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1、第九章第九章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例、概率統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例、概率 36.隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體 【三年高考真題演練】 2016 年高考真題 1.D 由題圖知, 組距為 2.5, 故每周的自習(xí)時(shí)間不少于 22.5 小時(shí)的頻率為: (0.160.080.04)2.50.7,人數(shù)是 2000.7140 人,故選 D. 2.0.1 x4.74.85.15.45.555.1,則方差 s215(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1. 3.解 (1)由頻率分布直方圖,可知:月均用水量在0,0.5)的頻率為 0.080.50.04. 同

2、理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)等組的頻率分別為 0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由 1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a, 解得 a0.30. (2)由(1)知,100 位居民月均用水量不低于 3 噸的頻率為 0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計(jì) 30 萬居民中月均用水量不低于 3 噸的人數(shù)為300 0000.1236 000. (3)設(shè)中位數(shù)為 x 噸. 因?yàn)榍?5 組的頻率之和為 0.040.080.150.210.250.730.5

3、. 而前 4 組的頻率之和為 0.040.080.150.210.480.5. 所以 2x2.5. 由 0.50(x2)0.50.48,解得 x2.04. 故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為 2.04 噸. 4.解 (1)如題圖所示,用水量在0.5,3)的頻率的和為:(0.20.30.40.50.3)0.50.85. 用水量小于等于 3 立方米的頻率為 0.85,又 w 為整數(shù), 為使 80%以上的居民在該月的用水價(jià)格為 4 元/立方米,w 至少定為 3. (2)當(dāng) w3 時(shí),該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為: (0.110.151.50.220.252.50.153)40.15340.05(3.5

4、3)0.05(43)0.05(4.53)107.21.81.510.5(元). 即該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為 10.5 元. 5.解 (1)事件 A 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于 2,由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于 2 的頻率為60502000.55,故 P(A)的估計(jì)值為 0.55. (2)事件 B 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于 1 且小于 4,由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于 1 且小于 4 的頻率為30302000.3,故 P(B)的估計(jì)值為 0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15

5、0.10 0.05 調(diào)查的 200 名續(xù)保人的平均保費(fèi)為 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a. 因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為 1.192 5a. 兩年經(jīng)典高考真題 1.B 因?yàn)闃悠分忻坠鹊谋葹?8254,所以這批米內(nèi)夾谷約為 1 53428254169(石). 2.C 結(jié)合幾種抽樣的定義知選 C. 3.C 由題意抽樣比為3201 60015,該樣本的老年教師人數(shù)為 90015180(人). 4.C 由1 0004025,可得分段的間隔為 25.故選 C. 5.A 5 000 名居民的閱讀時(shí)間的全體為總體,每名居民

6、的閱讀時(shí)間是個(gè)體,200是樣本容量,故選 A. 6.A 樣本抽取比例為703 500150,該???cè)藬?shù)為 1 5003 5005 000,則n5 000150,故 n100,選 A. 7.D 根據(jù)抽樣方法的概念可知,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是 pnN,故 p1p2p3,故選 D. 8.25 由題意知,男生共有 500 名,根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn),在容量為 45 的樣本中男生應(yīng)抽取人數(shù):4550090025. 9.1 800 分層抽樣中各層的抽樣比相同.樣本中甲設(shè)備生產(chǎn)的有 50 件,則乙設(shè)備生產(chǎn)的有 30 件.在 4 800 件產(chǎn)品中,甲、乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總

7、數(shù)比為 53,所以乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為 1 800 件. 10.60 由分層抽樣的特點(diǎn)可得應(yīng)該從一年級(jí)本科生中抽取4455630060(名)學(xué)生. 11.C 由題干扇形統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為:11070%150(160%)137.故選 C. 12.B 由題意知,將 135 號(hào)分成 7 組,每組 5 名運(yùn)動(dòng)員,成績(jī)落在區(qū)間139,151的運(yùn)動(dòng)員共有 4 組,故由系統(tǒng)抽樣法知,共抽取 4 名.選 B. 13.B 由莖葉圖,把數(shù)據(jù)由小到大排列,處于中間的數(shù)為 20,20,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 20. 14.B 甲地 5 天的氣溫為:26,28,29,31,31, 其平均數(shù)為x甲2628293

8、131529; 方差為 s2甲15(2629)2(2829)2(2929)2(3129)2(3129)23.6; 標(biāo)準(zhǔn)差為 s甲 3.6. 乙地 5 天的氣溫為:28,29,30,31,32, 其平均數(shù)為 x乙2829303132530; 方差為 s2乙15(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)22; 標(biāo)準(zhǔn)差為 s乙 2.x甲x乙,s甲s乙. 15.C 由題意, 第一組和第二組的頻率之和為 0.240.160.4, 故樣本容量為200.450,又第三組的頻率為 0.36,故第三組的人數(shù)為 500.3618,故該組中有療效的人數(shù)為 18612. 16.24 60(0

9、.0150.025)1024. 17.D 法一 對(duì)平均數(shù)和方差的意義深入理解可巧解.因?yàn)槊總€(gè)數(shù)據(jù)都加上了100,故平均數(shù)也增加 100,而離散程度應(yīng)保持不變,故選 D. 法二 由題意知 x1x2xnnx,s21n(x1x)2(x2x)2(xn x)2, 則所求均值y1n(x1100)(x2100)(xn100)1n(nxn100)x100, 而所求方差 s21n(x1100y)2(x2100y)2(xn100y)21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2s2,故選 D. 18.6 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16(465876)6. 19.11 由 x1,x2,xn的均值x5,得 2x11,2x21,2

10、xn1 的均值為2x125111. 20.解 (1)由題可知,這 20 名工人年齡的眾數(shù)是 30,極差是 401921. (2)這 20 名工人年齡的莖葉圖如圖所示: (3)這 20 名工人年齡的平均數(shù)為x120(1932832953043133240)30, 這 20 名工人年齡的方差為 s21202201()iixx2 112622712502102202522012.6. 21.(1)3 (2)6 000 由頻率分布直方圖及頻率和等于 1 可得 0.20.10.80.11.50.120.12.50.1a0.11,解之得 a3.于是消費(fèi)金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)頻率為 0.20.10.80

11、.120.130.10.6,所以消費(fèi)金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為:0.610 0006 000,故應(yīng)填 3,6 000. 22.解 (1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201 得: x0.007 5,所以直方圖中 x 的值是 0.007 5. (2)月平均用電量的眾數(shù)是2202402230. 因?yàn)?0.0020.009 50.011)200.45s2. 6.B 根據(jù)莖葉圖,可知樣本中有 7 個(gè)數(shù):79,84,84,85,87,88,95, 平均數(shù)為79848485878895786,中位數(shù)為 85,故選 B. 7.B 依題意可得

12、10(0.0050.0100.020a0.035)1,解得 a0.030,故身高在120,130),130,140),140,150三組內(nèi)的學(xué)生比例為 321,所以從身高在140,150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 3. 8.A 1 000 5020,故由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以 8 為首項(xiàng),以 20 為公差的等差數(shù)列, 且此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an8(n1)2020n12.由 75120n121 000,解得 38.15n50.6.再由 n 為正整數(shù)可得 39n50,且 nZ,故做問卷 C 的人數(shù)為 12.故應(yīng)選 A. 9.D 根據(jù)莖葉圖,得乙的中位數(shù)是 33,甲的中位數(shù)也是 33,即 m3;

13、甲的平均數(shù)是x甲273933333,乙的平均數(shù)是x乙20n323438433,得n8,所以mn38,故選 D. 10.6 編號(hào)為 20km,k0,1,2,20,m1,2,20,由 20km241,360,得 k12,13,14,15,16,17,共 6 個(gè). 11.6 應(yīng)抽取成績(jī)好的學(xué)生人數(shù)為:2033526. 12.32 從高一年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為 80443332. 13.24 體重在60.5, 64.5的學(xué)生頻率為: (0.050.07)20.24, 體重在60.5,64.5的學(xué)生人數(shù)為 1000.2424. 14. 6 個(gè)數(shù)分別為:78,83,83,85,91,90 可得中位數(shù)為838

14、5284,故正確;眾數(shù)為 83,故錯(cuò)誤;平均數(shù)為 85,正確;極差為 917813,故錯(cuò)誤;故答案為. 15.D 由莖葉圖知, 甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為90(80 x)867277581,解得 x0,乙班 5 名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為 73 得 y3, xy3,選 D. 16.78 由題意,該校高二有學(xué)生 420 人,高三有學(xué)生 390 人,該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為 3909648078. 17.解 (1)由平均分相等得:x甲88899091925x乙 848889(90a)96590,解得 a3. 可求得方差:s2甲15(8890)2(8990)2(9090)2(9190)2(9290)22,

15、s2乙15(8490)2(8890)2(8090)2(9390)2(9690)217.2, 因?yàn)閤甲x乙,s2甲s2乙,所以從成績(jī)的穩(wěn)定性角度考慮,派甲參加培訓(xùn)比較合適. (2)從甲的成績(jī)中任取兩次的所有結(jié)果有:(88,89),(88,90),(88,91)(88,92),(89,90),(89,91),(89,92),(90,91),(90,92),(91,92),共 10 種;其中至少有一次成績(jī)?cè)?90,100之間的所有結(jié)果有:(88,91),(88,92),(89,91),(89,92),(90,91),(90,92),(91,92)共 7 種.所以在抽取的成績(jī)中,至少有一次成績(jī)?cè)?90

16、,100之間的概率 P710. 18.解 (1)由直方圖,經(jīng)過計(jì)算我校高三年級(jí)男生平均身高為 1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171 高于全市的平均值 170.5. (2)這 50 人中 182.5 cm以上的有 5 人,分別設(shè)為 A,B,C,D,E,其中身高排名在全省前 100 名為 A,B.設(shè)“該 2 人中至少有 1 人身高排名(從高到低)在全省前100 名”為事件 A,由列舉法可知 P(A)710. 19.解 (1)設(shè)有 x 名男同學(xué),則4560 x4,x3,男、女同學(xué)的人數(shù)分別為 3、1,把 3 名男同學(xué)和 1 名女同學(xué)記為 a1,a2,a3,b

17、,則選取兩名同學(xué)的基本事件有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共 12 種, 其中有一名女同學(xué)的有 6 種, 選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率為 P61212. (2) x16870717274571,x26970707274571 s21(6871)2(7471)254, s22(6971)2(7471)253.2. 第二次同學(xué) B 的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定. 20.解 (1) (2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 x8069026100381102212081

18、00100, 質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為 s2(20)20.06(10)20.2600.381020.222020.08104, 這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)估計(jì)值為 100,方差的估計(jì)值為 104. (3)依題意3822810068%80%. 該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品不符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于 95 的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的 80%”的規(guī)定. 37.變量的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例變量的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 【三年高考真題演練】 2016 年高考真題 解 (1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 因?yàn)?y 與 t 的相關(guān)系數(shù)近似為 0.99, 說明 y 與 t 的線性相關(guān)程度相當(dāng)高, 從而可以用線性回歸模型擬合 y

19、與 t 的關(guān)系. (2)由9.3271.331 及(1)得b=71721()()()iiiiittyytt=2.89280.103, ayyt1.3310.10340.92. 所以 y 關(guān)于 t 的回歸方程為y0.920.10t. 將 2016 年對(duì)應(yīng)的 t9 代入回歸方程得y0.920.1091.82. 所以預(yù)測(cè) 2016 年我國(guó)生活垃圾無害化處理量將約為 1.82 億噸. 兩年經(jīng)典高考真題 1.D 從 2006 年起,將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較,得到 2008 年二氧化硫排放量與 2007 年排放量的差最大,A 選項(xiàng)正確; 2007 年二氧化硫排放量較 2006 年降低了很多,

20、B 選項(xiàng)正確; 雖然 2011 年二氧化硫排放量較 2010 年多一些, 但自 2006 年以來, 整體呈遞減趨勢(shì),即 C 選項(xiàng)正確;自 2006 年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān),D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選 D. 2.C 因?yàn)?y0.1x1,0.10),所以 z0.1axab,0.1a0,所以 x 與 z 負(fù)相關(guān).故選 C. 3.A 由變量 x 與 y 正相關(guān)知 C、D 均錯(cuò),又回歸直線經(jīng)過樣本中心(3,3.5),代入驗(yàn)證得 A 正確,B 錯(cuò)誤.故選 A. 4.B 把樣本數(shù)據(jù)中的 x,y 分別當(dāng)作點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中作出散點(diǎn)圖,由圖可知 b0.故選 B. 5.乙 數(shù)學(xué)

21、由散點(diǎn)圖可知:越靠近坐標(biāo)原點(diǎn) O 名次越好,乙同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)好,而總成績(jī)年級(jí)名次靠后;而甲同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)名次比總成績(jī)名次差,所以應(yīng)是乙同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)名次比總成績(jī)名次靠前. 丙同學(xué)總成績(jī)年級(jí)名次比數(shù)學(xué)成績(jī)年級(jí)名次差,所以丙同學(xué)成績(jī)名次更靠前的是數(shù)學(xué). 6.解 (1)列表計(jì)算如下 這里 n5,t1ni=1nti1553,y1ni=1nyi3657.2. 故所求回歸方程為y1.2t3.6. (2)將t6代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為y1.263.610.8(千億元). 7.解 (1)3004 50015 00090,所以應(yīng)收集 90 位女生的樣本數(shù)據(jù). (2)由頻率分布直方圖得 12

22、(0.1000.025)0.75, 所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過 4 小時(shí)的概率的估計(jì)值為 0.75. (3)由(2)知, 300 位學(xué)生中有 3000.75225 人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過 4 小時(shí), 75 人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過 4 小時(shí).又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有 210 份是關(guān)于男生的,90 份是關(guān)于女生的.所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下: 男生 女生 總計(jì) 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間 不超過 4 小時(shí) 45 30 75 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間 超過 4 小時(shí) 165 60 225 總計(jì) 210 90 300 結(jié)合列聯(lián)表可算得 K2300(456016530)275225

23、21090100214.7623.841. 所以,有 95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”. 【兩年模擬試題精練】 1.A x14(0123)32,y332323,y14(11m8)3,得 m4. 2.A 由變量 x 與 y 正相關(guān)知 C、D 均錯(cuò),又回歸直線經(jīng)過樣本中心(3,3.5),代入驗(yàn)證得 A 正確,B 錯(cuò)誤.故選 A. 3.B ayb x4926395449.4423549.1, 回歸方程為y9.4x9.1,令 x6,得y9.469.165.5(萬元). 4.C 由回歸分析的方法及概念判斷. 5.B x4.5,y14(2.5t44.5)14(11t) (x,y

24、)在回歸方程y0.7x0.35 上, t3,故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤,易得 A,C,D 均正確. 6.B x1441iix=4.5,y=141niiy=3.5,a=y-bx=-0.1, y=0.8x-0.1,故當(dāng) x=6,y=4.7. 7.B x=13(2+3+4)=3, y=13(5+4+6)=5, 又(x,y)在回歸方程ybx72上, 5b372,得b12. 8.C 相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,而函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系,故利用 l1能預(yù)測(cè) 20 歲的身高,并不能得到準(zhǔn)確值.故選項(xiàng) C 錯(cuò)誤,其它選項(xiàng)均正確. 9.D r 越接近 1,m 越小,線性相關(guān)性越強(qiáng),故選 D. 10.B 設(shè)表中模糊看不清

25、的數(shù)據(jù)為 m.因?yàn)?x1020304050530,又樣本中心(x,y)在回歸直線y0.67x54.9 上,所以ym30750.673054.9,得 m68,故選 B. 11.D 回歸直線y2.1x0.85 過(x,y),而x1.5,y15.5m4,把(x,y)代入回歸直線,得 m0.5,故選 D. 12.13.5 y3.53xa,x17.4,y74.9, ay3.53x13.47813.5 13.23 由yx1,得y0112,由于預(yù)測(cè)值為 2,|y02|1,因此 1y03,當(dāng) y01,3時(shí),數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于 1,由于 y0是0,3內(nèi)的任意一個(gè)值,因此數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于 1

26、 的概率 P313023. 14.0.025 K220(41213)25157135.9345.024. 15.2.6 由已知,x013442,y2.24.34.86.744.5,4.50.952a,a2.6. 16.解 (1)x120,y125, xi 118 119 121 122 yi 133 127 121 119 xiyi 15 694 15 113 14 641 14 518 x2i 13 924 14 161 14 641 14 884 (2)3.4x533100,x127.35, 故數(shù)學(xué)至少考 128 分. 17.解 (1)3 患三高疾病 不患三高疾病 合計(jì) 男 24 6 30

27、 女 12 18 30 合計(jì) 36 24 60 在患三高疾病人群中抽 9 人,則抽取比例為93614. 女性應(yīng)該抽取 12143 人. (2)K260(2418612)230303624107.879, 那么,我們有 99.5%的把握認(rèn)為是否患三高疾病與性別有關(guān)系. 38.古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型 【三年高考真題演練】 2016 年高考真題 1.C 將 4 種顏色的花種任選兩種種在一個(gè)花壇中,余下 2 種種在另一個(gè)花壇,有(紅黃)、(白紫),(白紫)、(紅黃),(紅白)、(黃紫),(黃紫)、(紅白),(紅紫)、(黃白),(黃白)、(紅紫)共 6 種種法,其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的

28、種數(shù)有(紅黃)、(白紫),(白紫)、(紅黃),(紅白)、(黃紫),(黃紫),(紅白),共 4 種,故所求概率為 P4623,選 C. 2.B 如圖所示,畫出時(shí)間軸: 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段 AB 中,而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段 AC或 DB 時(shí),才能保證他等車的時(shí)間不超過 10 分鐘,根據(jù)幾何概型得所求概率 P10104012,故選 B. 3.C 第一位是 M,I,N 中的一個(gè)字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一個(gè)數(shù)字,所以總的基本事件的個(gè)數(shù)為 15,密碼正確只有一種,概率為115,故選 C. 4.B 從甲,乙等 5 名學(xué)生中隨機(jī)選 2 人共有 10 種情況,甲被選中有 4 種

29、情況,則甲被選中的概率為41025. 5.B 至少需要等待 15 秒才出現(xiàn)綠燈的概率為40154058,故選 B. 6.C 由題意得:(xi,yi)(i1,2,n)在如圖所示方格中,而平方和小于 1 的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中,由幾何概型概率計(jì)算公式知41mn,4mn,故選 C. 7.56 基本事件共有 36 個(gè).如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4

30、,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),其中滿足點(diǎn)數(shù)之和小于 10 的有 30 個(gè).故所求概率為 P303656. 8.34 由已知得,圓心(5,0)到直線 ykx 的距離小于半徑,|5k|k213,解得 34k34,由幾何概型得 P34341(1)34. 9.解 (1)用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間 與點(diǎn)集 S(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一對(duì)應(yīng). 因?yàn)?S 中元素的個(gè)數(shù)是 4416. 所以基本事件總數(shù) n16. 記“xy3”為事件 A, 則

31、事件 A 包含的基本事件數(shù)共 5 個(gè), 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1), 所以 P(A)516,即小亮獲得玩具的概率為516. (2)記“xy8”為事件 B, “3xy8”為事件 C. 則事件 B 包含的基本事件數(shù)共 6 個(gè). 即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4). 所以 P(B)61638. 事件 C 包含的基本事件數(shù)共 5 個(gè), 即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1). 所以 P(C)516.因?yàn)?8516, 所以小亮獲得的水杯的概率大于獲得飲料的概率. 兩年經(jīng)典高考真題 1.C 從 1,2,3,4,5

32、 中任取 3 個(gè)數(shù)有 10 個(gè)基本事件,構(gòu)成勾股數(shù)的只有 3,4,5 一組,故概率為110. 2.B 5 件產(chǎn)品中有 2 件次品,記為 a,b,有 3 件合格品,記為 c,d,e,從這 5件產(chǎn)品中任取 2 件,結(jié)果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共 10 種.恰有一件次品的結(jié)果有 6 種,則其概率為 p6100.6. 3.B 5 個(gè)點(diǎn)中任取 2 個(gè)點(diǎn)共有 10 種方法,若 2 個(gè)點(diǎn)之間的距離小于邊長(zhǎng),則這2 個(gè)點(diǎn)中必須有 1 個(gè)為中心點(diǎn),有 4 種方法,于是所求概率 P41025. 4.56 這兩只球顏色相

33、同的概率為16,故兩只球顏色不同的概率為 11656. 5.13 從 1,2,3,6 中隨機(jī)取 2 個(gè)數(shù),共有 6 種不同的取法,其中所取 2 個(gè)數(shù)的乘積是 6 的有 1,6 和 2,3,共 2 種,故所求概率是2613. 6.13 設(shè) 3 張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和無獎(jiǎng)分別為 a,b,c,甲、乙兩人各抽取 1張的所有情況有 ab,ac,ba,bc,ca,cb,共 6 種,其中兩人都中獎(jiǎng)的情況有 ab,ba,共 2 種,所以所求概率為13. 7.23 設(shè)兩本數(shù)學(xué)書為 A1,A2,一本語(yǔ)文為 B. 則基本事件有(A1A2B),(A1BA2),(A2A1B),(A2BA1),(BA1A2),(BA2

34、A1)共 6 種. 其中 2 本數(shù)學(xué)書相鄰的有(A1A2B),(A2A1B),(BA1A2),(BA2A1)共 4 種. 概率為4623. 8.13 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán) 3 種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇 1種的所有可能情況為(紅,白),(白,紅),(紅,藍(lán)),(藍(lán),紅),(白,藍(lán)),(藍(lán),白),(紅,紅),(白,白),(藍(lán),藍(lán)),共 9 種,他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為(紅,紅),(白,白),(藍(lán),藍(lán)),共 3 種.故所求概率為 P3913. 9.解 (1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有 30 人, 故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有 453015 人,

35、 所以從該班隨機(jī)選 1 名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為 P154513. (2)從這 5 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1 人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有: A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2, A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1, A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3, 共 15 個(gè). 根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的, 事件“A1被選中且 B1未被選中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2 個(gè). 因此,A1被選中且 B1未被選中的概率為 P215. 10.A 由1log12x12

36、1,得12x122,0 x32. 由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率 P3202034. 11.B 由圖形知 C(1,2),D(2,2),S四邊形ABCD6,S陰123132.P32614. 12.D 在直角坐標(biāo)系中,依次作出不等式0 x1,0y1,xy12,xy12的可行域如圖所示:依題意,p1SABOS四邊形OCDE, p2S曲邊多邊形OEGFCS四邊形OCDE,而12SOECS四邊形OCDE, 所以 p1120,且 b0,所求概率為29,故選 A. 13.C 設(shè) D 為 BC 的中點(diǎn), 由PBPC2AP0, 則APPD, 所以 SABC2SPBC,所以概率為12,故選 C. 14.D 設(shè)

37、 2 個(gè)紅球分別為 a、b,3 個(gè)白球分別為 A、B、C,從中隨機(jī)抽取 2 個(gè),則有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共 10 個(gè)基本事件,其中既有紅球也有白球的基本事件有 6 個(gè),則所求概率為 P61035. 15.B 如圖,依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長(zhǎng)方體的面積比,即所求概率 PS陰影S長(zhǎng)方形ABCD22214. 16.14 該人能等到公共汽車的概率為201520014. 17.29 基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3

38、),1,2 號(hào)盒子中各有一球的事件有(1,2),(2,1).故 1,2 號(hào)盒子中各有一球的概率為29. 18.13 設(shè)AOB,SAOB12AOOBsin 12sin 14. 即:sin 0.85, 而前 5 組的頻率之和為 0.040.080.150.200.260.730.85. 所以 2.5x19 時(shí),y3 800500(x19)500 x5 700. 所以 y 與 x 的函數(shù)解析式為 y3 800,x19,500 x5 700,x19,(xN). (2)由柱狀圖知, 需更換的零件數(shù)不大于 18 的頻率為 0.46, 不大于 19 的頻率為 0.7,故 n 的最小值為 19. (3)若每臺(tái)

39、機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買 19 個(gè)易損零件,則這 100 臺(tái)機(jī)器中有 70 臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為 3 800,20 臺(tái)的費(fèi)用為 4 300,10 臺(tái)的費(fèi)用為 4 800,因此這 100 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為 1100(3 800704 300204 80010)4 000, 若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買 20 個(gè)易損零件,則這 100 臺(tái)機(jī)器中有 90 臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為 4 000,10 臺(tái)的費(fèi)用為 4 500,因此這 100 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為 1100(4 000904 50010)4 050. 比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買 1 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)

40、應(yīng)購(gòu)買 19 個(gè)易損零件. 兩年經(jīng)典高考真題 1.D 由題意知 4 位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)有 24種情況,而 4 位同學(xué)都選周六有 1 種情況,4 位同學(xué)都選周日有 1 種情況,故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為 P241124141678,故選 D. 2.解 (1)設(shè) A 表示事件“賠付金額為 3 000 元”,B 表示事件“賠付金額為 4 000元”,以頻率估計(jì)概率得 P(A)1501 0000.15,P(B)1201 0000.12. 由于投保金額為 2 800 元,賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是 3 000 元和 4 000元,所以其概率為 P(A)P

41、(B)0.150.120.27. (2)設(shè) C 表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠 4 000 元”,由已知,樣本車輛中車主為新司機(jī)的有 0.11 000100(輛),而賠付金額為 4 000 元的車輛中,車主為新司機(jī)的有 0.212024(輛), 所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為 4 000 元的頻率為241000.24,由頻率估計(jì)概率得 P(C)0.24. 3.解 法一 (1)融合指數(shù)在7,8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為 A1,A2,A3;融合指數(shù)在4,5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為 B1,B2,從融合指數(shù)在4,5)和7,8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取 2 家的所有基本事件是: A1,A2

42、,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 個(gè). 其中,至少有 1 家融合指數(shù)在7,8內(nèi)的基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,共 9 個(gè). 所以所求的概率 P910. (2)這 20 家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于 4.52205.58206.57207.53206.05. 法二 (1)融合指數(shù)在7,8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為 A1,A2,A3;融合指數(shù)在4,5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為 B1,B2,從融合指數(shù)在4,5)和

43、7,8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取 2 家的所有的基本事件是: A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 個(gè). 其中,沒有 1 家融合指數(shù)在7,8內(nèi)的基本事件是:B1,B2,共 1 個(gè). 所以所求的概率 P1110910. (2)同法一. 4.解 (1)因?yàn)?0.004a0.0180.02220.028)101,所以 a0.006. (2)由所給頻率分布直方圖知,50 名受訪職工評(píng)分不低于 80 的頻率為(0.0220.018)100.4. 所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于 80 的概率的估計(jì)值為 0.

44、4. (3)受訪職工中評(píng)分在50,60)的有:500.006103(人),記為 A1,A2,A3; 受訪職工中評(píng)分在40,50)的有:500.004102(人),記為 B1,B2, 從這 5 名受訪職工中隨機(jī)抽取 2 人, 所有可能的結(jié)果共有 10 種, 它們是A1, A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2.又因?yàn)樗槿?2 人的評(píng)分都在40,50)的結(jié)果有 1 種,即B1,B2,故所求的概率為 p110. 【兩年模擬試題精練】 1.解 (1)當(dāng) x6 時(shí),由莖葉圖可知,乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)是:6,7,8,11,所以

45、平均數(shù)為 x6781148, 方差為 s214(68)2(78)2(88)2(118)272. (2)甲組中學(xué)習(xí)次數(shù)大于 7 的同學(xué)有 3 名,記為 A1,A2,A3,他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為 9,11,12; 乙組中學(xué)習(xí)次數(shù)大于 7 的同學(xué)有 2 名,記為 B1,B2,他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為 8,11; 從學(xué)習(xí)次數(shù)大于 7 的學(xué)生中選兩名學(xué)生,所有可能的結(jié)果有 10 個(gè),它們是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2 用事件 C 表示:“選出的兩名同學(xué)恰好分別在不同組且這兩名同學(xué)學(xué)習(xí)的次數(shù)之和不小于 20”這一事件, 則 C

46、 中的結(jié)果有 4 個(gè), 它們是: A1B2, A2B2, A3B1, A3B2, 故根據(jù)古典概型,選出的兩名同學(xué)恰好分別在不同組且這兩名同學(xué)學(xué)習(xí)的次數(shù)之和不小于 20 的概率為 P(C)41025. 2.解 (1)依題中的數(shù)據(jù)可得: x甲15(457910)7, x乙15(56789)7, s2甲15(47)2(57)2(77)2(97)2(107)22655.2, s2乙15(57)2(67)2(77)2(87)2(97)22, x甲x乙,s2甲s2乙. 兩組技工的總體水平相同,甲組中技工的技術(shù)水平差異比乙組大. (2)設(shè)事件 A 表示:該車間“生產(chǎn)率高效” ,則從甲、乙兩組中各抽取 1 名

47、技工完成合格零件個(gè)數(shù)的基本事件為: (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9); (5,5),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9); (7,5),(7,6),(7,7),(7,8),(7,9); (9,5),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9); (10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),共 25 種. 事件 A 包含的基本事件為:(7,8),(7,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),共 11 種. P(A)1125. 即該車間“生產(chǎn)率高效”的

48、概率為1125. 3.解 (1)由題意得,50(0.001 20.002 420.003 6x0.006 0)1,x0.004 4. 設(shè)該小區(qū) 100 個(gè)家庭的月均用電量為 S, 則S 0.002 45075 0.003 650125 0.006 050175 0.004 4502250.002 4502750.001 250325922.552.549.53319.5186. (2)0.001 2501006,所以用電量超過 300 度的家庭共有 6 個(gè). 分別令為甲、A、B、C、D、E,則從中任取兩個(gè),有(甲,A),(甲,B),(甲,C),(甲,D),(甲,E),(A,B),(A,C),(

49、A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)15 種等可能的基本事件,其中甲被選中的基本事件有(甲,A),(甲,B),(甲,C),(甲,D),(甲,E)共 5 種. 家庭甲被選中的概率 P51513. 4.解 (1)這 3 個(gè)人接受挑戰(zhàn)分別記為 A,B,C,則A,B,C分別表示這 3 個(gè)人不接受挑戰(zhàn). 這 3 個(gè)人參與該項(xiàng)活動(dòng)的可能結(jié)果為:A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C.共有 8種; 其中,至少有 2 個(gè)人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有:A,B,C,A,B,C,A, B,C,A,B,C,共有

50、4 種. 根據(jù)古典概型的概率公式,所求的概率為 P4812. (2)假設(shè)冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別無關(guān), 根據(jù) 22 列聯(lián)表,得到 K2的觀測(cè)值為: k n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)100(45152515)26040703025141.79. 因?yàn)?1.792.706,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.1 的前提下認(rèn)為“冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別無關(guān)”. 5.解 (1)因?yàn)椤百?gòu)買基金”后, 投資結(jié)果只有“獲利”、 “不賠不賺”、 “虧損”三種且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立, 所以 p13q1.又因?yàn)?p12,所以 q16. (2)由“購(gòu)買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概率小, 得

51、q38,因?yàn)?p13q1, 所以 q23p724. 又因?yàn)?p13q1,q0, 所以 p23.所以72430 有 Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,Ca,Cb,Cc,Cd,這 12 種. 所以|mn|30 的概率為122147. 第十章第十章 推理與證明、算法與復(fù)數(shù)推理與證明、算法與復(fù)數(shù) 40.推理與證明推理與證明 【三年高考真題演練】 2016 年高考真題 1.B 取兩個(gè)球往盒子中放有 4 種情況: 紅紅,則乙盒中紅球數(shù)加 1 個(gè); 黑黑,則丙盒中黑球數(shù)加 1 個(gè); 紅黑(紅球放入甲盒中),則乙盒中黑球數(shù)加 1 個(gè); 黑紅(黑球放入甲盒中),則丙盒中紅球數(shù)加 1 個(gè);因?yàn)榧t球和

52、黑球個(gè)數(shù)一樣,所以和的情況一樣多.和的情況隨機(jī), 和對(duì) B 選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響,和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的,所以對(duì) B 選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上選 B. 2.1 和 3 由丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是 5”可知,丙為“1 和 2”或“1和3”, 又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”, 所以乙只可能為“2和3”,所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2”,所以甲只能為“1 和 3”. 3.16 29 第一天售出但第二天未售出的商品有 19316 種. 前兩天共售出的商品種數(shù)為 1913329 種, 當(dāng)?shù)谌焓鄢龅?18 種商品中

53、有4 種在第二天售出,另外 14 種在第一天售出但第二天未售出的 16 種范圍內(nèi)時(shí),這三天售出的商品最少,最少為 29 種. 4.43n(n1) 觀察等式右邊的規(guī)律:第 1 個(gè)數(shù)都是43,第 2 個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)行數(shù) n,第 3 個(gè)數(shù)為 n1. 5.證明 (1)由anan121 得|an|12|an1|1, 故|an|2n|an1|2n112n,nN*, 所以|a1|21|an|2n|a1|21|a2|22|a2|22|a3|23|an1|2n1|an|2n12112212n11, 因此|an|2n1(|a1|2). (2)任取 nN*,由(1)知,對(duì)于任意 mn, |an|2n|am|2m|an|2

54、n|an1|2n1|an1|2n1|an2|2n2|am1|2m1|am|2m12n12n112m112n1, 故|an|12n1|am|2m2n12n112m32m2n234m2n. 從而對(duì)于任意 mn,均有|an|234m2n. 由 m 的任意性得|an|2. 否則,存在 n0N*, 綜上,對(duì)于任意 nN*,均有|an|2. 兩年經(jīng)典高考真題 1.C 如圖,集合 A 表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“ ” ,集合 B 表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“ ”所有圓點(diǎn)“ ” ,集合 AB 顯然是集合(x,y)|x|3,|y|3,x,yZ中除去四個(gè)點(diǎn)(3,3),(3,3),(3,3),(3,3)之外的所有整點(diǎn)(即橫

55、坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)),即集合 AB 表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“ ”所有“ ”圓點(diǎn)所有圓點(diǎn)“ ” ,共 45 個(gè).故 AB 中元素的個(gè)數(shù)為 45.故選 C. 2.A 當(dāng) s4 時(shí),p,q,r 都可取 0,1,2,3 中的一個(gè),有 4364 種,當(dāng) s3時(shí),p,q,r 都可取 0,1,2 中的一個(gè),有 3327 種,當(dāng) s2 時(shí),p,q,r 都可取 0,1 中的一個(gè),有 238 種,當(dāng) s1 時(shí),p,q,r 都可取 0,有 1 種,card(E)642781100. 當(dāng) t0 時(shí),u 可取 1,2,3,4 中的一個(gè),有 4 種,當(dāng) t1 時(shí),u 取 2,3,4 中的一個(gè),有 3 種,當(dāng) t2

56、時(shí),u 可取 3,4 中的一個(gè),有 2 種,當(dāng) t3 時(shí),u 可取 4,有一種,t,u 取值有 123410 種,同樣地,v,w 的取值也有 10種,則 card(F)1010100 種,card(E)card(F)100100200 種. 3.112131412n112n1n11n212n 等式左邊的特征:第 1個(gè)等式有 2 項(xiàng),第 2 個(gè)有 4 項(xiàng),第 3 個(gè)有 6 項(xiàng),且正負(fù)交錯(cuò),故第 n 個(gè)等式左邊有 2n 項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò),應(yīng)為 112131412n112n;等式右邊的特征:第 1個(gè)有 1 項(xiàng),第 2 個(gè)有 2 項(xiàng),第 3 個(gè)有 3 項(xiàng),故第 n 個(gè)有 n 項(xiàng),且有前幾個(gè)的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第

57、 n 個(gè)等式右邊應(yīng)為1n11n212n. 4.f2 014(x)x12 014x f1(x)x1x,f2(x)x1x1x1xx12x,f3(x)x12x1x12xx13x,由數(shù)學(xué)歸納法得 f2 014(x)x12 014x. 5.FVE2 三棱柱中 5692;五棱錐中 66102;立方體中 68122,由此歸納可得 FVE2. 6.A 根據(jù)甲和丙的回答推測(cè)乙沒去過 B 城市,又知乙沒去過 C 城市,故乙去過A 城市. 7.42 為使交貨期最短,需徒弟先對(duì)原料 B 進(jìn)行粗加工,用時(shí) 6 個(gè)工作日,再由工藝師對(duì)原料 B 進(jìn)行精加工,用時(shí) 21 個(gè)工作日,在此期間徒弟再對(duì)原料 A 進(jìn)行粗加工,不會(huì)影

58、響工藝師加工完原料 B 后直接對(duì)原料 A 進(jìn)行精加工,所以最短交貨期為 6211542(個(gè))工作日. 8.A 至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒有實(shí)根,故做的假設(shè)是“方程 x3axb0 沒有實(shí)根”. 9.B 學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好,即學(xué)生甲兩門成績(jī)中一門高過學(xué)生乙,另一門不低于學(xué)生乙.一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好,并且沒有相同的成績(jī),則存在的情況是,最多有 3 人,其中一個(gè)語(yǔ)文最好,數(shù)學(xué)最差;另一個(gè)語(yǔ)文最差,數(shù)學(xué)最好;第三個(gè)人成績(jī)均為中等.故選 B. 10.201 可分下列三種情形:(1)若只有正確,則 a2,b2,c0,所以 ab1 與集合元素的互異性相矛盾, 所以只有正確是不可能的; (2

59、)若只有正確,則 b2,a2,c0,這與集合元素的互異性相矛盾,所以只有正確是不可能的;(3)若只有正確,則 c0,a2,b2,所以 b0,c1,所以 100a10bc10021001201. 11.(1)證明 因?yàn)?an12an2an1an2d(n1,2,3)是同一個(gè)常數(shù),所以 2a1,2a2,2a3,2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列, (2)解 令 a1da,則 a1,a2,a3,a4分別為 ad,a,ad,a2d(ad,a2d,d0). 假設(shè)存在 a1,d,使得 a1,a22,a33,a44依次構(gòu)成等比數(shù)列, 則 a4(ad)(ad)3,且(ad)6a2(a2d)4. 令 tda,則 1(1t)(

60、1t)3, 且(1t)6(12t)412t1,t0 , 化簡(jiǎn)得 t32t220(*),且 t2t1. 將 t2t1 代入(*)式, t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10,則 t14. 顯然 t14不是上面方程的解,矛盾,所以假設(shè)不成立. 因此不存在 a1,d,使得 a1,a22,a33,a44依次構(gòu)成等比數(shù)列. (3)解 假設(shè)存在 a1,d 及正整數(shù) n,k,使得 an1,ank2,an2k3,an3k4依次構(gòu)成等比數(shù)列, 則 an1(a12d)n2k(a1d)2(nk),且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k). 分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以 a2(nk)1及 a2

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