在t 年時(shí)可使企業(yè)增加收入850-40t（元）若年利率為5%，計(jì)算連續(xù)復(fù)利，企業(yè)應(yīng)在什么時(shí)候報(bào)廢這臺(tái)設(shè)備？此時(shí)，總利潤(rùn)的現(xiàn)值是多少？解： T 年后總收入的現(xiàn)值為T 年后總利潤(rùn)的現(xiàn)值為 令L(T) = 0，得T=10當(dāng)T<10 時(shí)，L(T) > 0，當(dāng)T<10 時(shí)，L(T) < 0，則T=10 是惟一的極大值點(diǎn)即T=10 時(shí)，總利潤(rùn)的現(xiàn)值最大，故應(yīng)在使用10 年后報(bào)廢這臺(tái)機(jī)器此時(shí)企業(yè)所得的利潤(rùn)的現(xiàn)值為 (元)3.3定積分在消費(fèi)者剩余或生產(chǎn)者剩余中的應(yīng)用在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，生產(chǎn)并銷售某一商品的數(shù)量可由這

15、一商品的供給曲線與需求曲線萊描述（下圖）需求量與供給量都是價(jià)格的函數(shù)，用橫坐標(biāo)表示價(jià)格，縱坐標(biāo)表示需求量或供給量在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，價(jià)格和數(shù)量在不斷調(diào)整，最后趨向平衡價(jià)格和平衡數(shù)量，分別用和表示，也即供給曲線與需求曲線的交點(diǎn)E在圖中， 是供給曲線在價(jià)格坐標(biāo)軸上的截距，也就是當(dāng)價(jià)格為時(shí)，供給量是零，中有價(jià)格高于時(shí)，才有供給量而是需求曲線的截距，當(dāng)價(jià)格為時(shí)，需求量是零，只有價(jià)格低于時(shí)，才有需求則表示當(dāng)商品免費(fèi)贈(zèng)送是的最大需求在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，有時(shí)一些消費(fèi)者愿意對(duì)某種商品付出比市場(chǎng)價(jià)格P0更高的價(jià)格，由此他們所得到的好處稱為消費(fèi)者剩余(CS).由圖7-16可以看出： (1)同理，對(duì)生產(chǎn)者來(lái)說(shuō)，有時(shí)也有一些生產(chǎn)

16、者愿意以比市場(chǎng)價(jià)格P0低的價(jià)格出售他們的商品，由此他們所得到的好處稱為生產(chǎn)者剩余(PS)，如圖7-16所示，有 (2)例9設(shè)需求函數(shù)Q8-，供給函數(shù)Q，求消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余.解:首先求出均衡價(jià)格與供需量.得 15，3.令8-0，得P124，令0，得9，代入(3)、(4)式得CS，PS.3.4定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用3.4.1定積分在國(guó)民收入中的應(yīng)用現(xiàn)在，我們討論國(guó)民收入分配不平等的問(wèn)題.觀察如下圖中的勞倫茨(MOLorenz)曲線.橫軸OH表示人口(按收入由低到高分組)的累計(jì)百分比，縱軸OM表示收入的累計(jì)百分比.當(dāng)收入完全平等時(shí)，人口累計(jì)百分比等于收入累計(jì)百分比，勞倫茨曲線為通過(guò)原點(diǎn)、傾角

17、為45°的直線；當(dāng)收入完全不平等時(shí)，極少部分(例如1%)的人口卻占有幾乎全部(100%)的收入，勞倫茨曲線為折線OHL.實(shí)際上，一般國(guó)家的收入分配，既不會(huì)是完全平等，也不會(huì)是完全不平等，而是在兩者之間，即勞倫茨曲線是圖中的凹曲線ODL.易見勞倫茨曲線與完全平等線的偏離程度的大小(即圖示陰影面積)，決定了該國(guó)國(guó)民收入分配不平等的程度.為方便計(jì)算，取橫軸OH為x軸，縱軸OM為y軸，再假定該國(guó)某一時(shí)期國(guó)民收入分配的勞倫茨曲線可近似表示為yf(x)，則即 不平等面積A最大不平等面積(A+B)-B12-f(x)dx系數(shù)表示一個(gè)國(guó)家國(guó)民收入在國(guó)民之間分配的不平等程度，經(jīng)濟(jì)學(xué)上，稱為基尼(Gini

18、)系數(shù)，記作G. 顯然，G0時(shí)，是完全平等情形；G1時(shí)，是完全不平等情形.例10 某國(guó)某年國(guó)民收入在國(guó)民之間分配的勞倫茨曲線可近似地由yx2，x0，1表示，試求該國(guó)的基尼系數(shù).解:如圖7-15所示，有故所求基尼系數(shù)3.4.2定積分在投資問(wèn)題中的應(yīng)用對(duì)于一個(gè)正常運(yùn)營(yíng)的企業(yè)而言，其資金的收入與支出往往是分散地在一定時(shí)期發(fā)生的，比如購(gòu)買一批原料后支出費(fèi)用，售出產(chǎn)品后得到貨款等等.但這種資金的流轉(zhuǎn)在企業(yè)經(jīng)營(yíng)過(guò)程中經(jīng)常發(fā)生，特別對(duì)大型企業(yè)，其收入和支出更是頻繁的進(jìn)行著.在實(shí)際分析過(guò)程中為了計(jì)算的方便，我們將它近似地看做是連續(xù)地發(fā)生的，并稱之為收入流(或支出流).若已知在t時(shí)刻收入流的變化率為f(t)(單

19、位：元/年、元/月等)，那么如何計(jì)算收入流的終值和現(xiàn)值呢?企業(yè)在0，T這一段時(shí)間內(nèi)的收入流的變化率為f(t)，連續(xù)復(fù)利的年利率為r.為了能夠利用計(jì)算單筆款項(xiàng)現(xiàn)值的方法計(jì)算收入流的現(xiàn)值，將收入流分成許多小收入段，相應(yīng)地將區(qū)間0，T平均分割成長(zhǎng)度為t的小區(qū)間.當(dāng)t很小時(shí)，f(t)在每一子區(qū)間內(nèi)的變化很小，可看做常數(shù)，在t與t+t之間收入的近似值為f(t)t，相應(yīng)收入的現(xiàn)值為f(t)e-rtt，再將各小時(shí)間段內(nèi)收入的現(xiàn)值相加并取極限，可求總收入的現(xiàn)值為現(xiàn)值，(1)類似地可求得總收入的終值為終值.(2)例11某企業(yè)將投資800萬(wàn)元生產(chǎn)一種產(chǎn)品，假設(shè)在投資的前20年該企業(yè)以200萬(wàn)元/年的速度均勻地收回

20、資金，且按年利率5%的連續(xù)復(fù)利計(jì)算，試計(jì)算該項(xiàng)投資收入的現(xiàn)值及投資回收期.解:依題知f(t)200，由公式(1)知投資總收入的現(xiàn)值為現(xiàn)值4000(1-)2528.4.假設(shè)回收期為T年，則由公式(1)知，由此可解出T-20ln0.84.46(年)，所以回收期約為4.46年.若有一筆收益流的收入率為f ( t) , 假設(shè)連續(xù)收益流以連續(xù)復(fù)利率r 計(jì)息, 從而總現(xiàn)值例12 現(xiàn)對(duì)某企業(yè)給予一筆投資A, 經(jīng)測(cè)算,該企業(yè)在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 若年利潤(rùn)為r, 試求：( 1) 該投資的純收入貼現(xiàn)值;( 2) 收回該筆投資的時(shí)間為多少?解: ( 1) 求投資純收入的貼現(xiàn)值： 因收入率

21、為a, 年利潤(rùn)為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現(xiàn)值為 從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為 ( 2) 求收回投資的時(shí)間： 收回投資, 即為總收入的現(xiàn)值等于投資由得即收回投資的時(shí)間為結(jié)束：定積分與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較近，牛頓曾利用積分從萬(wàn)有引力導(dǎo)出行星三定律定積分在物理，化學(xué)，經(jīng)濟(jì)，工程中也有重要的應(yīng)用，我也相信，隨著人類認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展，定積分將越來(lái)越起著重要的作用參考文獻(xiàn) ： 1 華東師大數(shù)學(xué)系編 數(shù)學(xué)分析上冊(cè) 高等教育出版社2 數(shù)學(xué)分析上冊(cè) 陳傳璋 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 3 微積分及其應(yīng)用 李公國(guó)（譯） 徐氏基金會(huì)出版社4 普通物理簡(jiǎn)明教程 戴啟潤(rùn) 西北大學(xué)出版社 5 競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程 陳傳理 張同君 高等教育出版社 6 積分（經(jīng)管類） 吳贛昌 中國(guó)人民大學(xué)出版社7 濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分