工程數學線性代數課后答案解析同濟第五版

1、 86 / 86第五章 相似矩陣及二次型 1.試用施密特法把下列向量組正交化: (1); 解 根據施密特正交化方法,. (2). 解 根據施密特正交化方法,. 2.下列矩陣是不是正交陣: (1); 解 此矩陣的第一個行向量非單位向量,故不是正交陣. (2). 解 該方陣每一個行向量均是單位向量,且兩兩正交,故為正交陣. 3. 設x為n維列向量,xTx=1, 令H=E-2某T, 證明H是對稱的正交陣. 證明 因為HT=(E-2某T)T=E-2(某T)T=E-2(某T)T=E-2(xT)TxT=E-2某T,所以H是對稱矩陣. 因為HTH=HH=(E-2某T)(E-2某T)=E-2某T-2某T+(2

2、某T)(2某T)=E-4某T+4x(xTx)xT=E-4某T+4某T=E,所以H是正交矩陣. 4.設A與B都是n階正交陣,證明AB也是正交陣. 證明 因為A,B是n階正交陣,故A-1=AT,B-1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交陣. 5.求下列矩陣的特征值和特征向量: (1); 解 ,故A的特征值為l=-1(三重). 對于特征值l=-1,由,得方程(A+E)x=0的基礎解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是對應于特征值l=-1的特征值向量. (2); 解 ,故A的特征值為l1=0,l2=-1,l3=9. 對于特征值l1=0, 由,得方程Ax=0

3、的基礎解系p1=(-1,-1,1)T, 向量p1是對應于特征值l1=0的特征值向量.對于特征值l2=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基礎解系p2=(-1,1,0)T, 向量p2就是對應于特征值l2=-1的特征值向量. 對于特征值l3=9, 由,得方程(A-9E)x=0的基礎解系p3=(1/2,1/2,1)T, 向量p3就是對應于特征值l3=9的特征值向量.(3). 解 ,故A的特征值為l1=l2=-1,l3=l4=1. 對于特征值l1=l2=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基礎解系p1=(1, 0, 0,-1)T,p2=(0, 1,-1, 0)T, 向量p1和p2是對應于特征值l1=l

4、2=-1的線性無關特征值向量. 對于特征值l3=l4=1, 由,得方程(A-E)x=0的基礎解系p3=(1, 0, 0, 1)T,p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是對應于特征值l3=l4=1的線性無關特征值向量. 6. 設A為n階矩陣, 證明AT與A的特征值相同. 證明 因為|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT與A的特征多項式相同, 從而AT與A的特征值相同.7. 設n階矩陣A、B滿足R(A)+R(B)<n, 證明A與B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 證明 設R(A)=r,R(B)=t, 則r+t<n.若a1,a2,&#

5、215;××,an-r是齊次方程組Ax=0的基礎解系, 顯然它們是A的對應于特征值l=0的線性無關的特征向量. 類似地, 設b1,b2,×××,bn-t是齊次方程組Bx=0的基礎解系, 則它們是B的對應于特征值l=0的線性無關的特征向量. 由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n, 故a1,a2,×××,an-r,b1,b2,×××,bn-t必線性相關. 于是有不全為0的數k1,k2,×××,kn-r,l1,l2,××&

6、#215;,ln-t, 使k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r+l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0.記g=k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r),則k1,k2,×××,kn-r不全為0, 否則l1,l2,×××,ln-t不全為0, 而l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0,與b1,b2,×

7、××,bn-t線性無關相矛盾. 因此,g¹0,g是A的也是B的關于l=0的特征向量, 所以A與B有公共的特征值, 有公共的特征向量.8. 設A2-3A+2E=O, 證明A的特征值只能取1或2. 證明 設l是A的任意一個特征值,x是A的對應于l的特征向量, 則(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0.因為x¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是說l=1或l=2. 9. 設A為正交陣, 且|A|=-1, 證明l=-1是A的特征值. 證明 因為A為正交矩陣, 所以A的特征值為-1或1.因為|A

8、|等于所有特征值之積, 又|A|=-1, 所以必有奇數個特征值為-1, 即l=-1是A的特征值. 10. 設l¹0是m階矩陣Am´nBn´m的特征值, 證明l也是n階矩陣BA的特征值. 證明 設x是AB的對應于l¹0的特征向量, 則有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),從而l是BA的特征值, 且Bx是BA的對應于l的特征向量. 11. 已知3階矩陣A的特征值為1,2,3, 求|A3-5A2+7A|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 則j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值, 故|A3-5A

9、2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18. 12.已知3階矩陣A的特征值為1,2,-3, 求|A*+3A+2E|. 解 因為|A|=1´2´(-3)=-6¹0, 所以A可逆, 故A*=|A|A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 則j(1)=-1,j(2)=5,j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(-3)=-1´

10、5´(-5)=25. 13. 設A、B都是n階矩陣, 且A可逆, 證明AB與BA相似. 證明 取P=A, 則P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB與BA相似. 14. 設矩陣可相似對角化, 求x.解由,得A的特征值為l1=6,l2=l3=1.因為A可相似對角化,所以對于l2=l3=1,齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個線性無關的解,因此R(A-E)=1.由知當x=3時R(A-E)=1,即x=3為所求. 15.已知p=(1, 1,-1)T是矩陣的一個特征向量. (1)求參數a,b及特征向量p所對應的特征值;解設l是特征向量p所對應的特征值,則 (A-lE)p=0,即,解之得l=-1

11、,a=-3,b=0. (2)問A能不能相似對角化？并說明理由.解由,得A的特征值為l1=l2=l3=1. 由知R(A-E)=2, 所以齊次線性方程組(A-E)x=0的基礎解系只有一個解向量. 因此A不能相似對角化.16.試求一個正交的相似變換矩陣,將下列對稱陣化為對角陣: (1); 解 將所給矩陣記為A. 由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩陣A的特征值為l1=-2,l2=1,l3=4.對于l1=-2,解方程(A+2E)x=0, 即,得特征向量(1,2,2)T, 單位化得. 對于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即,得特征向量(2,1,-2)T, 單位化得. 對于l3=4, 解方程(A

12、-4E)x=0, 即,得特征向量(2,-2,1)T, 單位化得. 于是有正交陣P=(p1,p2,p3), 使P-1AP=diag(-2,1,4). (2). 解 將所給矩陣記為A. 由=-(l-1)2(l-10),得矩陣A的特征值為l1=l2=1,l3=10.對于l1=l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即,得線性無關特征向量(-2,1,0)T和(2,0,1)T, 將它們正交化、單位化得,. 對于l3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即,得特征向量(-1,-2,2)T, 單位化得. 于是有正交陣P=(p1,p2,p3), 使P-1AP=diag(1,1,10). 17. 設矩陣與相似,

13、 求x,y; 并求一個正交陣P, 使P-1AP=L.解 已知相似矩陣有相同的特征值, 顯然l=5,l=-4,l=y是L的特征值, 故它們也是A的特征值. 因為l=-4是A的特征值, 所以,解之得x=4.已知相似矩陣的行列式相同, 因為,所以-20y=-100,y=5. 對于l=5, 解方程(A-5E)x=0, 得兩個線性無關的特征向量(1,0,-1)T,(1,-2, 0)T. 將它們正交化、單位化得,. 對于l=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2,1,2)T, 單位化得. 于是有正交矩陣, 使P-1AP=L.18.設3階方陣A的特征值為l1=2,l2=-2,l3=1;對應的特征

14、向量依次為p1=(0,1,1)T, p2=(1,1,1)T, p3=(1,1, 0)T, 求A. 解 令P=(p1,p2,p3),則P-1AP=diag(2,-2,1)=L,A=PLP-1. 因為,所以 .19. 設3階對稱陣A的特征值為l1=1,l2=-1,l3=0; 對應l1、l2的特征向量依次為p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,-2)T,求A. 解 設, 則Ap1=2p1,Ap2=-2p2, 即,-.-再由特征值的性質, 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0.-由解得,.令x6=0, 得,x2=0,.因此 .20.設3階對稱矩陣A的特征值l1=6,l2=3,l3=3, 與特征值

15、l1=6對應的特征向量為p1=(1,1,1)T,求A. 解 設. 因為l1=6對應的特征向量為p1=(1,1,1)T, 所以有,即-.l2=l3=3是A的二重特征值, 根據實對稱矩陣的性質定理知R(A-3E)=1. 利用可推出.因為R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得x2=x3=x5=1,x1=x4=x6=4.因此 .21. 設a=(a1,a2,× × ×,an)T,a1¹0,A=aaT. (1)證明l=0是A的n-1重特征值; 證明 設l是A的任意一個特征值,x是A的對應于l的特征向量, 則有Ax=lx,l2x

16、=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax,于是可得l2=laTa, 從而l=0或l=aTa. 設l1,l2,×××,ln是A的所有特征值, 因為A=aaT的主對角線性上的元素為a12,a22,×××,an2,所以a12+a22+×××+an2=aTa=l1+l2+×××+ln,這說明在l1,l2,×××,ln中有且只有一個等于aTa, 而其余n-1個全為0, 即l=0是A的n-1重特征值.(2)求A的非零特征值及n個線性無關的特征向量.

17、解 設l1=aTa,l2=×××=ln=0.因為Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p1=a是對應于l1=aTa的特征向量. 對于l2=×××=ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因為a¹0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+×××+anxn=0, 其線性無關解為p2=(-a2,a1, 0,× × ×, 0)T,p3=(-a3,0,a1,× × ×, 0)T,×××,pn=(-a

18、n, 0,0,× × ×,a1)T.因此n個線性無關特征向量構成的矩陣為.22. 設, 求A100.解 由,得A的特征值為l1=1,l2=5,l3=-5.對于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1,0,0)T.對于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2,1,2)T.對于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3), 則P-1AP=diag(1,5,-5)=L,A=PLP-1,A100=PL100P-1.因為L100=diag(1,5100,5100),所以. 23

19、. 在某國, 每年有比例為p的農村居民移居城鎮(zhèn), 有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農村, 假設該國總人口數不變, 且上述人口遷移的規(guī)律也不變. 把n年后農村人口和城鎮(zhèn)人口占總人口的比例依次記為xn和yn(xn+yn=1). (1)求關系式中的矩陣A; 解 由題意知xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn,yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,可用矩陣表示為,因此 .(2)設目前農村人口與城鎮(zhèn)人口相等, 即, 求. 解 由可知. 由,得A的特征值為l1=1,l2=r, 其中r=1-p-q.對于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q,p)T.對于l1=

20、r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1,1)T.令, 則P-1AP=diag(1,r)=L,A=PLP-1,An=PLnP-1.于是 ,. 24.(1)設,求j(A)=A10-5A9;解由,得A的特征值為l1=1,l2=5.對于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得單位特征向量.對于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得單位特征向量. 于是有正交矩陣, 使得P-1AP=diag(1,5)=L,從而A=PLP-1,Ak=PLkP-1. 因此j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-5L9)P-1=Pdiag(1,510)-5diag(1,59)P-1=Pdiag(-4,0)

21、P-1.(2)設,求j(A)=A10-6A9+5A8. 解 求得正交矩陣為,使得P-1AP=diag(-1, 1,5)=L,A=PLP-1. 于是j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-6L9+5L8)P-1=PL8(L-E)(L-5E)P-1=Pdiag(1,1,58)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)P-1=Pdiag(12,0,0)P-1. 25.用矩陣記號表示下列二次型: (1)f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz;解. (2)f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz;解 . (3)f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+

22、6x2x3-4x2x4. 解 .26. 寫出下列二次型的矩陣:(1);解 二次型的矩陣為.(2).解 二次型的矩陣為.27.求一個正交變換將下列二次型化成標準形:(1)f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 二次型的矩陣為. 由,得A的特征值為l1=2,l2=5,l3=1.當l1=2時, 解方程(A-2E)x=0, 由,得特征向量(1,0,0)T. 取p1=(1,0,0)T.當l2=5時,解方程(A-5E)x=0, 由,得特征向量(0,1,1)T.取.當l3=1時,解方程(A-E)x=0,由,得特征向量(0,-1,1)T.取.于是有正交矩陣T=(p1,p2,p3)和正交變換x=Ty

23、, 使f=2y12+5y22+y32.(2)f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4. 解 二次型矩陣為. 由,得A的特征值為l1=-1,l2=3,l3=l4=1.當l1=-1時,可得單位特征向量.當l2=3時,可得單位特征向量.當l3=l4=1時,可得線性無關的單位特征向量,. 于是有正交矩陣T=( p1,p2,p3,p4)和正交變換x=Ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42.28. 求一個正交變換把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成標準方程.解 二次型的矩陣為.由, 得A的特征值為l1=2,l2=11,

24、l3=0,.對于l1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向量(4,-1, 1)T, 單位化得.對于l2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2,-2)T, 單位化得.對于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 單位化得.于是有正交矩陣P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2,11,0), 從而有正交變換,使原二次方程變?yōu)闃藴史匠?u2+11v2=1. 29.明:二次型f=xTAx在|x|=1時的最大值為矩陣A的最大特征值.證明A為實對稱矩陣,則有一正交矩陣T,使得TAT-1=diag(l1,l2,××

25、15;,ln)=L成立, 其中l(wèi)1,l2,×××,ln為A的特征值,不妨設l1最大.作正交變換y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l1y12+l2y22+×××+lnyn2. 因為y=Tx正交變換, 所以當|x|=1時, 有|y|=|x|=1, 即y12+y22+×××+yn2=1.因此f=l1y12+l2y22+×××+lnyn2£l1,又當y1=1,y2=y3=×××=yn=0時f=l1, 所以f max=l1.30. 用配方法化下列二次形成規(guī)形, 并寫出所用變換的矩陣.(1) f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x