九年級數(shù)學上冊思維特訓(十三)　利用旋轉構圖解題

1、.思維特訓十三利用旋轉構圖解題方法點津 ·1利用旋轉的性質，把分散的條件集中到某一個圖形中，從而通過解這個圖形，實現(xiàn)問題的求解；常與旋轉構圖方法結合的幾何圖形有等腰三角形、等邊三角形、正方形、菱形2在旋轉過程中，雖然某些量發(fā)生變化，但影響結論的條件仍能全部得到，因此結論保持不變典題精練 ·類型一閱讀仿做型11請閱讀材料并填空：問題：如圖131，在等邊三角形ABC內有一點P，且AP2，BP，CP1.求BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長李明同學的思路是將BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形如圖連接PP.根據(jù)李明同學的思路，進一步考慮后可求得BPC_

2、6;，等邊三角形ABC的邊長為_2請你參考李明同學的思路，探究并解決以下問題：如圖，在正方形ABCD內有一點P，且AP，BP，CP1.求BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長圖13121閱讀下面的材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖132，在ABC中，BAC是一個可以變化的角，AB2，AC4，以BC為邊在BC的下方作等邊三角形PBC，求AP的最大值小偉是這樣考慮的：利用圖形變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點B為旋轉中心將ABP逆時針旋轉60°得到ABC，連接AA如圖，當點A落在AC上時，此題可解請你答復：AP的最大值是_2參考小偉同學考慮問題的方法，解決以下問題：如圖，在等腰直

3、角三角形ABC中，AB4，P為ABC內部一點，求APBPCP的最小值結果可以不化簡圖132類型二結論不變型3如圖133，ABC是等邊三角形，四邊形BDEF是菱形，其中DFDB，連接AF，CD.1觀察圖形，猜測AF與CD之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不必證明2將菱形BDEF繞點B按順時針方向旋轉，使菱形BDEF的一邊落在等邊三角形ABC內部，在圖中畫出一個變換后的圖形，并對照圖形標記字母，那么1中的結論是否仍然成立？假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由3在上述旋轉過程中，AF，CD所在直線所夾銳角的度數(shù)是否發(fā)生變化？假設不變，請你求出它的度數(shù)；假設改變，請說明它的度數(shù)是如何變化的圖13

4、34如圖134，在ABC中，BAC90°，ABAC，點E在AC上且不與點A，C重合，在ABC的外部作CED，使CED90°，DECE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作ABFD，連接AF.1請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關系：_；2將CED繞點C逆時針旋轉，當點E落在線段BC上時，連接AE，如圖，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關系，并證明你的結論圖134典題講評與答案詳析1解：1150°2如圖，將BPC繞點B逆時針旋轉90°得到BEA，可得AEPC1，BEBP，BPCBEA，EBP90°，BEP45°，由勾股定理得EP2.AE1，AP，E

5、P2，AE2EP2AP2，AEP90°，BPCBEA90°45°135°.過點B作BFAE，交AE的延長線于點F，那么FEB45°，EFBF1，AF2，在RtABF中，由勾股定理，得AB，正方形的邊長為.2解：1將ABP逆時針旋轉60°得到ABC，ABA60°，ABAB，APAC，ABA是等邊三角形，AAABBA2.在AAC中，ACAAAC，即AP6，當點A，A，C三點共線時，ACAAAC，即AP6，即AP的最大值是6.2如圖，RtABC是等腰三角形，ABBC.以點B為旋轉中心，將APB逆時針旋轉60°得到APB.

6、那么ABABBC4，APAP，PPB為等邊三角形，BPBPPP，APBPCPAPPPCP.當A，P，P，C四點共線時，APPPCP有最小值，為線段AC的長，AC的長度即為所求過A作ADBC，交CB的延長線于點D.ABA60°由旋轉可知，130°.AB4，AD2，BD2 ，CD42 .在RtADC中，AC2 2 ，APBPCP的最小值是2 2 或不化簡為3解：1AFCD.2變換后的菱形BDEF如圖，結論AFCD仍然成立證明：在等邊三角形ABC中，ABBC.在菱形BDEF中，BFDB.DFDB，DFDBBF.FBDABC60°，F(xiàn)BD1ABC1，即23，ABFCBD，

7、AFCD.3不變化如圖，設CD的延長線與AF交于點O，與AB交于點G.由2知BAFBCD.又AGOCGB，AOCABC60°，那么直線AF與CD所夾銳角始終為60°.旋轉過程中出現(xiàn)的其他情況的證明同上綜上所述，AF，CD所在直線所夾銳角的度數(shù)始終為60°.4解：1四邊形ABFD是平行四邊形，ABDF.ABAC，ACDF，DEEC，AEEF.AEFDEC90°，AEF是等腰直角三角形，AFAE.2AFAE.證明：如圖，連接EF，設DF交BC于點K.四邊形ABFD是平行四邊形，ABDF，ABDF，DKEABC45°，F(xiàn)KE180°DKE135°.ADE180°EDC180°45°135°，F(xiàn)KEADE.DKCC45°，DKDC.DFABAC，F(xiàn)KAD.DKE45°