簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃二

1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（二）線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案（二）教學(xué)目標(biāo)鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能用此來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最值重點(diǎn)難點(diǎn)理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)如何擾實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)步驟【新課引入】我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，在這里開(kāi)始，教學(xué)又翻開(kāi)了新的一頁(yè)，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可以逐步看到它的運(yùn)用【線性規(guī)劃】先討論下面的問(wèn)題設(shè)  ，式中變量x、y滿足下列條件           

2、 求z的最大值和最小值我們先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中  內(nèi)部且包括邊界點(diǎn)（0，0）不在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)，當(dāng)  時(shí)，  ，點(diǎn)（0，0）在直線  上作一組和  平等的直線可知，當(dāng)l在  的右上方時(shí)，直線l上的點(diǎn)  滿足  即  ，而且l往右平移時(shí)，t隨之增大，在經(jīng)過(guò)不等式組表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，2）的直線l，所對(duì)應(yīng)的t最大，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)  的直線 &

3、#160;，所對(duì)應(yīng)的t最小，所以在上述問(wèn)題中，不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱(chēng)線性約束條件 是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)，由于  又是x、y的解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)，上述問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)  在線性約束條件下的最大值和最小值問(wèn)題線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時(shí)也有一次方程表示一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題，滿足線性約束條件的解  叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行

4、域，在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解【應(yīng)用舉例】例1  解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：求  的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件 解：先作出可行域，見(jiàn)圖中  表示的區(qū)域，且求得  作出直線  ，再將直線  平移，當(dāng)  的平行線  過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可使  達(dá)到最小值，當(dāng)  的平行線 

5、60;過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可使  達(dá)到最大值通過(guò)這個(gè)例子講清楚線性規(guī)劃的步驟，即：第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值例2  解線性規(guī)劃問(wèn)題：求  的最大值，使式中的x、y滿足約束條件解：作出可行域，見(jiàn)圖，五邊形OABCD表示的平面區(qū)域作出直線  將它平移至點(diǎn)B，顯然，點(diǎn)B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解，它使  達(dá)到最大值，解方程組  得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，2）  這個(gè)例題可在教師的指導(dǎo)

6、下，由學(xué)生解出在此例中，若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為  ，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C（3，6）處取得事實(shí)上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在何處，與目標(biāo)函數(shù)  所確定的直線  的斜率  有關(guān)就這個(gè)例子而言，當(dāng)  的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，即  時(shí)，若  （直線  的斜率）時(shí)，線段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值（如本例）；當(dāng)  時(shí)，點(diǎn)C處使z取得最大值（比如：  時(shí)），若  ，可請(qǐng)同學(xué)思考隨堂練習(xí)1求&#

7、160; 的最小值，使式中的  滿足約束條件2求  的最大值，使式中  滿足約束條件答案：1  時(shí)，  2  時(shí)，  總結(jié)提煉1線性規(guī)劃的概念2線性規(guī)劃的問(wèn)題解法布置作業(yè)1求  的最大值，使式中的  滿足條件2求  的最小值，使 滿足下列條件答案：1 2在可行域內(nèi)整點(diǎn)中，點(diǎn)（5，2）使z最小， 探究活動(dòng)利潤(rùn)的線性規(guī)劃問(wèn)題某企業(yè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，199

8、8年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元，1999年的利潤(rùn)為81元，請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程，從而預(yù)2001年企業(yè)的利潤(rùn)，請(qǐng)問(wèn)你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬(wàn)？分析首先應(yīng)考慮在平面直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息：“1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元，1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元”，在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后，如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo)，是僅用其中的兩點(diǎn)，還是三點(diǎn)信息的綜合運(yùn)用，運(yùn)用時(shí)要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過(guò)特殊點(diǎn)的直線、平行某個(gè)線段的直線、與某些點(diǎn)距離最小的直線作為預(yù)測(cè)直線等等建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為  （0，5），1998年的利潤(rùn)為

9、 7萬(wàn)元及1999年的利潤(rùn)為 8萬(wàn)元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)  （1，7）和  （2，8），那么若將過(guò)  兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線  ，其方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為13萬(wàn)元若將過(guò)  兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線  ，其方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11萬(wàn)元若將過(guò)  兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線  ，其方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10萬(wàn)元若將過(guò)

10、0; 及線段  的中點(diǎn)  的直線作為預(yù)測(cè)直線  ，其方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11667萬(wàn)元若將過(guò)  及  的重心  （注：  為3年的年平均利潤(rùn)）的直線作為預(yù)測(cè)直線  ，其方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11667萬(wàn)元若將過(guò)  及  的重心  的直線作為預(yù)測(cè)直線  ，其方程為：

11、0; ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10667萬(wàn)元若將過(guò)  且以線段  的斜率  為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線  的方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為9萬(wàn)元若將過(guò)  且以線段  的斜率  為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線  的方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.5萬(wàn)元.若將過(guò)點(diǎn)  且以線段  的斜率  

12、為斜率的直線，作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線  的方程為；  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元若將過(guò)  且以線段  的斜率  與線段  的斜率  的平均數(shù)為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線，則預(yù)測(cè)直線  的方程為：  ，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元如此這樣，還有其他方案，在此不一列舉思考（1）第種方案與第種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？（2）第種方案中，  的現(xiàn)實(shí)意義是什么？（3）根據(jù)以上的基本解題思路，請(qǐng)你思考