思維特訓(xùn)(四)　反比例函數(shù)規(guī)律性問題

1、.思維特訓(xùn)四反比例函數(shù)規(guī)律性問題方法點(diǎn)津 ·反比例函數(shù)的規(guī)律性問題主要表達(dá)在求反比例函數(shù)圖象中圖形的面積和點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，此類問題主要是利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)加以解決其中反比例函數(shù)中k的幾何意義極為重要典題精練 ·1如圖4Y1，每個底邊長為2的等腰三角形頂角的頂點(diǎn)都在反比例函數(shù)yx0的圖象上，第1個等腰三角形頂角的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，第2個等腰三角形頂角的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，以此類推，用含n的式子表示第n個等腰三角形底邊上的高為圖4Y1A. B.C. D.2如圖4Y2，在x軸正半軸上依次截取OA1A1A2A2A3An1Ann為正整數(shù)，分別過點(diǎn)A1，A2，A3

2、，An作x軸的垂線，與反比例函數(shù)yx0的圖象交于點(diǎn)P1，P2，P3，Pn，連接P1P2，P2P3，Pn1Pn，過點(diǎn)P2，P3，Pn分別向P1A1，P2A2，Pn1An1作垂線段，構(gòu)成的一系列直角三角形圖中陰影部分的面積和是圖4Y2A. B.C. D.3兩個反比例函數(shù)y，y在第一象限內(nèi)的圖象如圖4Y3所示，點(diǎn)P1，P2，P3，P2019在反比例函數(shù)y的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，x3，x2019，縱坐標(biāo)分別是1，3，5，共2019個連續(xù)奇數(shù)，分別過點(diǎn)P1，P2，P3，P2019作y軸的平行線，與反比例函數(shù)y的圖象的交點(diǎn)依次是Q1x1，y1，Q2x2，y2，Q3x3，y3，Q2019x2

3、019，y2019，那么y2019_圖4Y34在反比例函數(shù)x>0的圖象上，有一系列點(diǎn)A1，A2，A3，An，An1，點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為2，且以后每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2.現(xiàn)分別過點(diǎn)A1，A2，A3，An，An1作x軸與y軸的垂線段，構(gòu)成假設(shè)干個矩形，如圖4Y4所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，Sn，那么S1_，S1S2S3Sn_用含n的代數(shù)式表示圖4Y45如圖4Y5，正比例函數(shù)ykxk0的圖象與反比例函數(shù)y1，y2，y2019的圖象在第一象限內(nèi)分別交于點(diǎn)A1，A2，A2019，點(diǎn)B1，B2，B2019分別在反比例函數(shù)y1，y2，y2019的圖象

4、上，且A2B1，A3B2，A2019B2019分別與y軸平行，連接OB1，OB2，OB2019，那么OA2B1，OA3B2，OA2019B2019的面積之和為_圖4Y56在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)Px，y，其中y0，我們把點(diǎn)Px1，1叫做點(diǎn)P的衍生點(diǎn)點(diǎn)A1的衍生點(diǎn)為A2，點(diǎn)A2的衍生點(diǎn)為A3，點(diǎn)A3的衍生點(diǎn)為A4，這樣依次得到點(diǎn)A1，A2，A3，An，.假設(shè)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為2，1，那么點(diǎn)A3的坐標(biāo)為_；假如點(diǎn)A1的坐標(biāo)為a，b，且點(diǎn)A2021在雙曲線y上，那么_.7如圖4Y6，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn1An都是等腰直角三角形，點(diǎn)P1，P2，P3，Pn都在函數(shù)yx&g

5、t;0的圖象上，斜邊OA1，A1A2，A2A3，An1An都在x軸上1求點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)；2猜測點(diǎn)An的坐標(biāo)直接寫出結(jié)果即可圖4Y68如圖4Y7，直線yxk和雙曲線yk為正整數(shù)交于A，B兩點(diǎn)1當(dāng)k1時，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2當(dāng)k2時，求AOB的面積；3當(dāng)k1時，AOB的面積記為S1，當(dāng)k2時，AOB的面積記為S2，依此類推，當(dāng)kn時，AOB的面積記為Sn，假設(shè)S1S2Sn，求n的值圖4Y7詳解詳析1A解析 每個等腰三角形的底邊長為2，頂角的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)yx>0的圖象上，第1個等腰三角形底邊上的高；第2個等腰三角形底邊上的高；第3個等腰三角形底邊上的高；第n個等腰三角形底邊上的高.2

6、A解析 設(shè)OA1A1A2A2A3An1An1，那么P11，y1，P22，y2，P33，y3，Pnn，yn點(diǎn)P1，P2，P3，Pn在反比例函數(shù)yx0的圖象上，y12，y21，y3，yn.設(shè)自左向右每個陰影三角形的面積依次為S1，S2，S3，Sn1，那么S1×1×y1y2×1×211，S2×1×y2y3，S3×1×y3y4×，Sn1，S1S2S3Sn111.32019.5解析 由反比例函數(shù)y圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為連續(xù)奇數(shù)，可知點(diǎn)P2019的縱坐標(biāo)為4037，由此求出對應(yīng)的橫坐標(biāo)依次為：x16，x22，x3，x20

7、19.又過點(diǎn)P1，P2，P3，P2019分別作y軸的平行線，所以點(diǎn)Q1，Q2，Q3，的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P1，P2，P3，的橫坐標(biāo)一樣，由此可知點(diǎn)Q2019的橫坐標(biāo)為，把其代入y中，便可得出y2019的值為2019.5.45解析 點(diǎn)A1，A2，A3，An，An1在反比例函數(shù)yx0的圖象上，且每點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2，又點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為2，A12，5，A2，S12×5；由題目中的圖象知，An2n，An12n2，S22×，Sn2×n1，2，3，S1S2S3Sn10×10×1.51009解析 延長A2B1，A3B2，A4B3，分別與x軸交于

8、點(diǎn)C1，C2，C3，如下圖y1，y2，SOA2B1SA2OC1SB1OC1.y2，y3，SOA3B2SA3OC2SB2OC21，依此類推，可知SOA2019B2019，那么OA2B1，OA3B2，OA2019B2019的面積之和為1009.62，1解析 根據(jù)衍生點(diǎn)的定義，點(diǎn)A12，1的衍生點(diǎn)A2的坐標(biāo)為1，2；點(diǎn)A21，2的衍生點(diǎn)A3的坐標(biāo)為2，假設(shè)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為a，b，那么點(diǎn)A1的衍生點(diǎn)A2的坐標(biāo)為a1，1，即A2a1，；點(diǎn)A2的衍生點(diǎn)A3的坐標(biāo)為a，；點(diǎn)A3的衍生點(diǎn)A4的坐標(biāo)為a1，b；點(diǎn)A4的衍生點(diǎn)A5的坐標(biāo)為a，；點(diǎn)A5的衍生點(diǎn)A6的坐標(biāo)為a1，；點(diǎn)A6的衍生點(diǎn)A7的坐標(biāo)為a，b；而2

9、021336×65，所以點(diǎn)A2021的坐標(biāo)與點(diǎn)A5一樣，即為a，因為點(diǎn)A2021在雙曲線y上，所以a·1，那么a，所以1.7解：1過點(diǎn)P1作P1C1x軸于點(diǎn)C1，過點(diǎn)P2作P2C2x軸于點(diǎn)C2，因為P1OA1，P2A1A2是等腰直角三角形，所以P1C1OA1OC1，P2C2A1A2A1C2.點(diǎn)P1在函數(shù)yx>0的圖象上，P1C1·OC14，即OC124，OC12，OA14.設(shè)P2C2A1C2x，那么OC2x4，OA242x.又點(diǎn)P2在yx>0的圖象上，xx44，即x24x40，解得x122 舍去，x222 ，OA242×2 24 ，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為4，0，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為4 ，02過點(diǎn)P3作P3C3x軸于點(diǎn)C3，設(shè)點(diǎn)P3的縱坐標(biāo)為y，那么點(diǎn)P34 y，y，于是有y4 y4，解之得y2 2 負(fù)值已舍去，A34 ，0由點(diǎn)A1，A2，A3的坐標(biāo)可以歸納發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)An的坐標(biāo)為4 ，0n1，n為整數(shù)8解：1當(dāng)k1時，直線yxk和雙曲線y可化為yx1和y，由可得或A1，2，B2，12當(dāng)k2時，直線yxk和雙曲線y可化為yx2和y，由可得或A1，3，B3，1設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為ymxn，解得直線AB的函數(shù)解析式為yx2，直線