高中數(shù)學基礎(chǔ)知識

1、新課標高中數(shù)學基礎(chǔ)知識歸納 第一部分 集合1理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？ ；2數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；3（1）含n個元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n1；非空真子集的數(shù)為2n2；（2） 注意：討論的時候不要遺忘了的情況。4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分 函數(shù)與導數(shù)1映射：注意 第一個集合中的元素必須有象；一對一，或多對一。2函數(shù)值域的求法：分析法 ；配方法 ；判

2、別式法 ；利用函數(shù)單調(diào)性 ；換元法 ；利用均值不等式 ； 利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；利用函數(shù)有界性（、等）；導數(shù)法3復合函數(shù)的有關(guān)問題（1）復合函數(shù)定義域求法： 若f(x)的定義域為a，b,則復合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出 若fg(x)的定義域為a,b,求 f(x)的定義域，相當于xa,b時，求g(x)的值域。（2）復合函數(shù)單調(diào)性的判定：首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。4分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論

3、。5函數(shù)的奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；是奇函數(shù)f(x)=f(x)；是偶函數(shù)f(x)= f(x)奇函數(shù)在原點有定義，則；在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應(yīng)先等價變形，再判斷其奇偶性；6函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性的定義：在區(qū)間上是增函數(shù)當時有；在區(qū)間上是減函數(shù)當時有；單調(diào)性的判定 定義法：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；導數(shù)法（見導數(shù)部分）；復合函數(shù)法；圖像法。注：證明單調(diào)性主要用定義法和導數(shù)法。7函數(shù)的周期性(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意，若有 （其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為

4、周期函數(shù)，為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期 ； ； ；(3)與周期有關(guān)的結(jié)論或 的周期為；8基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)： （ ；指數(shù)函數(shù)：；對數(shù)函數(shù):；正弦函數(shù):；余弦函數(shù)： ；（6）正切函數(shù)：；一元二次函數(shù)：；其它常用函數(shù)： 正比例函數(shù)：；反比例函數(shù)：；函數(shù)；9二次函數(shù)：解析式：一般式：；頂點式：，為頂點；零點式： 。二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：開口方向；對稱軸；端點值；與坐標軸交點；判別式；兩根符號。二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標是。 10函數(shù)圖象： 圖象作法 ：描點法 （特別注意三角函數(shù)的

5、五點作圖）圖象變換法導數(shù)法圖象變換： 平移變換：)，左“+”右“”； )上“+”下“”； 對稱變換：； ； ； 翻轉(zhuǎn)變換：)右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；)上不動，下向上翻（|在下面無圖象）；11函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明函數(shù)與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然；注：曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點（0,0）的對稱曲線C2方程為：f(x,y)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=0的對稱曲線C2方程為：f(x, y)=0; 曲線C1:f

6、(x,y)=0關(guān)于直線y=0的對稱曲線C2方程為：f(x, y)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對稱曲線C2方程為：f(y, x)=0f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對稱；特別地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；12函數(shù)零點的求法：直接法（求的根）；圖象法；二分法.(4)零點定理：若y=f(x)在a,b上滿足f(a)f(b)0；6圓的方程的求法：待定系數(shù)法；幾何法。 7點、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）點與圓的位置關(guān)系：（表示點到圓心的距離）點在圓上；點在圓內(nèi)；點在圓外。直線與圓的位置關(guān)系：（表示圓心到

7、直線的距離）相切；相交；相離。圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含。8、直線與圓相交所得弦長第六部分 圓錐曲線1定義：橢圓：；雙曲線：；拋物線：|MF|=d2結(jié)論 焦半徑：橢圓：（e為離心率）； （左“+”右“-”）；拋物線：弦長公式：注：拋物線：x1+x2+p；通徑（最短弦）：橢圓、雙曲線：；拋物線：2p。過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設(shè)為： （同時大于0時表示橢圓，時表示雙曲線）；當點與橢圓短軸頂點重合時最大； 雙曲線中的結(jié)論：雙曲線（a0,b0）的漸近線：； 共漸進線的雙曲線標準方程為為參數(shù)，0）；雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直；焦點三

8、角形問題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解。3直線與圓錐曲線問題解法：直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。注意以下問題：聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？直線斜率不存在時考慮了嗎？判別式驗證了嗎？設(shè)而不求（代點相減法）：-處理弦中點問題步驟如下：設(shè)點A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解決問題。4求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法）；待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法；（6）交軌法。第七部分 平面向量設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ab(b0)a=b （x1y2x2y

9、1=0； ab(a、b0)ab=0x1x2+y1y2=0 ab=|a|b|cos=x2+y1y2； 注：|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影； ab的幾何意義：ab等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。cos=；三點共線的充要條件：P，A，B三點共線；（理科）P，A，B，C四點共面。 第八部分 數(shù)列1定義：等差數(shù)列 ；等比數(shù)列 2等差、等比數(shù)列性質(zhì) 等差數(shù)列 等比數(shù)列通項公式 前n項和 性質(zhì) an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q時am+an=ap+aq m+n=p+q時aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成

10、GP,3數(shù)列通項的求法：an=S1 (n=1)SnSn-1 (n2)定義法（利用AP,GP的定義）；累加法（型）；公式法： 累乘法（型）；構(gòu)造法（型）； 間接法（例如：）；（理科）數(shù)學歸納法。4前項和的求法：分組求和法；裂項法；錯位相減法。5等差數(shù)列前n項和最值的求法： ；利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。 第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；變形，。2絕對值不等式：3不等式的性質(zhì)：；; 第十部分 復數(shù)1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z=a+bi是虛數(shù)b0(a,bR)；z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b0(a,bR)z0（z0）z20時，變量正相關(guān)； 0時，變量負相

11、關(guān)； 越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強； 接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。4回歸分析中回歸效果的判定：總偏差平方和：；殘差：；殘差平方和： ；回歸平方和：；相關(guān)指數(shù) 。注：得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；越接近于1，則回歸效果越好。5獨立性檢驗（分類變量關(guān)系）：隨機變量越大，說明兩個分類變量，關(guān)系越強，反之，越弱。 第十三部分 算法初步1程序框圖：圖形符號： 終端框（起止況）； 輸入、輸出框； 處理框（執(zhí)行框）； 判斷框； 流程線 ；程序框圖分類:順序結(jié)構(gòu)： 條件結(jié)構(gòu)： 循環(huán)結(jié)構(gòu)： r=0? 否 求n除以i的余數(shù) 輸入n 是 n不是質(zhì)素 n是質(zhì)數(shù) i=i+

12、1 i=2 in或r=0?否 是注：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：當型（while型）先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體；直到型（until型）先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷條件。2基本算法語句：輸入語句： INPUT “提示內(nèi)容”；變量 ；輸出語句：PRINT “提示內(nèi)容”；表達式 賦值語句： 變量=表達式條件語句： IF 條件 THEN IF 條件 THEN 語句體 語句體1 END IF ELSE 語句體2 END IF循環(huán)語句：當型： 直到型: WHILE 條件 DO 循環(huán)體 循環(huán)體 WEND LOOP UNTIL 條件 第十四部分 常用邏輯用語與推理證明1 四種命題：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若

13、p則q； 逆否命題：若q則p注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。2充要條件的判斷：（1）定義法-正、反方向推理；（2）利用集合間的包含關(guān)系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；3邏輯連接詞：且(and) ：命題形式 pq； p q pq pq p或（or）：命題形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命題形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4全稱量詞與存在量詞全稱量詞-“所有的”、“任意一個”等，用表示； 全稱命題p：； 全稱命題p的否定p：。存在量詞-“存在一個”、“至少有一個”等，用表示； 特稱命題

14、p：； 特稱命題p的否定p：；第十五部分 推理與證明1推理：合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種

15、推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般結(jié)論；小前提-所研究的特殊情況； 結(jié) 論-根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。二證明直接證明 綜合法 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч?。分析?一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2間接證明-反證法一般地，假設(shè)

16、原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。附：數(shù)學歸納法（僅限理科）一般的證明一個與正整數(shù)有關(guān)的一個命題，可按以下步驟進行：證明當取第一個值是命題成立；假設(shè)當命題成立，證明當時命題也成立。那么由就可以判定命題對從開始所有的正整數(shù)都成立。這種證明方法叫數(shù)學歸納法。注：數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可，用數(shù)學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行； 的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。第十六部分 理科選修部分1 排列、組合和二項式定理排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(mn,m、nN*),當m=n時為全排列=n(n-1)(

17、n-2)3.2.1=n!;組合數(shù)公式：（mn）,；組合數(shù)性質(zhì)：；二項式定理：通項：注意二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別；二項式系數(shù)的性質(zhì)：與首末兩端等距離的二項式系數(shù)相等；若n為偶數(shù)，中間一項（第1項）二項式系數(shù)最大；若n為奇數(shù)，中間兩項（第和1項）二項式系數(shù)最大；(6)求二項展開式各項系數(shù)和或奇（偶）數(shù)項系數(shù)和時，注意運用賦值法。2. 概率與統(tǒng)計隨機變量的分布列：隨機變量分布列的性質(zhì)：pi0,i=1,2,； p1+p2+=1;離散型隨機變量：Xx1X2xnPP1P2Pn期望：EX x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; 方差：DX ;注：；二項分布（獨立重復試驗）：若XB（n,p）,則EXnp, DXnp（1- p）;注： 。條件概率：稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。注：0P（B|