曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)21026

1、第8章 曲線積分與曲面積分8.1 向量值函數(shù)在有向曲線上的積分 第二型曲線積分概念與形式恒力沿直線方向做功變力沿曲線運(yùn)動(dòng)取微元，則。平面曲線，空間曲線，性質(zhì)一、 計(jì)算方法1設(shè)參數(shù)，化定積分2平面閉曲線上積分用格林公式，其中L是D的取正向的邊界曲線，D為單連通區(qū)域，P，Q與上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。3對(duì)于積分與路徑無(wú)關(guān)的可自選路徑4積分與路徑無(wú)關(guān)及偏導(dǎo)數(shù)于上連續(xù)。下列四個(gè)命題等價(jià)（1）0，對(duì)D內(nèi)任意閉曲線C.（2）積分與路徑無(wú)關(guān)（3）存在使du（4）在D內(nèi)恒成立.常以（4）為條件，（2）作為結(jié)論，自選路徑積分二、 例題1基礎(chǔ)題目，設(shè)參數(shù)，化定積分（1） 計(jì)算，如圖ABCDEA解 （1）設(shè)參數(shù)法于上 設(shè)

2、，于上 設(shè)，于上 以為參數(shù)，于上 以誒參數(shù) ，于上 ，以為參數(shù)()綜上解（2）（用格林公式） （2） 計(jì)算 。其中是曲線從軸正向看去，逆時(shí)針?lè)较?。解?）令解（2） 由對(duì)稱性 ，而，由上述參數(shù)法 注（1）設(shè)參數(shù)注重平面，“抓住平面痕跡，解得空間曲線(2)對(duì)稱性問(wèn)題，以直觀（幾何）定義解之為好（3） 計(jì)算：。交線，從軸正向看去逆時(shí)針?lè)较颉＃?，）例2 格林公式（加線減線）（1） 計(jì)算，從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的曲線。連接O，A直線段（記為L(zhǎng)）2L是不過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線（正向）計(jì)算曲線積分。解 （1）當(dāng)L不包圍原點(diǎn)時(shí)（2）當(dāng)L包圍原點(diǎn)時(shí)，做小橢圓(使充分小，從而含于閉曲線內(nèi))。則。注：本題為一特殊類型，形

3、式：閉曲線圍奇點(diǎn)；只當(dāng)滿足可微，此時(shí)對(duì)于任意圍奇點(diǎn)的閉曲線積分相等。例3 （積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題） P，Q已知，積分與路徑無(wú)關(guān)，自選路徑（1）計(jì)算，L：，由至再到弧段解 易驗(yàn)證，積分與路徑無(wú)關(guān)，做段（記為）則原式（2）計(jì)算，其中為起于沿到再沿至。解 bP，Q之一未知，已知積分于路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題。（1）設(shè)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且，其中L是任一不與軸相交的簡(jiǎn)單光滑閉曲線，求。解 原積分為零，則，即，令，得，代入得，代入初值得,，則即（2）設(shè)函數(shù)與xOy平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分路徑無(wú)關(guān)，且恒有求。解 由于積分與路徑無(wú)關(guān)，得，則，為待定函數(shù)，則從而 ，對(duì)t求導(dǎo)得 ，從而；小注：上述兩例由積分與路徑無(wú)關(guān)

4、，和P，Q之一未知而導(dǎo)得微分方程，稱為解方程問(wèn)題。8.2 向量值函數(shù)在有向曲面上的積分一、 概念與形式1定義流量，2物理意義：計(jì)算流量，通量3性質(zhì)：4計(jì)算方法：投影，定號(hào)：上正下負(fù)，右正左負(fù)，前正后負(fù)，做二重積分5.高斯公式，或這里是的整個(gè)邊界曲面的外測(cè),是在點(diǎn)處的法向量的方向余弦.二、 例題例1 求積分，其中，部分外測(cè)解 把分成兩部分：， 。例2 ，其中被所截部分曲面外測(cè)。解：綜上，原式。例3 計(jì)算，下半球面上側(cè)。解 做面，記，取下側(cè)，則原式例4 計(jì)算，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，和所圍立體表面外測(cè)。解 例5 設(shè)為上半球面：，下列積分不為零的是（A）；（B）；（C）；（D） （B）8.3 Stoks

5、公式應(yīng)用例一、 公式：,與的方向滿足右手定則。二、 例題例1 計(jì)算，C為曲線其方向?yàn)閺妮S正向看去為反時(shí)針?lè)较?。?原式 由，。，。上式。例2 計(jì)算，其中L是平面與柱面的交線，從軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?。?原式 注意到，上式。注：此類問(wèn)題命題方式通常都是平面與曲面交線，且總是要化成第一型曲面積分來(lái)處理。同時(shí)為減少計(jì)算量P，Q，R通常為一次函數(shù)，充其量不過(guò)二次。習(xí)題課例1 計(jì)算，其中為，取逆時(shí)針?lè)较?解 積分路徑如圖821，利用對(duì)稱性。將原式分成兩部分，即第一個(gè)積分，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，L在上半平面部分的走向與L在下半平面部分的走向相反(前者，后者)，被積函數(shù)是y的偶函數(shù)。第二個(gè)積分，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，

6、L在右半平面部分的走向與L在左半平面部圖821分的走向相反(前者，后者)，被積函數(shù)是x的偶函數(shù)。所以兩個(gè)積分均為零.即0上述結(jié)論再一般情況下也成立.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，當(dāng)平面曲線L是分段光滑的，關(guān)于軸對(duì)稱，L在上半平面與下半平面部分的走向相反時(shí)，（1）若（即為的偶函數(shù)），則；（2）若（即為的奇函數(shù)），則 ，其中為L(zhǎng)的上半平面的部分.類似地，對(duì)的討論也有相應(yīng)的結(jié)論.例2 設(shè)，在光滑的有向曲線上連續(xù)，L為曲線弧的弧長(zhǎng)，而，證明證 由兩類曲線積分的聯(lián)系和性質(zhì)，有例3 計(jì)算其中是錐面被平面和所截得的部分的下側(cè).解 在計(jì)算時(shí)，可分為兩塊，即前面一塊和后面一塊，在yOz平面上的投影為正，在yOz平面上的投影

7、為負(fù)，其投影區(qū)域相同.見圖922.故圖822在計(jì)算時(shí)，可分為兩塊，即右面一塊和左面一塊，在zOx平面上的投影為正，在zOx平面上的投影為負(fù)，其投影區(qū)域相同.故在計(jì)算時(shí)，注意被積函數(shù)中，在xOy平面上的投影為負(fù)，投影區(qū)域可用極坐標(biāo)表示為，故例4 計(jì)算，其中是平面在第一卦限部分的上側(cè).解 因?yàn)槿∩蟼?cè)，因此法向量n與z軸正向的夾角為銳角，其方向余弦是 ，則有.計(jì)算。的方程為，其在xOy平面的投影區(qū)域：，又曲面的面積元素所以 例8 計(jì)算，其中L是從點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓弧，為常數(shù).解 我們補(bǔ)一條直線，得閉曲線，從而可以是呀格林公式 圖823其中為半圓又 ，故例9 計(jì)算，其中為任一不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的閉曲面的外測(cè).解 因?yàn)?，所以?）當(dāng)不包圍原點(diǎn)時(shí)，由高斯公式即得0。（2）當(dāng)包圍原點(diǎn)時(shí)，取的外測(cè)，由高斯公式，得。而即 例10 計(jì)算，其中，是錐面 在xOy平面上方的部分，n是的上側(cè)的單位法向量.解 曲面與xOy平面的交線（即其邊界）為，并取為逆時(shí)針?lè)较?由斯托克斯公式，知，在和所圍成的平面上，對(duì)上式右端閉路積分再次應(yīng)用斯托克斯公式，得，其中 例11 設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，求