蒙特卡洛方法及其建模應(yīng)用20164(2)

1、蒙特卡洛蒙特卡洛方法方法介紹及其介紹及其建模應(yīng)用建模應(yīng)用排隊(duì)論排隊(duì)論排隊(duì)論的基本知識(shí)1排隊(duì)論模型排隊(duì)論模型21 背景介紹背景介紹 有形的隊(duì)伍有形的隊(duì)伍超市出口處排隊(duì)付款超市出口處排隊(duì)付款餐廳排隊(duì)買飯餐廳排隊(duì)買飯公共電話亭打電話公共電話亭打電話 無(wú)形的隊(duì)伍無(wú)形的隊(duì)伍114114查號(hào)臺(tái)等待服務(wù)查號(hào)臺(tái)等待服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)包傳輸網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)包傳輸報(bào)告等首長(zhǎng)批示報(bào)告等首長(zhǎng)批示一、排隊(duì)論的基本知識(shí)一、排隊(duì)論的基本知識(shí)排隊(duì)論研究的內(nèi)容有三部分排隊(duì)論研究的內(nèi)容有三部分1.1.性態(tài)問(wèn)題：即研究排隊(duì)系統(tǒng)中的概率分布規(guī)律性態(tài)問(wèn)題：即研究排隊(duì)系統(tǒng)中的概率分布規(guī)律2.2.最優(yōu)化問(wèn)題：分為靜態(tài)最優(yōu)化和動(dòng)態(tài)最優(yōu)化，即最優(yōu)化問(wèn)題

2、：分為靜態(tài)最優(yōu)化和動(dòng)態(tài)最優(yōu)化，即 為系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)營(yíng)為系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)營(yíng)3.3.排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷：排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷：判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便于判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便于根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行分析研究根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行分析研究 2.2.排隊(duì)系統(tǒng)描述排隊(duì)系統(tǒng)描述 排隊(duì)系統(tǒng)又稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，是研究服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)又稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，是研究服務(wù) 請(qǐng)求服務(wù)的人或者物請(qǐng)求服務(wù)的人或者物顧客；顧客；排隊(duì)系統(tǒng)的共同特征：排隊(duì)系統(tǒng)的共同特征： 顧客到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)刻是隨機(jī)的，為每一位顧客顧客到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)刻是隨機(jī)的，為每一位顧客 有為顧客服務(wù)的人或者物，即服務(wù)員

3、或服務(wù)臺(tái)；有為顧客服務(wù)的人或者物，即服務(wù)員或服務(wù)臺(tái)；過(guò)程和擁擠現(xiàn)象的隨機(jī)模型過(guò)程和擁擠現(xiàn)象的隨機(jī)模型. .提供服務(wù)的時(shí)間是隨機(jī)的，因而整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)提供服務(wù)的時(shí)間是隨機(jī)的，因而整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)也是隨機(jī)的的狀態(tài)也是隨機(jī)的. .排隊(duì)模型服務(wù)窗服務(wù)窗服務(wù)規(guī)則服務(wù)規(guī)則排隊(duì)排隊(duì)排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則顧客源顧客源排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)的幾種形式排隊(duì)系統(tǒng)的幾種形式：基本排隊(duì)過(guò)程基本排隊(duì)過(guò)程： 從圖從圖6666可知，每個(gè)顧客由顧客源按一定方式可知，每個(gè)顧客由顧客源按一定方式到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)，首先加入隊(duì)列排隊(duì)等待接受服務(wù)，到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)，首先加入隊(duì)列排隊(duì)等待接受服務(wù)，然后服務(wù)臺(tái)按一定規(guī)則從隊(duì)列中選擇顧客進(jìn)行服然后服務(wù)臺(tái)按

4、一定規(guī)則從隊(duì)列中選擇顧客進(jìn)行服務(wù)，獲得服務(wù)的顧客立即離開(kāi)務(wù)，獲得服務(wù)的顧客立即離開(kāi).排隊(duì)論所要研究解決的問(wèn)題：排隊(duì)論所要研究解決的問(wèn)題： 面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們通常的做法是增加服務(wù)設(shè)施面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們通常的做法是增加服務(wù)設(shè)施但是增加的數(shù)量越多，人力、物力的支出就越大，甚但是增加的數(shù)量越多，人力、物力的支出就越大，甚至?xí)霈F(xiàn)空閑浪費(fèi)，如果服務(wù)設(shè)施太少，顧客排隊(duì)等至?xí)霈F(xiàn)空閑浪費(fèi)，如果服務(wù)設(shè)施太少，顧客排隊(duì)等待的時(shí)間就會(huì)很長(zhǎng)，這樣對(duì)顧客會(huì)帶來(lái)不良影響待的時(shí)間就會(huì)很長(zhǎng)，這樣對(duì)顧客會(huì)帶來(lái)不良影響.如如何做到既保證一定的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)，又使服務(wù)設(shè)施費(fèi)何做到既保證一定的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)，又使服務(wù)設(shè)施費(fèi)用用經(jīng)濟(jì)合理

5、經(jīng)濟(jì)合理，恰當(dāng)?shù)亟鉀Q顧客，恰當(dāng)?shù)亟鉀Q顧客排隊(duì)時(shí)間排隊(duì)時(shí)間與與服務(wù)設(shè)施費(fèi)服務(wù)設(shè)施費(fèi)用大小用大小這對(duì)矛盾，就是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論這對(duì)矛盾，就是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論排隊(duì)論排隊(duì)論所要研究解決的問(wèn)題。所要研究解決的問(wèn)題。3.排隊(duì)系統(tǒng)的基本組成部分排隊(duì)系統(tǒng)的基本組成部分排隊(duì)系統(tǒng)是由輸入過(guò)程、排對(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)組成排隊(duì)系統(tǒng)是由輸入過(guò)程、排對(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)組成. .(1).輸入過(guò)程輸入過(guò)程 指要求服務(wù)的顧客是按怎樣的指要求服務(wù)的顧客是按怎樣的規(guī)律規(guī)律(i) 顧客總體數(shù)顧客總體數(shù). 又稱顧客源、輸入源又稱顧客源、輸入源.這是指顧客這是指顧客(ii) 顧客到達(dá)方式顧客到達(dá)方式. 這是描述顧客是怎樣來(lái)到系這是描述顧客是怎

6、樣來(lái)到系統(tǒng)統(tǒng)到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過(guò)程，有時(shí)也把它稱為顧客流到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過(guò)程，有時(shí)也把它稱為顧客流. .一一般可以從般可以從3 3個(gè)方面來(lái)描述個(gè)方面來(lái)描述個(gè)輸入過(guò)程個(gè)輸入過(guò)程. . 的來(lái)源的來(lái)源.顧客源可以是有限的，也可以是無(wú)限的顧客源可以是有限的，也可以是無(wú)限的.的，是單個(gè)到達(dá)，還是成批到達(dá)的，是單個(gè)到達(dá)，還是成批到達(dá). (iii) 顧客流的概率分布顧客流的概率分布. .或稱相繼顧客到達(dá)的時(shí)間或稱相繼顧客到達(dá)的時(shí)間(2).排對(duì)規(guī)則排對(duì)規(guī)則 指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行 (i)損失制損失制 指如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有指如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有間隔的分布間隔的分布.

7、 .這是求解排隊(duì)系統(tǒng)有關(guān)運(yùn)行指標(biāo)問(wèn)這是求解排隊(duì)系統(tǒng)有關(guān)運(yùn)行指標(biāo)問(wèn)題題時(shí)，首先需要確定的指標(biāo)時(shí)，首先需要確定的指標(biāo). .顧客流的概率分布一般顧客流的概率分布一般有定長(zhǎng)分布、二項(xiàng)分布、泊松流有定長(zhǎng)分布、二項(xiàng)分布、泊松流( (最簡(jiǎn)單流最簡(jiǎn)單流) )、愛(ài)爾、愛(ài)爾朗分布等若干種朗分布等若干種. .服務(wù)的順序服務(wù)的順序. .一般可以分為損失制、等待制和混一般可以分為損失制、等待制和混合制等合制等3 3大類大類. .服務(wù)臺(tái)都被先到的顧客占用，那么他們就自動(dòng)服務(wù)臺(tái)都被先到的顧客占用，那么他們就自動(dòng)離開(kāi)系統(tǒng)永不再來(lái)離開(kāi)系統(tǒng)永不再來(lái). .(ii)等待制等待制 指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有

8、服務(wù)臺(tái)a.先到先服務(wù)先到先服務(wù)FCFS FCFS 按顧客到達(dá)的先后順序?qū)︻櫩桶搭櫩偷竭_(dá)的先后順序?qū)︻櫩蚥.先到后服務(wù)先到后服務(wù)LCFSLCFSc.隨機(jī)服務(wù)隨機(jī)服務(wù) 即當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，不按照排隊(duì)即當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，不按照排隊(duì)d.優(yōu)先權(quán)服務(wù)優(yōu)先權(quán)服務(wù)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù). .等待制中，等待制中，服務(wù)臺(tái)在選擇顧客進(jìn)行服務(wù)時(shí)常有如下四種規(guī)則：服務(wù)臺(tái)在選擇顧客進(jìn)行服務(wù)時(shí)常有如下四種規(guī)則：進(jìn)行服務(wù)進(jìn)行服務(wù). .序列而隨意指定某個(gè)顧客接受服務(wù)序列而隨意指定某個(gè)顧客接受服務(wù). .(iii)混合制混合制 這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服a

9、.隊(duì)長(zhǎng)有限隊(duì)長(zhǎng)有限. .當(dāng)排隊(duì)等待服務(wù)的顧客人數(shù)超當(dāng)排隊(duì)等待服務(wù)的顧客人數(shù)超b.等待時(shí)間有限等待時(shí)間有限. .即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)c.逗留時(shí)間逗留時(shí)間( (等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和) )有限有限. .務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無(wú)限務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去長(zhǎng)下去.具體說(shuō)來(lái)，大致有三種：具體說(shuō)來(lái)，大致有三種：過(guò)規(guī)定數(shù)量過(guò)規(guī)定數(shù)量K K時(shí)，后來(lái)的顧客就自動(dòng)離去，另時(shí)，后來(lái)的顧客就自動(dòng)離去，另求服務(wù)，即系統(tǒng)的等待空間是有限的求服務(wù)，即系統(tǒng)的等待空間是有限的. .間不超過(guò)某一給定的長(zhǎng)度間不超過(guò)某一給定的長(zhǎng)度T T，當(dāng)?shù)却?/p>

10、時(shí)間超，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超過(guò)過(guò)T T時(shí)，顧客將自動(dòng)離去，并不再回來(lái)時(shí)，顧客將自動(dòng)離去，并不再回來(lái). .(3). 服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu) (i)服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)數(shù)量數(shù)量及構(gòu)成及構(gòu)成形式形式. 從數(shù)量上說(shuō)，服務(wù)臺(tái)有單從數(shù)量上說(shuō)，服務(wù)臺(tái)有單(ii)服務(wù)方式服務(wù)方式. 這是指在某一時(shí)刻接受服務(wù)的顧客數(shù)，這是指在某一時(shí)刻接受服務(wù)的顧客數(shù)，(iii)服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)時(shí)間的分布.在多數(shù)情況下，對(duì)每一個(gè)顧客的在多數(shù)情況下，對(duì)每一個(gè)顧客的服務(wù)臺(tái)和多服務(wù)臺(tái)之分服務(wù)臺(tái)和多服務(wù)臺(tái)之分. 從構(gòu)成形式上看，服務(wù)臺(tái)有：從構(gòu)成形式上看，服務(wù)臺(tái)有：?jiǎn)侮?duì)一單隊(duì)一-單服務(wù)臺(tái)式；單服務(wù)臺(tái)式；單隊(duì)一單隊(duì)一-多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式；式；多隊(duì)一多隊(duì)

11、一-多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式；多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式；單隊(duì)一單隊(duì)一-多服多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)式；務(wù)臺(tái)串聯(lián)式；單隊(duì)一單隊(duì)一-多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式，多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式，以及多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式等等以及多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式等等.它有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種它有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種.服務(wù)時(shí)間是一隨機(jī)變量服務(wù)時(shí)間是一隨機(jī)變量. .常見(jiàn)顧客的服務(wù)時(shí)間分布有：常見(jiàn)顧客的服務(wù)時(shí)間分布有： 定長(zhǎng)分布定長(zhǎng)分布D(DeterministicD(Deterministic) )、 負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布M(MarkovM(Markov) )、 k k階階ErlangErlang分布分布(Ek(Ek) )、 一般相互獨(dú)立的時(shí)間間隔分布一

12、般相互獨(dú)立的時(shí)間間隔分布 GI(GeneralGI(General Independent). Independent).n顧客到達(dá)時(shí)間間隔的分布顧客到達(dá)時(shí)間間隔的分布:假定假定 是獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為是獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為 ，排隊(duì)論中常用的有兩種：排隊(duì)論中常用的有兩種：nX)(tAnX（2 2）最簡(jiǎn)流（即）最簡(jiǎn)流（即PoissonPoisson流）（流）（M M）：）： 顧客到達(dá)時(shí)間間隔顧客到達(dá)時(shí)間間隔 為獨(dú)立的，為獨(dú)立的， 服從負(fù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為服從負(fù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為（1 1）定長(zhǎng)分布（）定長(zhǎng)分布（D D） 顧客到達(dá)時(shí)間間隔為確定的。顧客到達(dá)時(shí)間間隔為確定的。 000)(t

13、tetat 服務(wù)時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間分布: 設(shè)某服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間為設(shè)某服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間為V V，其密，其密度函數(shù)為度函數(shù)為b b（t t），常見(jiàn)的分布有：），常見(jiàn)的分布有：（1 1）定長(zhǎng)分布（）定長(zhǎng)分布（D D）：每個(gè)顧客接受服務(wù)的）：每個(gè)顧客接受服務(wù)的時(shí)間是一個(gè)確定的常數(shù)。時(shí)間是一個(gè)確定的常數(shù)。（2 2）負(fù)指數(shù)分布（）負(fù)指數(shù)分布（M M）：每個(gè)顧客接受服務(wù)）：每個(gè)顧客接受服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相互的負(fù)指數(shù)分布：時(shí)間相互獨(dú)立，具有相互的負(fù)指數(shù)分布： 其中其中 ，為一常數(shù)。，為一常數(shù)。 000)(ttetbt 0 （3 3）k k階愛(ài)爾朗（階愛(ài)爾朗（ErlangErlang）分布：每個(gè)顧客）分布：每

14、個(gè)顧客接受服務(wù)時(shí)間服從接受服務(wù)時(shí)間服從k k階愛(ài)爾朗分布，其密度函階愛(ài)爾朗分布，其密度函數(shù)為：數(shù)為：tkkektkktb )!1()()(1- - 單位時(shí)間平均服務(wù)完成的顧客數(shù)單位時(shí)間平均服務(wù)完成的顧客數(shù)1/1/ - - 每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間4. 排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo) 排隊(duì)論主要研究系統(tǒng)的性態(tài)，即與排隊(duì)有關(guān)排隊(duì)論主要研究系統(tǒng)的性態(tài)，即與排隊(duì)有關(guān)(1).排隊(duì)系統(tǒng)主要數(shù)量指標(biāo)排隊(duì)系統(tǒng)主要數(shù)量指標(biāo)等待時(shí)間、等待時(shí)間、 忙期、忙期、 隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng).的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題；統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題；統(tǒng)計(jì)推斷，根據(jù)資料合理建立模型

15、計(jì)推斷，根據(jù)資料合理建立模型. .目的是正確設(shè)目的是正確設(shè)計(jì)和有效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益計(jì)和有效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益. .所以必須確定判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)所以必須確定判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo). .(i).等待時(shí)間等待時(shí)間 從顧客到達(dá)時(shí)刻起到他從顧客到達(dá)時(shí)刻起到他開(kāi)始開(kāi)始接受服務(wù)止這接受服務(wù)止這(ii).忙期忙期 忙期忙期是指從顧客到達(dá)空閑著的服務(wù)機(jī)構(gòu)起，到是指從顧客到達(dá)空閑著的服務(wù)機(jī)構(gòu)起，到(iii).隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng) 隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng)是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)(排隊(duì)等待的顧客數(shù)與排隊(duì)等待的顧客數(shù)與段時(shí)間稱為等待時(shí)間段時(shí)間稱為等待時(shí)間.等待時(shí)間是個(gè)隨機(jī)變量等

16、待時(shí)間是個(gè)隨機(jī)變量.從顧客從顧客到達(dá)時(shí)刻起到他接受服務(wù)到達(dá)時(shí)刻起到他接受服務(wù)完成完成止這段時(shí)間稱為逗留時(shí)止這段時(shí)間稱為逗留時(shí)間，也是隨機(jī)變量間，也是隨機(jī)變量.服務(wù)機(jī)構(gòu)再次成為空閑止的這段時(shí)間，即服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)再次成為空閑止的這段時(shí)間，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)忙連續(xù)忙的時(shí)間的時(shí)間. .這是個(gè)隨機(jī)變量，是服務(wù)員最為關(guān)心的指標(biāo)，因這是個(gè)隨機(jī)變量，是服務(wù)員最為關(guān)心的指標(biāo)，因?yàn)樗P(guān)系到服務(wù)員的為它關(guān)系到服務(wù)員的服務(wù)強(qiáng)度服務(wù)強(qiáng)度. .與忙期相對(duì)的是與忙期相對(duì)的是閑期閑期, ,即即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)保持空閑的時(shí)間服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)保持空閑的時(shí)間. .在排隊(duì)系統(tǒng)中，忙期和閑在排隊(duì)系統(tǒng)中，忙期和閑期總是期總是交替交替出現(xiàn)的出現(xiàn)的.

17、 .正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和)；排隊(duì)長(zhǎng)排隊(duì)長(zhǎng)是指系統(tǒng)中正在排隊(duì)是指系統(tǒng)中正在排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)等待服務(wù)的顧客數(shù).隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)長(zhǎng)一般都是隨機(jī)變量隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)長(zhǎng)一般都是隨機(jī)變量.(2).數(shù)量指標(biāo)的常用記號(hào)數(shù)量指標(biāo)的常用記號(hào)(i).主要數(shù)量指標(biāo)主要數(shù)量指標(biāo)WsWs平均逗留時(shí)間，即平均逗留時(shí)間，即( (在任意時(shí)刻在任意時(shí)刻) )進(jìn)入進(jìn)入的所有顧客數(shù)的期望值；的所有顧客數(shù)的期望值；等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值；等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值；穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時(shí)間的期望值；穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時(shí)間的期望值；穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時(shí)間的期望值穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時(shí)間的期望值. .Ls-Ls-平均隊(duì)長(zhǎng)，

18、平均隊(duì)長(zhǎng)， 即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻平均等待時(shí)間，即平均等待時(shí)間，即( (在任意時(shí)刻在任意時(shí)刻) )進(jìn)入進(jìn)入qW 平均等待隊(duì)長(zhǎng)，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻平均等待隊(duì)長(zhǎng)，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻qL(ii).其它常用數(shù)量指標(biāo)其它常用數(shù)量指標(biāo)s 系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺(tái)的數(shù)目系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺(tái)的數(shù)目；N 穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻的狀態(tài)（即系統(tǒng)中穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻的狀態(tài)（即系統(tǒng)中U 任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時(shí)間；任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時(shí)間；Q 任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時(shí)間；任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時(shí)間；所有顧客數(shù)）；所有顧客數(shù)）；平均到達(dá)率；平均到達(dá)率； 平均到達(dá)間隔；平均到達(dá)間隔；1 平均服務(wù)率；平均服務(wù)率；

19、平均服務(wù)時(shí)間；平均服務(wù)時(shí)間；1 有服務(wù)臺(tái)全部空閑的概率；有服務(wù)臺(tái)全部空閑的概率；繁忙程度的重要尺度繁忙程度的重要尺度. .服務(wù)強(qiáng)度，即每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)的平服務(wù)強(qiáng)度，即每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)的平均服務(wù)時(shí)間，一般有均服務(wù)時(shí)間，一般有 ，這是衡量排隊(duì)系統(tǒng)，這是衡量排隊(duì)系統(tǒng) s : :穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任意時(shí)刻狀態(tài)為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任意時(shí)刻狀態(tài)為n n的概率；的概率；nPP Nn特別當(dāng)特別當(dāng)n=0n=0時(shí)時(shí)( (系統(tǒng)中顧客數(shù)為系統(tǒng)中顧客數(shù)為0)0)， 即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所0P損失率：由于系統(tǒng)的條件限制，使顧客被拒絕服損失率：由于系統(tǒng)的條件限制，使顧客被拒絕服 務(wù)而使服務(wù)部門受到損失的概率。務(wù)而使服務(wù)部門受到損失的

20、概率。 5. 排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào) 描述符號(hào)：描述符號(hào)：X/Y/Z/A/B/CX/Y/Z/A/B/CXX顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的分布顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的分布 ；常用下；常用下MM表示到達(dá)的過(guò)程為泊松過(guò)程或負(fù)指數(shù)分布；表示到達(dá)的過(guò)程為泊松過(guò)程或負(fù)指數(shù)分布；DD表示定長(zhǎng)輸入；表示定長(zhǎng)輸入；GIGI表示一般相互獨(dú)立的時(shí)間間隔分布表示一般相互獨(dú)立的時(shí)間間隔分布. .YY服務(wù)時(shí)間的分布；所用符號(hào)與表示顧客服務(wù)時(shí)間的分布；所用符號(hào)與表示顧客列符號(hào)：列符號(hào)：到達(dá)間隔時(shí)間分布相同到達(dá)間隔時(shí)間分布相同. . 表示表示K K階愛(ài)爾朗分布；階愛(ài)爾朗分布；kEZZ服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù) ； “ “1

21、”1”表示單個(gè)服務(wù)臺(tái)，表示單個(gè)服務(wù)臺(tái)，“s” (s1)s” (s1)A A系統(tǒng)容量限制系統(tǒng)容量限制( (默認(rèn)為默認(rèn)為)；如系統(tǒng)有；如系統(tǒng)有K K個(gè)等待位子，則個(gè)等待位子，則B B顧客源數(shù)目（默認(rèn)為顧客源數(shù)目（默認(rèn)為）；分有限與無(wú)限兩種，）；分有限與無(wú)限兩種，表表C C服務(wù)規(guī)則；服務(wù)規(guī)則； 常用下列符號(hào)：常用下列符號(hào)：FCFSFCFS：表示先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則；：表示先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則；LCFSLCFS：表示后到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則；：表示后到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則；PRPR： 表示優(yōu)先權(quán)服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則表示優(yōu)先權(quán)服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則。表示多個(gè)服務(wù)臺(tái)表示多個(gè)服務(wù)臺(tái).0K0K1)s (s1)個(gè)服務(wù)臺(tái)；系個(gè)服務(wù)臺(tái)；

22、系統(tǒng)等待空間容量無(wú)限統(tǒng)等待空間容量無(wú)限( (等待制等待制) )；顧客源無(wú)限，采；顧客源無(wú)限，采用先到先服務(wù)規(guī)則用先到先服務(wù)規(guī)則. .中的前中的前3 3個(gè)符號(hào)個(gè)符號(hào). .例如，某排隊(duì)問(wèn)題為例如，某排隊(duì)問(wèn)題為M MM MS S.無(wú)限；顧客源無(wú)限，先到先服務(wù)，單個(gè)服務(wù)的等無(wú)限；顧客源無(wú)限，先到先服務(wù)，單個(gè)服務(wù)的等待制系統(tǒng)待制系統(tǒng). 已知已知: 顧客到達(dá)間隔時(shí)間分布顧客到達(dá)間隔時(shí)間分布, 服務(wù)時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間分布. 求求: 隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng): Ls - 系統(tǒng)中的顧客數(shù)系統(tǒng)中的顧客數(shù). 排隊(duì)長(zhǎng)排隊(duì)長(zhǎng)(隊(duì)列長(zhǎng)隊(duì)列長(zhǎng)): Lq - 隊(duì)列中的顧客數(shù)隊(duì)列中的顧客數(shù). Ls = Lq + 正在接受服務(wù)的顧客數(shù)正在接受服務(wù)

23、的顧客數(shù) 逗留時(shí)間逗留時(shí)間: W S- 顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間 等待時(shí)間等待時(shí)間: Wq - 顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間. WS = Wq + 服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間 忙期忙期, 損失率損失率, 服務(wù)強(qiáng)度服務(wù)強(qiáng)度.排隊(duì)問(wèn)題的求解排隊(duì)問(wèn)題的求解二、二、M/M/sM/M/s排隊(duì)模型排隊(duì)模型 M/M/sM/M/s排隊(duì)模型是指排隊(duì)模型是指s s個(gè)服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)，個(gè)服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)，顧客到來(lái)間隔時(shí)間是獨(dú)立同分布的；顧客到來(lái)間隔時(shí)間是獨(dú)立同分布的；服務(wù)時(shí)間也是獨(dú)立同分布的；服務(wù)時(shí)間也是獨(dú)立同分布的；并且獨(dú)立于輸入過(guò)程；并且獨(dú)立于輸入過(guò)程；排隊(duì)規(guī)則是等待制；排隊(duì)規(guī)則是等待

24、制；含假定：含假定：顧客到來(lái)間隔時(shí)間服從參數(shù)為顧客到來(lái)間隔時(shí)間服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，且有隱的負(fù)指數(shù)分布，且有隱 按排隊(duì)論的基本構(gòu)成特征，來(lái)求解該排隊(duì)模型按排隊(duì)論的基本構(gòu)成特征，來(lái)求解該排隊(duì)模型(1).基本構(gòu)成基本構(gòu)成(i) 顧客到達(dá)規(guī)律顧客到達(dá)規(guī)律()( ),0,1,2!kttP X tkekk 的主要數(shù)量指標(biāo)：的主要數(shù)量指標(biāo)：平均到達(dá)率平均到達(dá)率.表示在表示在 時(shí)間到達(dá)的顧客數(shù)，稱為排隊(duì)系統(tǒng)的輸入過(guò)程時(shí)間到達(dá)的顧客數(shù)，稱為排隊(duì)系統(tǒng)的輸入過(guò)程.()Xt( ,)t tt 其平均值為其平均值為 ，即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)為，即單位時(shí)

25、間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)為 ，并稱為，并稱為t它服從參數(shù)為它服從參數(shù)為 的泊松分布，即的泊松分布，即：t(ii) 服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間服務(wù)率服務(wù)率 . .表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間序列，其表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間序列，其1|nnnnss 中中 表示第表示第n個(gè)顧客的到來(lái)時(shí)刻個(gè)顧客的到來(lái)時(shí)刻. .n 可以證明可以證明： 服從參數(shù)服從參數(shù) 為的泊松分布的充為的泊松分布的充( )X tt負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布. .要條件是到要條件是到達(dá)間隔時(shí)間序列達(dá)間隔時(shí)間序列 獨(dú)立同分布且服從獨(dú)立同分布且服從ns記記Z Z為服務(wù)時(shí)間，為服務(wù)時(shí)間，Z Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布的負(fù)指數(shù)分布：01()00tteP Ztt 則則 ，

26、即為每個(gè)顧客平均服務(wù)時(shí)間為，即為每個(gè)顧客平均服務(wù)時(shí)間為 ，從，從1EZ 1 而單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為而單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為 ，稱為平均，稱為平均 (iii) 排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則按顧客的到達(dá)的先后順序服務(wù)，即先到先服務(wù)按顧客的到達(dá)的先后順序服務(wù)，即先到先服務(wù). . 滿足以上三個(gè)條件的模型在排隊(duì)論中記為模型滿足以上三個(gè)條件的模型在排隊(duì)論中記為模型(2).數(shù)量特征數(shù)量特征( (只討論只討論s=1s=1情形情形) )(i) 平均隊(duì)長(zhǎng)平均隊(duì)長(zhǎng) 穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)，其數(shù)學(xué)期穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)，其數(shù)學(xué)期望稱為平均等待隊(duì)長(zhǎng)，即望稱為平均等待隊(duì)長(zhǎng)，即M/M/s模模型，其中

27、型，其中s s為服務(wù)員的個(gè)數(shù)為服務(wù)員的個(gè)數(shù). .1L( (其中其中稱為服務(wù)強(qiáng)度稱為服務(wù)強(qiáng)度.).)21qL (1)(ii)平均逗留時(shí)間和平均等待時(shí)間平均逗留時(shí)間和平均等待時(shí)間平均逗留時(shí)間為平均逗留時(shí)間為平均等待時(shí)間為平均等待時(shí)間為則公式則公式稱為稱為L(zhǎng)ittleLittle公式公式. .1LW 11()qW LW qqLW qLL1qWW(3). M/M/s M/M/s 排隊(duì)模型排隊(duì)模型(i) 當(dāng)當(dāng)s=2s=2時(shí)時(shí) 服務(wù)強(qiáng)度服務(wù)強(qiáng)度平均隊(duì)長(zhǎng)平均隊(duì)長(zhǎng)平均等待時(shí)間平均等待時(shí)間 (ii) 當(dāng)當(dāng)s s是任意的是任意的服務(wù)強(qiáng)度服務(wù)強(qiáng)度平均隊(duì)長(zhǎng)平均隊(duì)長(zhǎng)平均等待時(shí)間平均等待時(shí)間 212222221L 22222(1)LW s 02()!(1)sssLsps ssLW 其中其中為所有服務(wù)員均空閑的